Математика. Метод замены множителей.

Метод замены множителей является одним из достаточно эффективных и практичных методов решения алгебраических неравенств, основывающийся на таких понятиях как равносильность, рационализация, алгебраизация.

Основная идея метода.

Методом замены множителей решаются неравенства, приводимые к виду

Где символ "" обозначает один из четырех возможных знаков неравенства:.

При решении неравенства (1) нас интересует только знак любого множителя в числителе или знаменателе, а не абсолютная его величина. Поэтому, если по каким-то причинам нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства и имеющий в этой области те же корни.

Это и определяет основную идею метода замены множителей. Важно зафиксировать тот факт, что замена множителей осуществляется только при условии приведения неравенства к виду (1), то есть, когда требуется сравнить произведение с нулем.

Основная часть замены обусловлена двумя следующими равносильными утверждениями.

Утверждение 1. Функция  есть строго возрастающая тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть, (означает знакосовпадение)

Утверждение 2. Функция  есть строго убывающая тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью , то есть 

Обоснование этих утверждений непосредственно следует из определения строго монотонной функции. Согласно этим утверждениям можно установить, что

Разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания от единицы, то есть

.

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение основания от единицы, то есть

.

Тот факт, что разность неотрицательных величин совпадает по знаку с разностью квадратов этих величин, позволяет осуществить следующие замены:

Замена знакопостоянных множителей - это есть один из случаев замены не вытекающих из утверждений 1 и 2. Всюду положительные множители заменяем на 1 или просто убираем, всюду отрицательные заменяем на (1). Популярный знакопостоянный множитель квадратный трехчлен a+ b x + cс отрицательным дискриминантом можно заменить на старший коэффициент или на свободный член, то есть a+ bx + c.

Так как область значений показательной функции y = представляет собой все положительные числа, то любая сумма значений показательных функций является знокопостоянной положительной величиной, поэтому .

Положительной величиной является сумма неотрицательных слагаемых, если ни в одной точке области определения неравенства все слагаемые одновременно не равны нулю. Очевидно, что при объявленном ограничении на слагаемые сумма всегда является положительной величиной. Поэтому в силу определения арифметического корня и неотрицательности модуля любого числа получаем право на следующие замены:

 .

Наиболее часто используемые замены (без учета О Д З).

а) Замена знакопостоянных множителей.

1) 

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10) 

11) 

б) Замена незнакопостоянных множителей с модулем.

12)

13) 

14) 

15) 

16)  , 

17).

18) .

19)   .

20) 

21) .

22) 

23) 

24) 

в) Замена незнакопостоянных множителей с показательными и логарифмическими выражениями.

25)  

26), 

27) 

28) 

31

32) .

33) .