Математика. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Теорема. Примеры.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Задача о нахождении наибольшего и наименьшего значения обычно решается для функции заданной и непрерывной на некотором отрезке.

ТЕОРЕМА. Если функция  непрерывна на отрезке , то среди её значений на этом отрезке есть наибольшее и наименьшее.

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции  на отрезке , необходимо:

1.  найти её значение на концах этого отрезка, то есть значения  и ;
2.  найти её значение в стационарных точках функции, которые принадлежат отрезку ;
3.  из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Примеры нахождения наибольшего и наименьшего значения

ПРИМЕР 1

Задание	Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке
Решение	Найдем значение функции на концах заданного отрезка:    Далее определим критические точки функции. Для этого вычислим и приравняем к нулю производную заданной функции          Таким образом,  — стационарные точки заданной функции, из них только лежит на отрезке . Найдем значение функции в этой точке    Из трех значений  выбираем наибольшее и наименьшее.
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке
Решение	Функция  непрерывна на отрезке . Найдем её производную, используя правило дифференцирования частного       Приравнивая производную к нулю, получаем уравнение    Обе полученные точки принадлежат отрезку . Найдем значение функции на концах заданного отрезка и в критических точках и выберем из полученных значений наименьшее и наибольшее:       Значит, наименьшее значение функции на данном отрезке равно ; а наибольшее — числу .
Ответ

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Алгоритм:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции , то функция  возрастает на этом  промежутке.

Если на промежутке I производная функции , то функция  убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-".

В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".

6. Находим значение функции в концах отрезка,

• затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
• или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке 

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: , а наименьшее - в левом: .

2. Рассмотрим функцию на отрезке 

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума , а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения  и  и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть  и .

Чтобы найти наименьшее значение функции,  нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума  и в левом конце отрезка, то есть  и .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции  - множество действительных чисел.

2. 

3. , если  или 

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание - убывание, можно схематично изобразить ее график:

Пример. Найдите наибольшее значение функции   на отрезке .

1. Функция  определена при всех действительных значениях х

2. 

3. 

 Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция  возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.