Математика. Джонн Пелл. Уравнение Пелля y^2 = 1 + ax^2

Уравнение Пелля имеет большое значение в теории диофантовых уравнений. Например, было доказано, что любое диофантово уравнение сводится к уравнению четвёртой степени, которое в частных случаях сводится к уравнением Пелля. Таким способом с помощью уравнения Пелля была решена десятая проблема Гильберта. С помощью решений уравнения Пелля легче приближать "чистые" иррациональности, чем другими методами. Стоит отметить, что точность приближения действительных чисел очень важна в производстве механических часов (точность часов пропорциональна качеству приближения). Так же в кристаллографии используют представление чисел квадратичной формой, частным случаем которой и является уравнение Пелля.

Уравнение Пелля y² = 1 + ax²

Такое уравнение, где а — натуральное число, не являющееся точным квадратом, рассматривали еще в древности. В новое время им заинтересовался Ферма. Он уже четко различал два вопроса, связанные с ним:

1) дать регулярный способ нахождения наименьшего положительного решения этого уравнения;

2) найти рекуррентные формулы для нахождения любого решения, исходя из наименьшего.

В феврале 1657 года в письме к английским математикам, которое получило название «второго вызова математикам» («первый вызов» был отправлен в Англию в январе того же года), Ферма предложил доказать, что уравнение аx² + 1 = y² имеет бесконечно много решений. Он предложил дать решение при а, равном 109, 149 и 433. Эти значения он взял потому, что наименьшее положительное решение уравнения ax₀³ + 1 = y₀² при таких значениях а столь велико, что его нельзя найти подбором. Нужно владеть регулярным методом его нахождения.

Математические вызовы в то время имели немалое значение для поддержания чести нации. Так, в конце «первого вызова» Ферма писал:

«Я жду решения этих вопросов; если оно не будет дано ни Англией, ни Бельгийской или Кельтской Галлией, то это будет сделано Нарбонской Галлией...».

Второй вызов повлек за собой весьма интересную переписку между Ферма и английскими математиками: лордом Броункером, сэром Дигби и Джоном Валлисом, профессором математики в Оксфорде. В ней приняли участие также де Бесси и ван Схоутен, профессор математики в Лейдене. По инициативе Валлиса вся переписка была издана в 1658 году (она помещена в переводе на французский язык в собрании сочинений Ферма, т. III). Уравнение Пелля вызвало страстные споры и резкие выпады.

Мы не можем здесь входить в подробности всех удачных и неудачных приемов и методов, примененных к уравнению Пелля. Скажем только, что Броункер, повидимому, первый пришел к мысли, что для нахождения наименьшего решения надо разложить  в непрерывную дробь и рассмотреть подходящие дроби к ней. Впоследствии этим уравнением занялся Эйлер, который утверждал, что непрерывная дробь для , где а — неквадратное натуральное число, всегда будет периодической. Полное доказательство этого и окончательный анализ уравнения Пелля принадлежит Лагранжу.