Математика и музыка

Математика и Музыка

Введение

Как-то раз на уроке математики мы столкнулись с такой задачей:

Эта задача заставила нас задуматься…

Каждый из нас слушает музыку: кто-то отдаёт предпочтение классике, кому-то нравится рок-музыка, реп, джаз, популярная музыка и т.д. Всем известен факт, что музыкальное произведение записывается нотами. Люди, имеющие музыкальное образование, знакомы с нотной грамотой и знают, что любое музыкальное произведение имеет свой размер, тональность; свои музыкальные законы, формулы и правила. И ведь мало кто задумывается, что законы, формулы и правила – это математические термины. Как же они проникли в музыку? Кто применил их в музыке? Как тесно связаны музыка и математика?

Из таких размышлений появилась идея изучить «глубину» проникновения математики в музыку, попытаться отыскать математические закономерности в музыке. И что если попробовать определенным образом переложить ноты на числа. Будет ли наблюдаться в этом числовом ряду закономерность? Если такая связь существует, то можно предположить обратное, что ряд чисел имеет свое музыкальное звучание. В этом и актуальность нашего исследования.

Цель нашего исследовательского проекта: провести взаимосвязь между музыкой и математикой.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить ряд задач:

1.Выяснить, были ли в истории попытки связать музыку с математикой.
2.Провести свое исследование по установлению связи между музыкой и цифрами, рассмотрев музыкальные произведения, как математическую модель.
3.Переложить числа (даты рождения учителей нашей школы) на музыку
4.Установить связь между звуками и способностями личности.

В своей работе я выдвинул следующую гипотезу: любое музыкальное произведение можно представить, как некую математическую модель.

Объект исследования: музыка и математика.

Методы исследования:
1.Изучение, обработка и анализ документов.
2.Метод исследования музыкального произведения.
3.Метод проблемно-поисковой ситуации.

1. Исторические сведения.

В своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Приведем, к примеру, одну из цитат из работы Леонарда Эйлера “Диссертация о звуке”, написанная в 1727 году: “Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков”.

Свое отношение к математике и музыки ученые высказывались в своих личных переписках. Так, к примеру, Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: “Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать”. На что Гольдбах ему отвечает: “Музыка – это проявление скрытой математики”.

В Древней Греции музыка прямо считалась частью математики, а еще точнее, разделом теории чисел. Одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в её основу два предмета - музыку и математику. Где музыка, как одно из семи искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не практическое занятие искусством. Пифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Его же признают создателем первой музыкальной теории. Используя особый предмет – монохорд (в переводе с греческого – однострунный), Пифагор изучал интервалы, открывал новые свойства звуков.

Пифагор считал, что особые мелодии могут избавить человека от зависти, ревности, гордыни и других пороков, излечить от недугов.

Гармония, по мнению Пифагора, есть система трех созвучий — кварты, квинты и октавы. На базе тетрахорда (четырех струн, четырех звуков, четырех нот, четырех чисел) 6, 8, 9 и 12 можно построить и полный звукоряд, двенадцати нотный или какой-нибудь еще. Полный строй получался, если откладывать от какой-либо ноты чистую квинту вверх (или вниз). Таким образом, можно получить все ноты, примерно соответствующие нашему двенадцати нотному звукоряду. Опуская (или поднимая) ноты на октаву вниз, сводя их в одну октаву, можно получить звуковысотные соотношения для всех нот.

Пифагор считал математику и музыку неразрывными по отношению друг к другу. Такого же мнения были его ученики - пифагорейцы. Они считали, что музыка является частным проявлением математики. Они создали учение о Космосе, как о музыкально звучащем теле. По их мнению, Космос – это ряд небесных тел, каждое из которых при вращении издает свой музыкальный звук; расстояния между сферами и издаваемые ими звуки соответствуют гармоничным музыкальным интервалам.

Связь между звуками и числами

Сходства можно увидеть в знакомом всем инструменте – фортепьяно. Расположение октав на этом инструменте можно сравнить с координатной прямой. Все мы знаем, что координатная прямая не имеет конца и начала, но имеет точку О(0), которая делит её на равные части, Справа от точки О находятся положительные числа по порядку (1,2, 3, 4,), а слева отрицательные в обратном порядке (-1, -2, -3, -4). На фортепьяно примерно так же: оно условно делится на равные части. Справа от середины октавы идут по порядку (1,2,3,),а слева в обратном порядке (малая, большая, контроктава, субконтроктава).  Но фортепьяно в отличие от прямой имеет начало и конец.

Сходства музыки и математики можно увидеть  и в системе координат. Для начала давайте познакомимся и с её историей. Такая простая и привычная вещь, как система координат, была введена в математический инструментарий не так давно: ее изобрел Декарт в XVII веке. Это изобретение по праву называют гениальным - трудно себе представить развитие алгебры и геометрии без системы координат. Но вот что интересно: в том, что математика лишь с XVII века пользуется этой замечательной системой, виноваты только сами математики - они в течение шести веков не замечали ту же систему координат  буквально у себя под боком - в музыке, а точнее, в системе записи музыки, разработанной Гвидо Аретинским еще в XI веке. Действительно, посмотрев на ноты, мы увидим не что иное, как самый настоящий график музыки: по вертикальной оси определяется высота звука, по горизонтальной - момент его появления, т.е. время.

А что же насчет звуков? Неужели главная составляющая музыки не связана с математикой? Сегодня вряд ли кто-нибудь решится сводить музыку к определенным числовым действиям. Очевидно, надо начать с другого. Окружающий нас мир кроме звуков наполнен еще и ритмами. О чем говорит это слово? Посмотрите вокруг: ритмично звучат шаги, ритмичен ход часов, ритмично биение пульса человека, ритмично наше дыхание и т.д. И стоит нам услышать слово «ритм», как наши мысли невольно обращаются к музыке. И это понятно: ведь ритм – один из важнейших элементов музыки. Оказывается, и среди чисел можно обнаружить ритмы. Возьмем натуральный ряд чисел: 0,|1,2,3|4,5,6|7,8,9|и т.д. Увеличивая каждое число на «1», будем обращать внимание на все числа, кратные 3. И вот что у нас получится (см. пример). Мы пришли к красивому, равномерному ритму, звучащему как музыкальный размер 3/4. Смысл у этой дроби тот же что используется в математике: мы разделили целую на четыре части и три из них включили в такт. Конечно, не всякий человек может понять это, а только тот, кто имеет музыкальное образование и что бы объяснить человеку, не знающему законов музыки надо обратиться к математике. В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма:

С чего начинается знакомство с музыкой? Конечно, со звуков! Но чтобы их повторить, нам придётся окунуться в мир странных кружочков, палочек, крючочков и галочек, которые все вместе и будут составлять нотную грамоту. И тут начнутся чудеса математики! Оказывается, любую музыку можно записать с помощью семи нот, расставляя около них музыкальные знаки (аналогично в математике: десять цифр и знаки действия с ними). Ноты и паузы бывают целые, половинные, четвертные, восьмые, шестнадцатые и т.д., их связывает между собой математическая закономерность.

Основные длительности нот и пауз

Музыкальное произведение записывается при помощи нот не хаотично, а весь текст делится на такты, при этом все такты одного произведения имеют один размер, который и указывается в начале любого произведения.

Например: ¾ будет означать, что в каждом такте должно быть ровно три четвертных ноты. При этом четвертные ноты могут разбиваться на восьмые, шестнадцатые или паузы того же размера. Расстояние между нотами (интервалы) также имеют свои названия и соответствуют определенному количеству тонов.Аккорды, которые сопровождают и украшают музыкальное произведение, высчитываются математическим путем и состоят из интервалов.

Практическая часть.

1. Опрос

2. Изучение музыкальных произведений

Исследования музыкальных произведений

Произведение Г. Гладкова «Бременские музыканты»

Попробуем сделать математическую модель этого произведения: каждой ноте мы присвоили номер ступени. Цифра 1 – I ступень, 2 – II ,3 – III, 4 – IV, 5 – V ,6 – VI ,7 – VII, 8 – I, 9 – II ,0 – III. Переложили ноты на числа и получили при этом такой ряд чисел:
11123313 / 535 / 44432246 / 545 / 3353 / 666716 / 22217572 / 176 / 4561 / 7672 / 321117 / 176213 / 444443 / 22221 /.
Черта между цифрами служит тактовой четой, то есть делит их на такты, так как сделано в произведении.
В музыке есть понятие – устойчивые ступени, на которых строится тоническое трезвучие (Т5/3): 1, 3, 5 ступени. Если в каждом полном такте сложить номера устойчивых ступеней, то мы заметим следующую закономерность.
В первом такте сумма равна 13 (1+1+1+3+3+1+3), во II – тоже 13 (5+5+3), в III – 3 (3), в IV – 10 (5+5), в V – 14 (3+3+5+3), в VI – 1, в VII – 6 (5+1), в VIII – 1, в IX – 6 (5+1), в X – 0, в XI – 6 (3+1+1+1), в XII – 4 (1+3), в XIII – 3, в XIV – 1. Получили ряд чисел: 13, 13, 3, 10, 14, 1, 6, 1, 6, 0, 6, 4, 3, 1.
Вывод: Следовательно, наблюдаем, что в произведении повторяется группа цифр: 14, 13, 10, 6, 4, 3 ,1, 0.
Теперь попробуем перемножить в каждом такте номера ступеней.
Получили числа в соответствии с номерами тактов:
I. 54 (1*1*1*2*3*3*1*3).
II. 75 (5*3*5)
III. 18432 (4*4*4*3*2*2*4*6)
IV.100 (5*4*5)
V. 135 (3*3*5*x3)
VI. 9072 (6*6*6*7*1*6)
VII. 3920 (2*2*2*1*7*5*7*2)
VIII. 12 (1*7*6)
IX. 120 (4*5*6*1)
X. 288 (7*6*7*2)
XI. 336 (3*2*2*2*2*7)
XII. 252 (1*7*6*2*1*3)
XIII. 3072 (4*4*4*4*4*3)
XIV. 16 (2*2*2*2*1)
Имеем следующий ряд чисел: значения в I (11123313) и II (535); III (44432246) и XIII (444443); VI (666716), VIII (176) и XIV (22221); XI (322227), IX (4561) и VII (22217572) тактах получились разные за счет того, что количество нот в них различное.

Переведём на цифры известное произведение Бекмана Л. К. «В лесу родилась ёлочка»

Цифра 1 = 1 ступени

2=2

3=3

4=4

5=5

6=6

7=7

8=1

9=2

10=3

11=4

12=5

13=6

\5\10, 10, 9,10\8, 6, 5, 5\10, 10, 11, 13\12,12\6, 6,11,11\ 10,9,8,5\10,10,9,10\

Черта между цифрами служит тактовой чертой.

Сложим ступени:

1такт =5

2 такт=39

3 такт=24

4 такт = 44

5 такт = 24

6 такт = 34

7 такт = 32

8 такт = 39

Вывод: произведение разбито на равные части с повторяющимися группами цифр, в сумме которых имеется числа 39; 24

1. Даты рождений наших учителей

Теперь можно проделать обратный эксперимент и переложить математические данные на музыку. Попробуем это сделать с датами рождений наших учителей.

Суть этого исследования заключалась в следующем:
1) у конкретного человека бралась полная дата рождения. ( к примеру, 24.02.2001)
2) потом нумировались ноты на нотном стане: до-0;ре-1;ми-2;фа-3;соль-4;ля-5;си-6;до-7.
3) дата человека переводилась на нотный стан. Таким образом, "музыка" нашего человека будет: ми; соль; до; ми; ми; до; до; ре.

4) нажимаем на клавиатуре пианино все эти ноты сразу.

5) если получившийся аккорд благозвучен, значит человек творческий;

Если же аккорд не благозвучен, то человек точен.
В нашем случае этот человек творческий.

При желании можно потом спросить у человека, чем он занимается. Как правило, люди творческие занимаются музыкой(или другим творчеством).
Точные люди любят математику, у них хорошо развит аналитический склад ума.

Мы решили протестировать учителей нашей школы, у каждого взяли по дате рождения.

Перенесли все данные на нотный стан. Позже проверили все эти аккорды, и вышло:

В нашем классе 12 человек, 7 из них-люди творческие;
Из творческих людей 6 человек занимаются музыкой, следовательно, наш эксперимент можно считать удачным. Это исследование еще раз подтверждает, что математика и музыка имеют тесную взаимосвязь.

У каждого человека получилось по мелодическому ряду:

№

ФИ

Дата

Нотная последовательность

увлечения

Заключение.

Для выявления влияния математики на музыку я изучала и анализировала много научной литературы. Я ознакомилась с историей и формированием Пифагорейской теории музыки, основными положениями, которой являются:

1.  Длительность и размер звука можно выразить с помощью математической дроби.

2.  В музыкальной системе звуки связаны между собой определёнными зависимостями.

3.  Деление октавы на 12 частей обеспечивает чистое звучание.

4.  Музыкальный звукоряд содержит 7 октав, т. к. октавные звуки воспринимаются как подобные.

Рассмотрев математическую теорию музыки, я глубже поняла и разобралась в том, что приятные для слуха различные музыкальные звуки подчиняются простым математическим законам. Так же меня порадовало, что и современные ученые изучают геометрический строй музыки. Данная тема актуальна в наши дни, и в ней есть место для новых открытий.

В результате проделанной работы мною были выполнены поставленные задачи. Рассмотрела связь ритмов и чисел, дробей и длительностей нот. Работа над этой темой позволила выявить много интересной информации о закономерностях, которые встречаются в музыке и математике. Построила математическую модель музыкального произведения полька «Добрый жук» из к/ф « Золушка». Установила связь между датами и ступенями, переложила даты рождений одноклассников на музыку. Но для утверждения того, что звучание даты рождения определяет определенный тип особенностей человека, необходимо большее количество исследуемых.

Возможность перевода нот в числовой ряд подтверждает мою гипотезу. Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика пронизывает музыку.

Выполняя работу, я отметила, что в мелодии постоянно происходит чередование сильных и слабых долей, чередование тактов, где сильных долей больше с тактами, где меньше или только одна сильная доля, что музыкальная фраза заканчивается 1 ступенью. Если проанализировать больше произведений и более сложные музыкальные формы, то вероятно можно выявить еще закономерности. Также мне пришла идея попробовать одну и ту же последовательность нот записать в разных ритмических рисунках, а может и придумать свою композицию, например, по «красивой» числовой последовательности.

Список литературы:

1. Деплан И. Я. Мир чисел. М.: «Просвещение», 2005

2.Дэвид Филипс. Нумерология и открытие внутреннего “Я”. Полное практическое руководство. СПб: София, 2007, 256с.

3. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа М.: Наука, 1990, 192с.

4. Холопов Ю. Н. Консонанс и диссонанс // Музыкальный энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1990.

5. Сольфеджио 2 класс

6. Энциклопедия для детей. Т. 7. Искусство. Ч. 1. – Э68-е изд., испр./Глав. Ред. М.Д. Аксенова. – М..6 Аванта +, 2006 – 688 с.: ил.

7. Энциклопедический словарь юного математика. М.; «Педагогика» 1985г

12. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Музыка /авт. А.С. Кленов. Под общей ред. О.Г. Хинн. – М.: ООО Фирма «Издательство АСТ», 2010. – 46

Интернет ресурсы:

1.http://www.stonot.ru/

2.http://www.krugosvet.ru/

3.http://www.wikipedia.org/

4. http://ru.wikibooks.org/wiki

5.http://www.piano-notes.net/