Материалы к уроку "Вероятность случайного события" (Статистика)

Вероятность случайного события

Обычай решать спорные вопросы с помощью подбрасывания монеты связан с предположением о том, что орёл и решка выпадают примерно с равной частотой. Это предположение подвергли экспериментальной проверке учёные разных стран и эпох.

В XVII в. Французский естествоиспытатель Жорж Луи де Бюффон не поленился провести 4040 экспериментов с подбрасыванием монеты при этом орёл выпал 2048 раз, т.е. у Бюффона частота появления орла получилась равной ≈ 0,5069.

В начале ХХ в. Английский математик Карл Пирсон провёл уже 24000 экспериментов, при этом орёл выпал 12012 раз. Значит, у Пирсона частота появления орла получилось равной ≈ 0,5005.

В таблице помещены результаты, полученные разными исследователями начиная с ХХVIII в. :

Нетрудно заметить, что серии экспериментов, проведённые в разные эпохи и в разных странах, дают похожий результат: при многократном подбрасывании монеты частота выпадания орла стабилизируется около числа 0,5. Говорят, что вероятность выпадания орла равна 0,5. Это число выражает шансы появления события « выпал орёл» при многократном проведении экспериментов. Так как во всех этих сериях экспериментов решка появлялась также примерно в половине случаев, то и вероятность выпадания решки равна 0,5. Вообще, вероятность и частота случайного события связаны между собой. Если случайный эксперимент повторять достаточно много раз, то частота интересующего нас события будет близка к его вероятности.

Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р ( от французского слова probabilite, что означает «вероятность»). Если обозначить событие «выпадет орёл» буквой А, а событие «выпадет решка» буквой В, то полученный результат можно записать так: Р(А)= 0,5, Р(В) = 0,5.

Иногда вероятность выражают в процентах:

Р(А) = 50%, Р(В) = 50%.

Во многих ситуациях без проведения многократных экспериментов предсказать вероятность случайного события практически невозможно.

Понятно, что вероятность случайного события – это число, заключённое между 0 и 1. Вероятность случайного события - это числовая мера правдоподобия этого события. Если событие является достоверным, т.е. оно обязательно происходит при каждом повторении эксперимента, то его частота равна 1, и естественно считать, что и его вероятность равна 1. Невозможное событие не происходит ни при каком повторении эксперимента, поэтому вероятность невозможного события считают равной 0.

Если вероятность события мала ( например, меньше, чем 0,001), то такое событие наступит редко. Такие события называют маловероятными. В практических ситуациях, когда опыт проводят один раз, маловероятные события обычно считают невозможными. Например, можно выиграть в лотерею большую сумму денег и жить безбедно и не работая. Но вероятность этого события настолько мала, что разумные люди на это не рассчитывают.

Тем не менее, пренебрегая маловероятными событиями, надо учитывать возможные последствия. Вероятность попасть под машину, перебегая улицу, невысока, по последствия этого события таковы, что пренебрегать ими нельзя. Поэтому не нужно перебегать улицу, нарушая правила. Тот , кто бежит, имеет больше шансов споткнуться и упасть. Улицу нужно переходить спокойным шагом, убедившись в безопасности. И водителю проще предсказать действия и движения спокойно идущего пешехода, чем того, кто внезапно выбегает на проезжую часть.

Если случайное событие обозначить буквой Х, то можно записать, что 0 ≤ Р(Х) ≤ 1. Этому факту можно дать геометрическое толкование с помощью вероятностной шкалы:

Ответьте на вопросы.

1) Что такое ввероятноость сообыытия? Как она связана с частотой события?

2) Какие значения может принимать вероятность случайного события?

3) Какие события называют достоверными, а какие – невозможными?

4) Чему равна вероятность достоверного случайного события? Невозможного случайного события?

6) Приведите примеры невозможных и достоверных случайных события в эксперименте, где бросают игральную кость с очками от 1 до 6.

7) Приведите примеры маловероятных событий в эксперименте « прогноз погоды на завтра».

8) Приведите примеры нежелательных маловероятных событий в жизненных ситуациях. Какими из них и в каких случаях можно пренебречь.

Выполните задания

1) По статистике на каждые 1000 выпускаемых лампочек приходится три бракованных. Какова вероятность купить бракованную лампочку? исправную лампочку?

2) В таблице приведены данные о продаже фирмой автомобилей за прошлый год (Используйте калькулятор)

а) Оцените вероятность того, что произвольный покупатель выберет в этом году машину марки В. Ответ округли те до сотых.

б) Автомобили марок А,В,С – отечественные, Д,Е – иностранные. Оцените вероятность того, что произвольный покупатель выберет отечественый автомобиль.

в) Расположите случайные события из пунктов а) и б) на вероятностной шкале.

3) Демографы утверждают, что вероятность рождения близницов приблизительно равна 0,012. В скольких сллучаях из 10000 рождений можно ожидать появления близницов?

4) Какова, по вашему мению, вероятность события:

- завтра на улице вам встретиться динозавр;

- число дней в следующем месяце не превысит 31;

- на морозе мода в стакане через некоторое время замёрзнет;

- сборная вашего класса выиграет в футбол у команды «Спартак»?

Выводы. О случайном событии чаще всего нельзя сказать заранее, произойдёт оно или нет. Но можно говорить о том, насколько оно правдоподобно. Правдоподобие события измеряют с помощью вероятностей. Вероятность события выражается числом от 0 до 1.Чем больше шансов у события, тем выше его вероятность.

Не существует единого и универсального способа определить вероятности событий.

1. Иногда вероятности элементарных событий назначают из соображений симметрии (пример: вероятности орла и решки при бросании монеты).

2. Иногда вероятности можно найти приближенно с помощью многократных экспериментов (пример: вероятности поломки телевизора определенной модели в течение гарантийного срока).

3. Иногда вероятности элементарных событий удается вычислить, исходя из известных вероятностей событий в более простом эксперименте (например, можно найти, что при бросании двух монет вероятность выпадения двух орлов равна 0,25, если при бросании одной монеты орёл выпадает с вероятностью 0,5).

4. Иногда вероятности событий не удается назначить никак. Такие события в рамках теории вероятностей не рассматриваются (пример: вероятность того, что в 2050 году будет найдена новая форма жизни).

Если в некотором опыте наблюдается событие А, и этот опыт повторяется много раз, то частота события А постепенно приближается к вероятности события А.

Рекомендуемое домашнее задание. Использовать №№ 137-139 . Математическая вертикаль. Теория вероятностей и статистика; учебное пособие для общеобразовательных организация под редакцией И.В.Ященко, Издательство «Просвещение», Москва, 2020