Магические квадраты

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 9»

_______________________________________________________

140208, Московская область, г. Воскресенск, ул. Быковского, д. 23

Телефоны 44-2-7405, 44-2-7206. E-mail: vosk-school9@mail.ru

Сообщение

на тему «Математическая мозаика для 5 класса»

Подготовила: учитель математики и физики

Казарцева А.В.

Воскресенск 2020 год

ПЛАН

ВВедение

Магические квадраты.

Числовые фокусы и головоломки

Игры-шутки

Лист Мебиуса

Задачи в стихах

Шифровки и ребусы

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит от большой степени от методики ее преподавания, от того насколько умело будет построена учебная работа. Надо позаботится о том, что бы на уроках каждый ученик работал активно и увлеченно, и использовать это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубоко познавательного интереса. Это особенно важно в подростковом возрасте, когда только формируются интересы и склонности к тому или иному предмету. Именно в этот период нужно стремиться раскрыть притягательные стороны математики.

Немаловажная роль здесь отводится дидактическим играм на уроках математики – современному и признанному методу обучения и воспитания, обладающему образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве.

Магические квадраты.

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества-число. Вглядываясь в сочетание чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую –то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной…Оказалось, что располагая числа правильными рядами, одним под другим, в случае удачи можно, складывая их слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и тоже число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое из них оказалось в отдельной клетке, как птицы в доме птицелова. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно, что сулящий его владельцу, но конечно обладающий магической силой.

Священные, волшебные, загадочные, таинственные, совершенные…Как их только не называли! «Я не знаю ничего более прекрасного в арифметике, чем эти числа, называемые некоторыми планетными, а другими - магическими», - писал о них известный французский математик, один из создателей теории чисел Пьер де Ферма. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по прежнему не достижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн….Знакомьтесь: магические квадраты- удивительные представители воображаемого мира чисел.

Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами о т 1 до n², сумма которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы. Различают магические квадраты четного и нечетного порядка (в зависимости от четности n ). Поля таблицы, в которые записывают числа, называются клетками магического квадрата, а сумма чисел, стоящих в любой строке, столбце или на диагонали,- его постоянной.

Магические квадраты возникли в глубокой древности в Китае. Вероятно, самым «старым» из дошедших до нас магических квадратов является таблица Ло шу (ок. 2200г. до н.э.). Она имеет размер 3х3 и заполнена натуральными числами от 1 до 9. В этом квадрате сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали равна 15 (рис.1а). Согласно одной из легенд, прообразом Ло шу стал узор из связанных черных и белых точек (рис. 1б), украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогических квадратов большого размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Рис.1а Рис.1 б

Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, затем в Японию и другие страны. На Востоке их считали волшебными, полными тайного смысла символами, и использовали при заклинаниях. На рис.2 изображен магический квадрат 4-го порядка, известный еще древним индусам. Он интересен тем, что сохраняет свойство быть магическим после последовательной перестановки строк (столбцов)

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Рис.2

Название «магические» квадраты получили от арабов, которые усмотрели в их свойствах нечто мистическое и потому принимали квадраты за своеобразные талисманы, защищавшие тех, кто их носит, от многих несчастий. К удивительным квадратам проявляли интерес и средневековые арабские математики.

Древние греки были знакомы с простейшими (3-го порядка) магическим квадратом. В одном из арабских манускриптов конца 8 в. Упоминается его автор ( который на самом деле лишь открыл заново то, что было известно за много веков до него)- философ-новопифагореец Апполон из Таина, живший в начале нашей эры.

Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мусхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов разного порядка, составленных самим автором.

В Средневековой Европе, как и на Востоке, магическим квадратом часто приписывали различные мистические свойства. Поэтому не удивительно, что они пользовались осой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Бытовало даже доверие, что выгравированный на серебряной пластине магический квадрат защищает от чумы.

В начале 16в. Знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия». Квадрат Дюрера имеет размер 4х4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата (рис.3а), а также образующих четыре равных квадрата, на которых можно разделить исходный квадрат (рис.3б). А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры-1514.

