Материалы к урокам

Закон всемирного тяготения позволяет предсказать так называемую первую космическую скорость, которая при определённых допущениях достаточна, чтобы любое тело стало искусственным спутником Земли.

Задача. Вообразите пушку, стоящую на башне. Вылетевшее ядро, описав дугу, упадёт на землю. Если же в пушку положить побольше пороха, то ядро упадёт дальше (см. рисунок). Пренебрегая силой трения ядра о воздух, рассчитайте скорость, с которой должно вылететь ядро, чтобы вечно кружить вокруг нашей планеты, превратившись в искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли по круговой орбите.

Поскольку спутники летают по орбитам под действием только силы тяготения Земли, то в качестве центростремительного ускоренияa выступает ускорение свободного паденияg. Высотой башни, на которой стоит пушка, по сравнению с радиусом Земли пренебрежём.

Примечание. Поскольку формула векторная, она будет справедлива в любой точке любой траектории, даже прямолинейной .

Военные лётчики и испытатели самолётов хорошо знают фигуру высшего пилотажа «петля Нестерова».

Она заключается в том, что самолёт движется в небе также, как и рассмотренный грузик на нити – описывая окружность в вертикальной плоскости. При этом люди в самолёте испытывают перегрузку – многократное увеличение веса: как собственного, так и предметов вокруг.

Значение перегрузки, то есть кратность увеличения веса, можно рассчитать по выведенной нами формуле.

Рассмотрим пример.

Задача. Мальчик равномерно вращает грузик на нити в вертикальной плоскости так, что в верхней точке грузик совершенно не натягивает нить. Во сколько раз вес грузика в нижней точке превосходит обычный вес этого же грузика в состоянии покоя? Сделайте чертёж.

Запишем её в проекциях на ось Y для верхней и нижней точек траектории (левый и правый столбцы):

Последнее равенство означает, что вес грузика (то есть сила, с которой он тянет нить) в нижней точке траектории направлен противоположно оси Y, то есть вниз, и по модулю в два раза больше веса грузика при его покое. Поэтому говорят, что грузик испытывает двухкратную перегрузку.Напротив, в верхней точке грузик не натягивает нить, значит, он невесом

Закон Гука

Мы уже неоднократно пользовались динамометром – прибором для измерения сил. Познакомимся теперь с законом, позволяющим измерять силы динамометром и обуславливающим равномерность его шкалы.

Известно, что под действием сил возникает деформация тел – изменение их формы и/или размеров. Например, из пластилина или глины можно вылепить предмет, форма и размеры которого будут сохраняться и после того, когда мы уберём руки. Такую деформацию называют пластической. Однако, если наши руки деформируют пружину, то когда мы их уберём, возможны два варианта: пружина полностью восстановит форму и размеры или же пружина сохранит остаточную деформацию.

Если тело восстанавливает форму и/или размеры, которые были до деформации, то деформация упругая. Возникающая при этом в теле сила – это сила упругости, подчиняющаяся закону Гука:

Поскольку удлинение тела входит в закон Гука по модулю, этот закон будет справедлив не только при растяжении, но и при сжатии тел.

Для выяснения физического смысла коэффициента жёсткости, выразим его из формулы закона. Получим отношение модуля силы упругости к модулю удлинения тела. Вспомним: любое отношение показывает, сколько единиц величины числителя приходится на единицу величины знаменателя. Поэтому

коэффициент жёсткости показывает силу, возникающую в упруго деформированном теле при изменении его длины на 1 м.

Задача. К пружине, начальная длина которой 10 см, подвесили груз массой 1 кг. При этом пружина удлинилась до 15 см. Определите коэффициент жёсткости для данной пружины. С каким периодом подвешенный груз будет совершать вертикальные колебания на такой пружине?

Решение. Эта задача будет иметь решение, только если мы убедимся, что деформация пружины упруга. То есть при снятии груза пружина должна принять первоначальную длину, равную 10 см. Ответ на этот вопрос даст только опыт, то есть задача – отчасти экспериментальная.

Используя третий закон Ньютона в скалярной форме, а также закон Гука, подсчитаем коэффициент упругости пружины:

Подставив жёсткость пружины 200 Н/м в формулу для периода колебаний пружинного маятника (см. § 11-б), вычислим период:

Ответ. Жёсткость пружины равна 200 Н/м, и 10 колебаний маятника будут совершены за 4 секунды, что можно проверить секундомером.

Пока мы вели речь только о твёрдых телах. Однако сила упругости возникает и в жидкостях, и в более сложных телах, например, воздушном шарике, состоящем из резиновой оболочки и воздуха. Можно ли к таким телам применять закон Гука (и если можно, то при насколько больших деформациях), нам даст ответ только эксперимент. Он же позволит вычислить коэффициенты жёсткости для этих тел.

      a  =  

. υ² .

a – модуль центростремительного ускорения, м/с² 
υ – модуль скорости равномерного движения, м/с 
R – радиус окружности или её дуги, м

R

        υ  =  

  l  

  =  

2πR

  =  

2 · 3,14 · ( 30000 + 6000 ) км

  ≈   9420 км/ч

Δt

T

24 ч

В ходе этого рассуждения мы вывели формулу для расчёта модуля скорости тела, равномерно движущегося по окружности:

      υ  =  

  2πR  

T

Тогда  модуль центростремительного ускорения тела при его равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле:

      a  =  

  4π²R  

T²

R

T²

( 24·60·60 с )²