Математика. Трисекция угла. Теорема Морлея. Улитка Паскаля. Квадратриса.

Трисекция угла – одна из трёх неразрешимых задач, наряду с удвоением куба и квадратуре круга.

В 1837 году было доказано, что трисекцию угла можно построить, когда разрешимо квадратное уравнение в радикалах: X^3 - 3X - 2cosα = 0 Например, трисекция осуществима для α = 360о /n, где n – целое число, которое не делится на 3.

Возникновение задачи о трисекции угла связанно с потребностями в архитектуре и строительной технике. В период с VI века до н.э. до настоящего времени многие математики бились и бьются над решением этой проблемы. В их числе самые гениальные – Гиппократ Хиосский, Архимед Сиракузский, Декарт, Ньютон, Эйлер, Гиппий, Никомед и др.

Доказано, что трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки, но существуют кривые, с помощью которых это построение можно выполнить: Улитка Паскаля 1 или трисектриса , Квадратриса 2 (в древности тоже называлась трисектрисой) , Конхоида 3 Никомеда , Спираль Архимеда (см. приложение 4), невсис 4 , а также построение с помощью плоского оригами.

Улитка Паскаля ― плоская алгебраическая кривая 4-го порядка; подера окружности, конхоида окружности относительно точки на окружности, частный случай Декартова овала, она также является эпитрохоидой. Названа по имени Этьена Паскаля (отца Блеза Паскаля), впервые рассмотревшего её.

Квадратриса — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена для решения задач квадратуры круга и трисекции угла. 

Конхоида кривой — плоская кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении радиус-вектора каждой точки данной плоской кривой на постоянную величину. 

Невсис — метод геометрического построения, цель которого — вписать отрезок заданной длины между двумя кривыми линиями таким образом, чтобы этот отрезок или его продолжение проходил через заданную точку. 

При решении трисекции угла и других задач, невсис использовали: Архимед(287—212 годы до н.э.) и Гиппократ Хиосский (около 430 года до н.э.). Даже сейчас в печати появляются сообщения о найденных новых методах решения задачи. Но все они, как десятки и сотни, предлагавшихся ранее, страдают одним недостатком: используют, кроме циркуля и линейки, дополнительные средства – то трансцендентные кривые, которые не могут быть 7 построены циркулем и линейкой, то какие-то механизмы, то специально изготовленные для этой цели вспомогательные инструменты. Тем самым не выполняется основное условие – "только с помощью циркуля и линейки".

Есть несколько моментов, в которых задача разделения угла на три части отличается от двух других классических греческих задач. Во-первых, она не имеет реальной истории, относящейся к тому, почему эту задачу впервые начали изучать. Во-вторых, это задача совершенно другого типа. Никто не может построить квадрат, равный по площади никакому кругу, не может построить ребро куба, объем которого в два раза больше объема никакого данного куба. Тем не менее, некоторые углы можно разделить на три равные части. Например, есть довольно простой способ, позволяющий разделить на три равные части прямой угол. Для данного прямого угла  нарисуем окружность с центром в точке , пересекающую прямую  в точке . Нарисуем вторую окружность того же радиуса с центром в , и пусть она пересечет первую в точке . Тогда треугольник  равносторонний, следовательно, угол  равен  и  — . Итак, угол  разделен на три части.

Возможно, еще более удивительно, что такие углы как угол в , могут быть разделены на три части, Вы можете сделать это? Следовательно, задача состоит в том, чтобы разделить на три равные части произвольный угол и цель — сделать это с помощью циркуля и линейки (что невозможно), но если это невозможно, разработать какой-то способ, чтобы делить на три равные части произвольные углы.

Папп в своем “Математическом собрании’’ пишет:

“Когда древние геометры стремились разделить данный угол с прямолинейными сторонами на три равные части, они не смогли этого сделать по следующей причине. Мы говорим, что в геометрии есть три вида задач, это так называемые “плоские’’, “телесные’’ и “линейные’’ задачи. Те, которые могут быть решены с помощью прямой линии и окружности, называются “плоскими’’, поскольку линии, с помощью которых такие задачи решаются, плоские. Те задачи, которые решаются с использованием одного или нескольких конических сечений, называются “телесными’’ задачами. Для их решения необходимо использовать поверхности геометрических тел, то есть конусов. Остаются задачи третьего типа, так называемые “криволинейные’’ задачи. Для построения в этих случаях требуются другие кривые, отличные от уже упомянутых, имеющие более разнообразное и динамическое происхождение и возникающие из более неправильных поверхностей и сложных движений. Такой вид имеют кривые, обнаруженные в так называемой “surface loci’’ (геометрическом месте точек поверхности), и многие другие, даже еще более сложные… Эти кривые имеют много замечательных свойств. Более поздние авторы рассмотрели некоторые из них, достойные более глубокого изучения, и одну из таких кривых Менелай назвал “парадоксальной’’. Другие кривые того же типа – это спирали, квадратрисы, конхоиды и циссоиды… Поскольку задачи отличаются таким образом, ранние геометры были не в состоянии решить вышеупомянутую задачу о делении угла, потому что она по природе своей телесная, ибо они еще не были знакомы с коническими сечениями, и по этой причине пребывали в растерянности. Позже, однако, они разделили угол с помощью коник, используя решение, близкое описанному ниже…”

Мы вскорости опишем методы, которые были изобретены для решения этой задачи, но прежде всего давайте посмотрим, откуда эта проблема возникает естественным образом. Возможно, самый очевидный путь, на котором можно было бы встретить эту задачу — это изучение того, как с помощью циркуля и линейки поделить угол пополам. Это просто. Для данного угла  отметим равные отрезки  и . Построим ромб  и проведем его диагональ , которая, как легко видеть, поделит пополам угол .