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Рис.3а и б

В середине 16в. В Европе появились первые сочинения, в которых магические квадраты предстали в качестве объектов математического исследования. Так было положено начало их новой жизни. Затем последовало множество других работ, в частности таких известных математиков, как Штифель, Баше, Паскаль, Ферма, Беси, Эйлер, Гаусс.

Например, Баше де Мезириак описал простой графический способ построения квадратов нечетного порядка. Последний не раз переоткрывался и, вероятно, был еще изобретен в древности. В 16-17в. Составлением магических квадратов занимались с такими же увлечением, с каким сегодня придумываются и разгадываются кроссворды. Любопытно, что именно в одной из книг Баше магические квадраты впервые предстали как математические забавы.

Примерно в тоже время Пьер де Ферма разработал общий метод построения квадратов четного порядка, а Френикель де Беси вычислил и построил все различные квадраты 4-го порядка (всего их насчитывается 880). Дальнейшее развитие теории магических квадратов оказалось связано с развитием теории чисел и комбинаторики.

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно выросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не только специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума».

Среди множества магических квадратов некоторые выделяются особыми свойствами: числа, из которых они составлены, удовлетворяют различным дополнительным условиям.

Так, у изображенного на рис.4 магического квадрата 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата- числу 65. Квадрат с таким свойством называется совершенным. Легко убедится в том, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот и симметрия. Но существуют и другие преобразования, сохраняющие это свойство.

1	15	24	8	17
9	18	2	11	25
12	21	10	19	3
20	4	13	22	6
23	7	16	5	14

Рис.4

Так, квадрат останется совершенным после того, как его верхнюю строку переставить вниз или левый столбец перенести к правой стороне (либо наоборот, нижнюю строку поместить сверху, а правый столбец – слева).

Свойство следующие отсюда: если расположить рядом два одинаковых квадрата так, чтобы у них была общая сторона, получится своеобразный паркет, в котором числа, оказавшись в любой группе клеток размером 5х5, образуют совершенный квадрат (рис.5)

1	15	24	8	17	1	15	24	8	17
9	18	2	11	25	9	18	2	11	25
12	21	10	19	3	12	21	10	19	3
20	4	13	22	6	20	4	13	22	6
23	7	16	5	14	23	7	16	5	14

Рис.5

Упоминавшийся ранее древнеиндийский квадрат также является совершенным.

Некоторые магические квадраты отличаются симметричным рисунком. Рассмотрим квадрат 5-го порядка (рис.6). В расстановке образующих его чисел можно заметить следующие: во-первых, четные и нечетные числа располагаются симметрично как относительно центра квадрата, так и относительно каждой из четырех его осей симметрии;

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Рис.6

во-вторых, сумма пар чисел, занимающих центрально-симметричные клетки, одинаковы и вдвое числа, стоящего в центре, т.е. число, стоящее в центральной клетке квадрата, есть средне арифметическое любой пары чисел из центрально-симметричных клеток.(рис.7). И это не случайно. Натуральные числа 1,2,…,25 являются членами арифметической прогрессии. Сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, равны:

a + a = a + a = …

Именно по этому принципу построены все двенадцать пар чисел:

1+25=2+24=…=12+14=26=n²+1

Наконец, оставшееся число 13-непарное и помещается в центре квадрата. Кроме того, это единственное из двадцати пяти чисел, которое совпадает с номером своей клетки (если пронумеровать все клетки по порядку построчно сверху вниз).

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Рис.7

Аналогичными свойствами обладают таблица Ло шу и квадрат Дюрера. Вообще квадрат, в котором любые два числа расположены симметрично относительно его центра, дают в сумме одно и тоже число, называются симметрическим. (Причем неважно, какого он порядка: четного или нечетного).Неверно говорить о том, что именно симметрия строения является основным признаком магического квадрата. Вместе с тем она часто определяет его свойства и широко используется при построении магических квадратов.

