Математический анализ. Интегральное исчисление. Интегрирование рациональных дробей

Тирский Александр Сергеевич., учитель математики РГ «Эврика» г Олекминска

Интегрирование рациональных функций

Понятие о рациональных функциях

Функция вида

(1)

где n – натуральное число, - постоянные коэффициенты, называется многочленом или целой рациональной функцией. Число n называется степенью многочлена.

Корнем многочлена называется такое значение переменной , при котором многочлен обращается в нуль, т.е. .

Теорема 1

Если есть корень многочлена , то многочлен без остатка делится на , т.е.

(2)

Где - многочлен степени n-1.

Теорема 2

Всякий многочлен n-ой степени имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Теорема 3

Если многочлен тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Теорема 4

Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.

Известно, что каждый многочлен с действительными коэффициентами единственным образом разлагается на линейные и квадратические множители вида: х-а и , где р и q - действительные коэффициенты, причем квадратические множители не имеют действительных корней и, следовательно, не разложимы на линейные множители.

Продемонстрируем на примерах разложения многочленов на множители:

1)

2)

3)

Дробно – рациональной функцией или рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е.

, где многочлены степени m и n соответственно.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. В противном случае дробь называется неправильной.

Следует заметить, что всякую неправильную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби , т.е. , где R(x) - остаток от деления, а L(x) - целая часть.

Будем теперь рассматривать правильные рациональные дроби определенного типа.

Правильные рациональные дроби вида:

1) 2) 3) 4) ,

где - действительные числа, называются простейшими рациональными дробями I,II,III,IV типов.

Замечание: Предполагается, что для дробей III,IV многочлен,

стоящий в знаменателе, не имеет действительных

корней.

Теорема 5

Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители:

можно представить и притом единственным образом, в виде следующей суммы простейших дробей: (3)

Поясним формулировку теоремы на примерах

1)

2)

3)

Для нахождения неопределенных коэффициентов в правой части разложения, можно применить метод сравнивания коэффициентов. Суть метода такова:

1. В правой части равенства (3.1.3) приведем к общему знаменателю Q(x); в результате получим тождество

(4)

где S(x) – многочлен с неопределенными коэффициентами.

1. так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители .

2. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по теореме 3.1.4) в обеих частях тождества (4), получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты.

Рассмотрим пример демонстрирующий методику применения описанного выше метода.

Пример.

Представить дробь в виде суммы простейших дробей

Решение:

Согласно теореме (5) имеем:

Т.е.

Отсюда следует:

Приравнивая коэффициенты при , получаем:

Решая систему, находим ее решение:

Следовательно, получаем:

Интегрирование простейших рациональных дробей

Найдем интегралы от простейших рациональных дробей

1)

2)

3) Рассмотрим интеграл , в числителе подынтегральной функции которого стоит линейный двучлен, а в знаменателе квадратный трехчлен, не имеющий корней. Интегралы такого типа вычисляются путем выделения полного квадрата в знаменателе подынтегральной функции.

,где . Сделаем замену , тогда . Подставляя это в исходный и интеграл, получим

Примеры:

Найти интегралы

1.

Решение:

2).

Решение:

4. , где знаменатель не имеет действительных

корней.

Данный интеграл подстановкой , сводится к сумме двух интегралов:

,

Первый интеграл легко вычисляется:

Вычислим второй интеграл:

(5)

К последнему интегралу применяем интегрирование по частям. Положим

Тогда

Подставляя найденный интеграл в равенство (5) получаем:

,

Т.е.

.

Полученная формула позволяет найти интеграл для любого натурального числа .

Рассмотрим пример.

Найти интеграл

Решение:

Здесь а=1, n=3. Так как , то

,

.

интегрирование рациональных дробей (ПРАКТИКА)

Рассмотренный в предыдущих пунктах материал позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.

1. если дробь неправильная, то ее необходимо представить в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2. Разложив знаменатель правильной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Рассмотрим несколько примеров:

Вычислить интегралы

1)

Решение:

Выпишем отдельно подынтегральную функцию, и

разложим знаменатель дроби на линейные множители:

Следовательно,

Теперь разложим функцию на простейшие дроби:

Теперь определяем неизвестные коэффициенты методом их сравнивания.

,

Теперь составляем систему уравнений для нахождения коэффициентов А и В

Таким образом, получаем:

Интегрируя, получаем

2)

Решение:

Заметим, что данная дробь правильная. Выпишем отдельно подынтегральную функцию и разложим знаменатель дроби на линейные множители:

Теперь разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приводя к общему знаменателю справа, получаем:

Составляем систему для определения коэффициентов, на основании теоремы о равенстве многочленов

Решая систему получаем: . Таким образом, получаем разложение

Интегрируя получаем:

Замечание: В дальнейших примерах подробное пояснение опустим, т.к. оно такое же как и в первых двух.

3)

Решение:

,

Составляем систему:

Решая систему, получаем,

Таким образом, получаем разложение:

Интегрируя, получаем,

4)

Решение:

Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приводя к общему знаменателю справа, получаем

Составляем систему:

Таким образом, получаем разложение:

Интегрируя, получаем

5)

Решение:

Разложим знаменатель подынтегральной функции на множители

Теперь разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приводя к общему знаменателю справа, получаем

Составляем систему:

Таким образом, получаем разложение:

Интегрируя, получаем

6)

Решение:

Приводя к общему знаменателю справа, получаем

Теперь составляем систему:

Таким образом, получаем разложение

Интегрируя, получаем

Вычислим отдельно каждый из получившихся интегралов:

Подставляя, окончательно получаем

7)

Решение:

Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь, поэтому выделим сначала целую часть дроби, поделив числитель на знаменатель. В результате получим:

Интегрируя. получаем:

Вычислим отдельно каждый интеграл:

Таким образом, подставляя получаем,

Замечание:

Рассмотрим интеграл , где знаменатель подынтегральной функции разлагается на линейные множители. Данный интеграл «внешне похож» на интеграл от простейшей дроби третьего типа, однако он таковым не является в силу разложимости знаменателя. По идее для вычисления интеграла необходимо разложить функцию на простейшие дроби и вычислять интеграл как в примере 1. Но если знаменатель функции имеет иррациональные корни, то решение получается достаточно трудоемким. В таких случаях интеграл можно вычислить как интеграл от простейшей дроби третьего типа, т.е выделив в знаменателе дроби полный квадрат. Приведем пример.

8.

Решение:

Итак, из вышерассмотренной теории и разобранных примеров, следует, что неопределенный интеграл от любой рациональной и дробно-рациональной функции всегда существует( на интервалах, в которых знаменатель дроби отличен от 0) и выражается через конечное число элементарных функций, а, именно, он является алгебраической суммой, членами которой могут быть лишь многочлены, рациональные дроби, натуральные логарифмы и арктангенсы.