Этот способ состоит в следующем. Для данного угла  проведем прямую  перпендикулярно прямой , пересекающую ее в точке . Построим прямоугольник . Продлим  до точки , и пусть  пересекает в точке . Если точка  выбрана так, что , то угол  составляет  угла .

Чтобы убедиться в этом, обозначим через  середину , так что . Так как угол  прямой, то . Кроме того, . Поскольку , . Но , что и требовалось.

Теперь приведем одну из причин, по которой задача трисекции угла кажется менее привлекательной, судя по количеству известных решений, дошедших до нас от лучших древнегреческих математиков. Она состоит в том, что построение, приведенное выше, хотя и невозможное с линейкой без делений и циркулем, тем не менее легко осуществимо на практике. Решение механического типа найти легко. Нужно просто отметить длину  от правого конца линейки, а затем расположить эту отметку на , а другой конец линейки — на продолжении , так чтобы линейка определила прямую, проходящую через . Трисекция найдена довольно легко с помощью механического процесса. Так как для решения практической задачи с чисто математической точки зрения оставалось сделать немного, хотя греки в целом не были удовлетворены механическим решением, они не сделали это. Как говорил Платон:

“Действуя [механическим] способом не потерять безвозвратно лучшее в геометрии… ‘’

Существует еще одно механическое решение, которое нашел Архимед. Мы должны немного остановиться на нем и сказать, что этот метод приведен в арабском труде, который называется “Книга лемм’’, который приписывают Архимеду. Конечно, эта работа не является простым переводом работы Архимеда, хотя Архимед цитируется в ней несколько раз, так что совершенно невозможно для кого-либо присвоить ее себе. Однако большинство историков математики считает, что многие из приведенных в книге лемм действительно принадлежат Архимеду. А результат о делении на три части угла настолько в духе его работы “О спиралях’’, что широко признано, что этот метод действительно является методом Архимеда. Построение происходит следующим образом.

Для данного угла  проведем окружность с центром в точке  так, чтобы  и  были ее радиусами. Через проведем прямую, пересекающую  в точке . Пусть эта прямая пересечет окружность в точке  и пусть  равно радиусу окружности. Снова это может быть сделано механическим способом, если отметить длину, равную радиусу окружности, на линейке и перемещать ее так, чтобы одна отметка оставалась на , а вторая — на окружности. Перемещать линейку таким образом следует до тех пор, пока она не пройдет через точку . Тогда будет построена прямая . Наконец нужно провести из  радиус  окружности так, чтобы  был параллелен . Тогда  отсечет треть угла .

Это довольно легко показать,

Никомед жил примерно в то же время, что и Архимед (во втором веке до нашей эры), и он построил свою известную кривую — конхоиду. На самом деле эта кривая была изобретена именно Никомедом для формализации процесса, который мы описали — вращения линейки с закрепленной на прямой точкой. На линейке отмечено фиксированное расстояние, одна отметка находится на данной прямой, в то время как другая описывает кривую — конхоиду. Построение объяснено более подробно в биографии Никомеда (Хит). Теперь это в точности кривая, которая дает решение задачи трисекции угла, приведенной выше, и Никомед решил эту задачу с помощью своей кривой. Однако на практике метод перемещения линейки до получения требуемой конфигурации был в целом гораздо проще, чем рисование конхоиды, и метод Никомеда представлял больше теоретический, а не практический интерес. Хит (Heath) пишет:

“Папп говорит нам, что на практике конхоида не всегда на самом деле изображалась, но что иногда, для большего удобства, двигали линейку вокруг неподвижной точки, пока опытным путем секущая не оказывалась равной заданной длине’’.

Папп рассказал нам о конхоиде Никомеда в своем “Математическом собрании”. В этой же работе Папп пишет о том, как проблема трисекции угла была решена Аполлонием с использованием коник. Папп приводит два решения, которые в обоих случаях включают рисование гиперболы.

Первый показывает, что если прямая  фиксирована, то геометрическое место точек  таких, что  является гиперболой. Гипербола имеет эксцентриситет 2, фокус  и директрису, которая является серединным перпендикуляром . Гипербола изображена в левой части рисунка. Справа на двух рисунках показано, как эта гипербола может быть использована для деления на три равные части угла . Проведем окружность с центром в точке  через точки  и . Затем построим гиперболу с эксцентриситетом 2, фокусом  и директрисой — серединным перпендикуляром к . Пусть она пересечет окружность в точке . Тогда  отделяет треть угла .

Чтобы убедиться в этом, заметим, что из свойств гиперболы, описанных выше, . Но , и  (центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу). Поэтому , что и требовалось.