Укажем еще одну интересную особенность выбранного для примера магического квадрата. Все пятерки чисел, стоящих на его «разломанных » диагоналях (рис.8), являются членами арифметической прогрессии с одной и той же разностью d=5, совпадающей с порядком квадрата( кстати, их суммы обладают таким же свойством).

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Рис.8

Многими интересными свойствами обладает и изображенный на рис.9 магический квадрат 8-го порядка. Например, он делится на четыре равные части-квадраты 4-го порядка, у каждого из которых суммы чисел по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы и равны 130, что вдвое меньше постоянной магического квадрата.

Его можно разбить также на четыре паря прямоугольников размером 4х2 каждый, расположенных симметрично относительно центра квадрата (на рис.9 они закрашены одним и тем же цветом ). Сумма пар чисел в соответствующих столбиках таких прямоугольников одинаковы и равны 57 или 73 (например, 1+56=54+3, 46+27=25+48), что дает в сумме 130. А если составить из полученных чисел прямоугольную таблицу, они распределятся в ней симметрично. (рис.10)

1	12	62	55	52	57	15	6
56	61	11	2	5	16	58	51
31	22	36	41	46	39	17	28
42	35	21	32	27	18	40	45
47	38	20	25	30	23	33	44
26	19	37	48	43	34	24	29
49	60	14	7	4	9	63	54
8	13	59	50	53	64	10	3

57	73	73	57	57	73	73	57
73	57	57	73	73	57	57	73
73	57	57	73	73	57	57	73
57	73	73	57	57	73	73	57

Рис. 10

Рис.9

Рассмотрим левый верхний квадрат 4-го порядка(рис.9). Сложим числа, расположенные симметрично относительно его горизонтальной, а также вертикальной осей симметрии. Суммы снова повторяются и закономерно располагаются в таблицах (рис.11), «скрывая в себе» числа 130 и 260.

43	47	83	87
87	83	47	43

56	74
58	72
72	58
74	56

Рис.11

Аналогичными свойствами обладают и остальные квадраты, получающиеся при разбиении исходного квадрата на четыре равные части. Причем с каждым из них связан свой набор из восьми чисел, принадлежащих множеству {43, 47, 51, 55, 56, 58, 72, 74, 75, 79, 83,87}.

Легко видеть, что сумма двух любых чисел «равноудаленных» от его концов, равна 130, а сумма четверок чисел-260.

Все отмеченные свойства данного магического квадрата, включая рассмотренные выше разбиения на квадраты и прямоугольники, являются проявлением особенностей его внутреннего строения, подчиненного закону центральной симметрии.

Возникают самые различные вопросы, связанные с магическими квадратами. На одни из них ответы давно найдены, на другие только предстоит найти.

Ранее отмечалось, что квадрат 3-го порядка является самым простым. А почему не существует магического квадрата 2-го порядка?

Квадрат размером 2х2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная- равняться 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. И того шесть. Что бы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами (слагаемые в сумме не должны повторятся, при этом порядок не учитывается), но это сделать невозможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+4 и 2+3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям (рис.12), но никак не одновременно.

1	4
2	3

1	3
4	2

1	2
4	3

Рис. 12

Рассматривая магические квадраты разного порядка. Указывали их постоянные, которые, однозначно определяются размером соответствующей таблицы. Конечно, при наличии квадрата для небольших значений n заветную сумму можно вычислить непосредственно. Она быстро растет с увеличением n. А что делать в том случае, когда квадрат еще не построен? Или если нужно проверить, является ли данный квадрат магическим? Да и как составить сам магический квадрат, не зная его постоянной?

Выведем общую формулу, позволяющую вычислить ее для квадрата любого порядка. Пусть в таблице n х n располагаются натуральные числа от 1 до n². Их сумма S равна 1+2+3+…+n²=1/2*((1+n²)n²)

Обозначим постоянную магического квадрата буквой s.Тогда

S=s*n=1/2*((1+n²)n²), откуда s=1/2*((1+n²)n)

Число s всегда является натуральным.

