Математика. Свойства и график функции y=sinx. Свойства и график функции y=cosx. Примеры.

Лю­бо­му дей­стви­тель­но­му числу  со­от­вет­ству­ет един­ствен­ная точка на еди­нич­ной окруж­но­сти  У точки  есть един­ствен­ная ор­ди­на­та, ко­то­рая и на­зы­ва­ет­ся си­ну­сом числа  (рис. 1).

Каж­до­му зна­че­нию ар­гу­мен­та ста­вит­ся в со­от­вет­ствие един­ствен­ное зна­че­ние функ­ции.

Из опре­де­ле­ния си­ну­са вы­те­ка­ют оче­вид­ные свой­ства.

На ри­сун­ке видно, что  т.к.  это ор­ди­на­та точки еди­нич­ной окруж­но­сти.

Рас­смот­рим гра­фик функ­ции . Вспом­ним гео­мет­ри­че­скую ин­тер­пре­та­цию ар­гу­мен­та. Ар­гу­мент – это цен­траль­ный угол, из­ме­ря­е­мый в ра­ди­а­нах. По оси  мы будем от­кла­ды­вать дей­стви­тель­ные числа или углы в ра­ди­а­нах, по оси  со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния функ­ции.

На­при­мер, угол  на еди­нич­ной окруж­но­сти со­от­вет­ству­ет точке  на гра­фи­ке (рис. 2)

Мы по­лу­чи­ли гра­фик функ­ции на участ­ке  Но зная пе­ри­од си­ну­са  мы можем изоб­ра­зить гра­фик функ­ции на всей об­ла­сти опре­де­ле­ния (рис. 3).

Ос­нов­ным пе­ри­о­дом функ­ции яв­ля­ет­ся  Это зна­чит, что гра­фик можно по­лу­чить на от­рез­ке  а затем про­дол­жить на всю об­ласть опре­де­ле­ния.

Рас­смот­рим свой­ства функ­ции :

1) Об­ласть опре­де­ле­ния: 

2) Об­ласть зна­че­ний: 

3) Функ­ция нечет­ная: 

4) Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный пе­ри­од: 

5) Ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка с осью абс­цисс: 

6) Ко­ор­ди­на­ты точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка с осью ор­ди­нат: 

7) Про­ме­жут­ки, на ко­то­рых функ­ция при­ни­ма­ет по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния:

8) Про­ме­жут­ки, на ко­то­рых функ­ция при­ни­ма­ет от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния:

9) Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния: 

10) Про­ме­жут­ки убы­ва­ния: 

11) Точки ми­ни­му­ма: 

12) Ми­ни­мум функ­ции: 

13) Точки мак­си­му­ма: 

14) Мак­си­мум функ­ции: 

Функция y=sinx определена на всей числовой прямой, является нечётной и периодической с периодом 2π.  

График этой функции можно построить таким же способом, как и график функции y=cosx, начиная с построения, например,  на отрезке [0;π]. 

Однако проще применить формулу sinx=cos(x−π2), которая показывает, что график функции y=sinx можно получить сдвигом графика функции  y=cosx вдоль оси абсцисс вправо на π2 

График функции y=sinx

Кривая, являющаяся графиком функции y=sinx, называется синусоидой.

Свойства функции y=sinx

1. Область определения - множество R всех действительных чисел.

2. Множество значений - отрезок [−1;1]

3. Функция y=sinx периодическая с периодом T=2π 

4. Функция y=sinx- нечётная.

5. Функция y=sinx принимает: - значение, равное 0, при  x=πn,n∈Z  - наибольшее значение, равное 1, при x=π2+2πn,n∈Z  - наименьшее значение, равное −1, при x=−π2+2πn,n∈Z   - положительные значения на интервале (0;π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z

- отрицательные значения на интервале (π;2π) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z

6. Функция y=sinx

- возрастает на отрезке

 [−π2;π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z - убывает на отрезке

 [π2;3π2] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z

Функция y=cosx определена на всей числовой прямой и множеством её значений является отрезок [−1;1]

Следовательно, график этой функции расположен в полосе между прямыми y=−1 и y=1

Так как функция y=cosx периодическая с периодом 2π, то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной 2π, например на отрезке −π≤x≤π, тогда на промежутках, получаемых сдвигами выбранного отрезка на 2πn,n∈Z, график будет таким же.

Функция y=cosx является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Oy.

Для построения графика на отрезке −π≤x≤π достаточно построить его для 0≤x≤π, а затем симметрично отразить его относительно оси Oy.

Найдём несколько точек, принадлежащих графику на этом отрезке 0≤x≤π cos0=1;cosπ6=3√2;cosπ4=2√2;cosπ3=12;cosπ2=0;cosπ=−1 

Итак, график функции y=cosx построен на всей числовой прямой.

Свойства функции y=cosx

1. Область определения - множество R всех действительных чисел

2. Множество значений - отрезок [−1;1]

3. Функция y=cosx периодическая с периодом 2π 

4. Функция y=cosx - чётная

5. Функция y=cosx принимает:

- значение, равное 0, при x=π2+πn,n∈Z; 

- наибольшее значение, равное 1, при x=2πn,n∈Z 

- наименьшее значение, равное −1, при  x=π+2πn,n∈Z  

- положительные значения на интервале (−π2;π2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z

- отрицательные значения на интервале (π2;3π2) и на интервалах, получаемых сдвигами этого интервала на 2πn,n∈Z

6. Функция y=cosx

- возрастает на отрезке [π;2π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z

- убывает на отрезке [0;π] и на отрезках, получаемых сдвигами этого отрезка на 2πn,n∈Z