Маленькие "хитрости" большого ЕГЭ (часть 1). Задачи на проценты. Задачи на вероятность сложных событий.

Маленькие «хитрости» Большого ЕГЭ

Кукушкина А. В.

учитель математики

ГОУ ЯО «Лицей № 86»

25.02.2022

О чём будем говорить

• Задачи на проценты
• Вероятности сложных событий

Задачи на проценты

«Минимум для МАКСИМУМА»

Умеем:

• находить часть (процент) от числа
• число по известной части (проценту)
• уметь переводить процент в доли и обратно
• решать задачи на части (проценты) в «один клик» (без использования пропорций)

(5-6 класс)

Задачи на проценты

«Минимум для МАКСИМУМА»

Умеем:

• увеличивать число на в одно действие
• уменьшать число на в одно действие
• определять величину, которую принимают за целое (часть целого)

(7-9 класс)

Задачи на проценты

«Минимум для МАКСИМУМА»

Умеем:

• увеличивать число на в одно действие
• уменьшать число на в одно действие

Увеличить число

Уменьшить число

(7-9 класс)

Задачи на проценты

В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

Задачи на проценты

В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

2008

40 000

2009

2010

?

?

Задачи на проценты

В 2008 году в городском квартале проживало 40 000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

2008

40 000

2009

2010

?

?

Задачи на проценты

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Задачи на проценты

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

понедельник

понедельник

вторник

вторник

условие

условие

Задачи на проценты

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

понедельник

понедельник

вторник

вторник

условие

условие

Задачи на проценты

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

понедельник

понедельник

вторник

вторник

условие

условие

0,96S

0,96S

Задачи на проценты

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

понедельник

понедельник

вторник

вторник

условие

условие

0,96S

0,96S

Задачи на проценты

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

понедельник

понедельник

вторник

вторник

условие

условие

0,96S

0,96S

Задачи на проценты

Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

Задачи на проценты

Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

рубашка

рубашка

рубашка

рубашка

КУРТКА

Задачи на проценты

Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

рубашка

рубашка

рубашка

рубашка

КУРТКА

Задачи на проценты

Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

рубашка

рубашка

рубашка

рубашка

КУРТКА

составляет цена 1 рубашки от цены куртки

Задачи на проценты

Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?

23

23

23

23

23

100

составляет цена 1 рубашки от цены куртки

Задачи на проценты

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Задачи на проценты

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

МУЖ

ЖЕНА

ДОЧЬ

Задачи на проценты

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

МУЖ

МУЖ

ЖЕНА

Дочь

Задачи на проценты

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

МУЖ

МУЖ

ЖЕНА

Дочь

Задачи на проценты

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

МУЖ

ЖЕНА

Задачи на проценты

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

МУЖ

ЖЕНА

Задачи на проценты

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

МУЖ

ЖЕНА

Задачи на проценты

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

Задачи на проценты

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

начало

1-ый год

20000

2-ой год

?

условие

?

15842

Задачи на проценты

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

начало

1-ый год

20000

2-ой год

?

условие

?

15842

Задачи на проценты

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

1-ый год

1-ый год

2-ой год

2-ой год

условие

условие

15842

15842

Задачи на проценты

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

начало

начало

1-ый год

1-ый год

2-ой год

2-ой год

условие

условие

15842

15842

Вероятности сложных событий

«Минимум для МАКСИМУМА»

Умеем:

• строить дерево вариантов
• находить вероятность события с помощью дерева вариантов

• применять формулу Бернулли

(7-9 класс)

(10-11 класс)

Вероятности сложных событий

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Вероятности сложных событий

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

+

–

1-ая попытка

Вероятности сложных событий

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

+

–

1-ая попытка

+

–

2-ая попытка

Вероятности сложных событий

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

+

–

1-ая попытка

+

–

2-ая попытка

Вероятности сложных событий

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

+

–

1-ая попытка

+

–

2-ая попытка

Вероятности сложных событий

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

–

+

1-ая попытка

+

–

2-ая попытка

Вероятности сложных событий

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Вероятности сложных событий

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Вероятности сложных событий

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Рассмотрим только благоприятные исходы

2

1

3

1-ый бросок

3, 4, 5, 6

2, 3, 4, 5, 6

1, 2, 3, 4, 5, 6

2-ая попытка

Вероятности сложных событий

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Рассмотрим только благоприятные исходы

2

1

1-ый бросок

3

1, 2, 3, 4, 5, 6

2, 3, 4, 5, 6

3, 4, 5, 6

2-ая попытка

Вероятности сложных событий

Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.

Рассмотрим только благоприятные исходы

2

1

1-ый бросок

3

1, 2, 3, 4, 5, 6

2, 3, 4, 5, 6

3, 4, 5, 6

2-ая попытка

Вероятности сложных событий

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется  положительным . У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Вероятности сложных событий

+

–

заболевание

результат тестирования

+

–

+

–

Вероятности сложных событий

+

–

заболевание

результат тестирования

–

+

–

+

Вероятности сложных событий

–

+

заболевание

результат тестирования

–

+

–

+

Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Вероятности сложных событий

–

+

заболевание

результат тестирования

–

+

–

+

Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Вероятности сложных событий

–

+

заболевание

результат тестирования

–

+

–

+

0,0545

Вероятности сложных событий

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Вероятности сложных событий

+

–

заболевание

результат тестирования

+

–

+

–

Вероятности сложных событий

+

–

заболевание

результат тестирования

–

+

–

+

Вероятности сложных событий

+

–

заболевание

результат тестирования

–

+

–

+

Вероятности сложных событий

–

+

заболевание

результат тестирования

–

+

+

–

Вероятности сложных событий

–

+

заболевание

результат тестирования

–

+

+

–

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест , который оказался положительным . Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Вероятности сложных событий

–

+

заболевание

результат тестирования

–

+

+

–