С давних пор математики стремились решить две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод их построения и описать все возможные магические квадраты.

Первая задача сложна для понимания учащихся среднего звена. Но можно отметить. Что основы математической теории построения магических квадратов были заложены французскими учеными в 17в. Позже она стала излюбленной темой исследования многих авторов. И хотя для каждого вида квадрата были найдены свои способы решения задачи, пока не известен общий, пригодный для квадратов любого порядка, метод их построения.

Вторая задача также до сих пор не решена. От части это связано с тем, что с увеличением n число магических квадратов стремительно растет. Например, доказано, что для n=4 существует 880 различных магических квадратов, для n=5- уже около четверти миллиона, а для больших значений n их общее число не найдено.

Не менее удивительно то, что существует всего один магический квадрат 3-го порядка. Общее число квадратов, которые можно составить из девяти чисел, равно 9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=362880.

Среди них есть такие, которые получаются один из другого с помощью поворота на 90⁰ , 180⁰, 270⁰ вокруг центра квадрата или при симметрии относительно четырех осей. Если найден один магический квадрат. То каждый из семи квадратов, полученный из него любым из указанных способов, не следует рассматривать как новый вариант искомого квадрата. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется .В данном случае важна сумма, а не порядок расстановки слагаемых. Отбросив все «ложные» варианты, получим интересующие нас число расстановок чисел в таблице размером 3х3, а именно 362880:8=45360, и только одна из комбинации соответствует магическому квадрату.

Найдем ее. Представим число 15 в виде суммы троек натуральных чисел от 1 до 9. Получим следующие восемь комбинаций.

1+5+9 2+6+7

1+6+8 3+4+8

2+4+9 3+5+7

2+5+8 4+5+6

Тройки чисел нужно разместить соответствующим образом в клетках квадрата. Замечаем, Что число 5 входит сразу в четыре суммы. Значит содержащая его клетка должна находиться на пересечении четырех прямых рядов. В квадрате размером 3х3 этому условию удовлетворяет только одна клетка-центральная.(рис.13а)

рис.13 а,б,в

Любые два числа, попавшие в одну тройку с числом 5, должны размещаться симметрично относительно центра квадрата. Выясним, как именно располагается конкретная числовая пара: по горизонтали, вертикали или по диагонали. Будем рассуждать, так же как и раньше. Каждое четное число встречается сразу в трех суммах, поэтому четные числа должны попасть в клетки, лежащие на пересечении трех рядов, т.е. в углах таблицы (рис.13б). Наконец, каждое из оставшихся нечетных чисел входит в суммы дважды, их место- в средних клетках по краям квадрата (рис.13в). Следуя принципам, также распределяются все девять чисел. Одно из решений показано на рис.1.

Числовые фокусы и головоломки.

Иногда встречаются люди, выполняющие в уме с необычайной скоростью операции над многозначными числами. Такие артисты-вычислители, используя некоторые искусственные приемы и имеющиеся у них в запасе различные числовые фокусы, поражают публику рядом эффектных номеров.

Конечно, даже зная секрет того ли иного «номера», далеко не все могут с успехом выступать в роли артиста-вычислителя. Знание секрета помогает лишь в простейших случаях.

Предложив кому-нибудь задумать число и проделать над ним определенные операции, в ряде случаев легко по результату вычислений определить задуманное число.

1) Предложит кому-нибудь задумать число, прибавить к нему 3, умножить полученную сумму на 6, Вычесть из этого произведения задуманное число, затем вычесть еще 8 и, наконец, разделить все это на 5. Если вам скажут результат, то вы можете сразу назвать задуманное число. Как следует из равенства [(х+3)*6 – х - 8]:5=х+2, для этого достаточно из полученного результата вычесть 2.

2)Задумайте число: меньше 10 (кроме 0), умножите его на 3; к результату прибавьте 2; полученное умножите на 3; к результату прибавьте задуманное число; первую цифру итога зачеркните; к оставшейся прибавьте 2; полученное разделите на 4; к результату прибавьте 19; у вас теперь 21.

