Математика. Различные методы доказательства неравенств. Монотонность функций. Выпуклость. Упорядоченность. Задачи + решения.

Математика. Различные методы доказательства неравенств. Монотонность функций. Выпуклость. Упорядоченность. Задачи + решения.

Не всякое уравнение f(x) = g(x) или неравенство в результате преобразований или с помощью удачной замены переменной может быть сведено к уравнению или неравенству того или иного стандартного вида, для которого существует определенный алгоритм решения. В таких случаях иногда оказывается полезным использовать некоторые свойства функций, такие как монотонность, периодичность, ограниченность, четность и др.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть f(х) – непрерывная и строго монотонная функция на промежутке Т, тогда уравнение f(x) = С, где С – данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке Т.
2. Пусть f(x) и g(х) – непрерывные на промежутке T функции, f(x) строго возрастает, а g(х) строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение f(х) = =g(х) может иметь не более одного решения на промежутке Т. Отметим, что в качестве промежутка T могут быть бесконечный промежуток (-∞;+∞) , промежутки (а;+∞), (-∞; а), [а;+∞), (-∞; b], отрезки, интервалы и полуинтервалы

При решении уравнений и неравенств свойство ограниченности снизу или сверху функции на некотором множестве часто играет определяющую роль.

Примером функции, ограниченной снизу на всей числовой оси, является функция y = x². Примером функции, ограниченной сверху на множестве (–∞; 0) является функция y = 1/x. Примером функции, ограниченной на всей числовой оси, является функция y = sin x

Функция f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если выполняются два условия:

• если , то x+ T и x – T также принадлежат области определения D (f (x));
• для любого выполнено равенство

f (x + T) = f (x).

Поскольку  , то из приведенного определения следует, что

.

Если T – период функции f (x), то очевидно, что каждое число nT, где , n ≠ 0, также является периодом этой функции.

График периодической функции

График периодической функции обычно строят на промежутке [x₀; x₀ + T), а затем повторяют на всю область определения.

Хорошим примером периодических функций могут служить тригонометрические функции y = sin x, y = cos x (период этих функций равен 2π), y = tg x (период равен π) и другие. Функция y = const также является периодической. Для нее периодом является любое число T ≠ 0

Исследование функций на четность облегчается следующими утверждениями.

• Сумма четных (нечетных) функций является четной (нечетной) функцией.
• Произведение двух четных или двух нечетных функций является четной функцией.
• Произведение четной и нечетной функции является нечетной функцией.
• Если функция f четна (нечетна), то и функция 1/f четна (нечетна).

Пример 1. Может ли при каком-нибудь значении а уравнение

2x⁸ – 3аx⁶ + 4x⁴ – аx² = 5

иметь 5 корней? 

Решение. Обозначим f(x) = 2х⁸ – 3ах⁶ + 4х⁴ – ах². f(x) – функция четная, поэтому, если x₀ – корень данного уравнения, то -x₀ – тоже. x = 0 не является корнем данного уравнения (0 ≠ 5). Следовательно, число корней у этого уравнения при любом действительном а четно, поэтому 5 корней оно иметь не может.

Ответ: не может.

Использование области определения функции

Область определения функции – это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция  определена. Область определения иногда еще называют областью допустимых значений функции (ОДЗ). Для нахождения ОДЗ функции нужно проанализировать данное соответствие и установить встречающиеся запретные операции (деление на нуль, возведение в рациональную степень отрицательного числа, логарифмические операции над отрицательными числами и т. п.)