Математика. Решение неравенств методом интервалов.

Метод интервалов — это метод решения так называемых рациональных неравенств.

Алгоритм действий  

1. Если неравенство содержит рациональные функции в обеих частях, то собираем все сла- гаемые в одной части (например, в левой).

2. Приводим все слагаемые к общему знаменателю. В левой части неравенства получаем дробь, знаменатель которой уже разложен на множители. В правой части стоит нуль.

3. Раскладываем числитель полученной дроби на множители. Тем самым неравенство приводится к виду, приспособленному для метода интервалов.

4. Отмечаем на числовой оси нули числителя и знаменателя. Нули знаменателя выколоты. Нули числителя выколоты, если неравенство строгое, и закрашены, если неравенство нестрогое.

5. Расставляем знаки на полученных интервалах. Если множитель x − x0 стоит в нечётной степени, то при переходе через точку x0 знак меняется. В случае чётной степени знак не меняется.

6. Если при переходе через закрашенную точку знак не меняется, то ставим в этой точке флажок.

7. Записываем ответ, не забывая про флажки. Если флажок оказался внутри промежутка решений, то он «поглощается» этим промежутком. Если флажок не находится внутри промежутка решений, он даёт изолированную точку-решение.

Если f (x)  f (x₀) при х  х₀, то функцию f (x) называют непрерывной в точке х₀.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I , то ее называют непрерывной на промежутке I (промежуток I называют промежутком непрерывности функции). График функции на этом промежутке представляет собой непрерывную линию, о которой говорят, что ее можно «нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги».

Свойство непрерывных функций.

Если на интервале (a ; b) функция f непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

На этом свойстве основан метод решения неравенств с одной переменной – метод интервалов. Пусть функция f(x) непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По свойству непрерывных функций этими точками I разбивается на интервалы, в каждом из которых непрерывная функция f(x) c охраняет постоянный знак. Чтобы определить этот знак, достаточно вычислить значение функции f(x) в какой-либо одной точке из каждого такого интервала. Исходя из этого, получим следующий алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Метод интервалов для неравенств вида 

Схема решения:

1. Найти область определения функции f(x) ;
2. Найти нули функции f(x) ;
3. На числовую прямую нанести область определения и нули функции. Нули функции разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак;
4. Найти знаки функции в полученных промежутках, вычислив значение функции в какой-либо одной точке из каждого промежутка;
5. Записать ответ.

Решение неравенств методом интервалов основано на следующем свойстве функции:

Всякая функция f(x), непрерывная в своей области определения, может иметь разные знаки слева и справа от некоторой точки х_о лишь только в том случае, если х_о - ноль (корень) функции, либо х_о- точка разрыва.

Поэтому, для нахождения интервалов постоянного знака функции достаточно найти ее область определения D(f), корни и точки разрыва нанести их на ось, определить на каждом из полученных интервалов принадлежащих D(f). Знак функции (например, подстановкой в выражении функции какого-либо значения х из соответствующего интервала) и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.

Алгоритм.

1. Обозначить функцию, стоящую в левой части неравенства, через f(x).

2. Записать ОДЗ.

3. Найти нули функции.

4. Отметить ОДЗ на числовой прямой, а на ОДЗ найденные нули функции.

5. Определить знаки f(x) в каждом промежутке.

6. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Этот алгоритм справедлив только для непрерывных на отрезке функций, поэтому при решении неравенства методом интервалов мы должны это обязательно учитывать. Записываем образец оформления решения неравенства.

Пример 1.

Решите неравенство: 

f(x) = 

Поскольку функция f(x) =  непрерывна в каждой точке своей области определения, то для решения данного неравенства можно использовать метод интервалов.

ОДЗ: 

Нули функции: f(x) = 0

 = 0 - + - +

х = - 6 или х = - 1 или х = 4 - 6 - 1 4 х

Ответ: