Математика. Числа Фибоначчи (Леонарда Пизанского). Свойства чисел Фибоначчи.

Леонардо Пизанский (Фибоначчи) — итальянский математик, один из основоположников математики нового времени. Родился в Пизе. Учился в Алжире. Способствовал распространению в Европе математических знаний, приобретённых в годы странствий по странам Востока. Издал две книги: «Книгу об абаке» (1202), в которой абак рассматривался не столько как прибор, сколько как исчисление вообще, и «Практику геометрии» (1220). По первой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления, знакомились с отрицательными числами (Фибоначчи рассматривал их как «долг»).

Изложение материала было оригинальным и изящным. Учёный сделал и собственные открытия. Он положил начало разработке вопросов, связанных с «числами Фибоначчи», изложил алгебру линейных и квадратных уравнений, ряд приёмов коммерче- ской арифметики, привёл некоторые задачи на суммирование рядов, а также методы приближённого извлечения квадратного и кубического корня.

Труды Леонардо Пизанского получили широкое распространение только в конце XV в., когда Лука Пачоли переработал их и опубликовал в своей книге «Сумма» (Венеция, 1494).

Числа Фибоначчи или Последовательность Фибоначчи – числовая последовательность, обладающая рядом свойств. Например, сумма двух соседних чисел последовательности дает значение следующего за ними (например, 1+1=2; 2+3=5 и т.д.), что подтверждает существование так называемых коэффициентов Фибоначчи, т.е. постоянных соотношений. Последовательность Фибоначчи начинается так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Числа Фибоначчи могут начинаться и с отрицательных значений «n», но в таком случае последовательность будет двусторонней – она будет охватывать и положительные и отрицательные числа, стремясь к бесконечности в двух направлениях. Примером такой последовательности может послужить: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, а формула будет: F_n = F_n+1 — F_n+2 или же F_-n = (-1)ⁿ⁺¹Fn.

Задача Фибоначчи с кроликами

Для выполнения задачи автором были поставлены следующие условия: есть пара новорождённых крольчат (самка и самец), отличающихся интересной особенностью – со второго месяца жизни они производят новую пару кроликов – тоже самку и самца. Кролики находятся в замкнутом пространстве и постоянно размножаются. И ни один кролик не умирает.

Задача: определить количество кроликов через год.

Решение:

У нас есть:

• Одна пара кроликов в начале первого месяца, которая спаривается в конце месяца
• Две пары кроликов во втором месяце (первая пара и потомство)
• Три пары кроликов в третьем месяце (первая пара, потомство первой пары с прошлого месяца и новое потомство)
• Пять пар кроликов в четвёртом месяце (первая пара, первое и второе потомство первой пары, третье потомство первой пары и первое потомство второй пары)

Количество кроликов в месяц «n» = количеству кроликов прошлого месяца + количество новых пар кроликов, другими словами, вышеназванная формула: F_n = F_n-1 + F_n-2. Отсюда получается рекуррентная числовая последовательность (о рекурсии мы скажем далее), где каждое новое число соответствует сумме двух предыдущих чисел:

1 месяц: 1 + 1 = 2

2 месяц: 2 + 1 = 3

3 месяц: 3 + 2 = 5

4 месяц: 5 + 3 = 8

5 месяц: 8 + 5 = 13

6 месяц: 13 + 8 = 21

7 месяц: 21 + 13 = 34

8 месяц: 34 + 21 = 55

9 месяц: 55 + 34 = 89

10 месяц: 89 + 55 = 144

11 месяц: 144 + 89 = 233

12 месяц: 233+ 144 = 377

И эта последовательность может продолжаться бесконечно долго, но учитывая, что задачей является узнать количество кроликов по истечении года, получается 377 пар.

Здесь важно также заметить, что одним из свойств чисел Фибоначчи является то, что если сопоставить две последовательные пары, а затем разделить большую на меньшую, то результат будет двигаться по направлению к золотому сечению, о котором мы также скажем ниже.