3) Из семи цифр: Напишите подряд семь цифр от 1 до 7: 1,2.3,4,5,6,7. Соедините их знаками плюс и минус так, что бы получилось 40.

Ответ: 12+34-5+6-7=40

4) Пятью двойками: Выразите пятью двойками число 28

Ответ: 22+2+2+2+2

5) Четырьмя четверками: Составьте все числа от 1 до 10 четырьмя четверками, используя действия: сложение, вычитание, умножение, деление.

Ответ: 1= (4+4)/(4+4) и т.д.

2= 4/4 + 4/4 или 4*4/ (4+4)

3=(4+4+4)/4 или (4*4-4)/4

4= 4+4* (4-4)

5=(4*4+4)/4

6= ((4+4)/4)+4

7= (4+4)- 4/4

8=4+4+4-4 или 4*4-4-4

9=4+4+4/4

10-(44-4)/4

6) Который год: В двадцатом столетии был год, который нисколько не изменился, при перевертывании «головой вниз». Какой год?

Ответ: 1961

7) Сколько же: Какие два числа, если их перемножить, дают столько же, сколько, получается, от их сложения?

Ответ: Числа эти 2 и 2.Других целых чисел с такими свойствами нет.

8) Угадываем день рождение: Играющие пишут каждый на своем листе, дату своего рождения. Ведущий предлагает проделать ряд математических операций с этим числом: удвоим написанное число, полученное умножим на 10, к этому числу прибавим 73. Сумму умножим на 5. К итогу прибавим порядковый номер месяца рождения ( если родились в мае, то.. значит, - 5). Играющий сообщает результат.

Ответ: Для того чтобы узнать день рождения, надо от полученного результата вычесть 365. Первые одна ( в трехзначном числе) или две ( в четырехзначном) цифры покажут число, а две последние- порядковый номер месяца рождения.

9)Какие числа? Какие числа при чтении не изменяются от их переворачивания?

Ответ: 8,69,88

10) Сколько получится, если сложить наибольшее двузначное число и наименьшее однозначное число?

Ответ 100

11) Написать все двузначные числа, у которых сумма числа десятков и числа единиц равнялась бы 4?

Ответ: 13, 22, 31, 40

12)Используя цифры 0, 3, 6, 9,написать наибольшее и наименьшее четырехзначные числа

Ответ: 9630, 3069

13) Задумайте число; удвойте его; вычтите два; умножьте на 5; разделите на 5; прибавьте 1; разделите на задуманное число. У вас получилось 3.

14) Задумайте число; удвойте его; к полученному прибавьте 3. полученное умножьте на задуманное число; от полученного отнимите задуманное; полученное число разделите на удвоенное задуманное число. Скажите сколько получилось. От названного числа отнимите 1, получится задуманное число.

Игры-шутки

1) Галки и палки(народная задача)

Прилетели галки,

Сели на палки,

Если на каждой палке

Сидят по одной галке,

То для одной галки

Не хватает палки.

Если же на каждой палке

Сидят по две галки,

То одна из палок

Будет без галок.

Сколько было галок?

Сколько было палок?

Ответ: Эта старинная народная задача решается так. Спросим себя: на сколько во второй раз для заполнения мест на палках нужно было бы иметь больше галок, чем в первый? Легко сообразить: в первом случае для одной галки не хватало места, во втором же сидели все галки и еще двум не хватало; значит, что бы занять все палки, нужно бы во второй раз иметь на 1+2, то есть на три галки больше, чем в первый. Садится же на каждую палку на одну птицу больше. Ясно. Что всех палок было три. Посадим на каждую палку по галке и прибавим еще одну- получим число птиц: четыре. Итак, ответ на вопрос задачи: 4 галки и 3 палки.

2) Сестры и братья. У меня сестер и братьев поровну. А у моей сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько нас?

Ответ: Всех семеро: четыре брата и три сестры. У каждого брата три брата и три сестры; у каждой сестры четыре брата и две сестры.

3) Сколько детей? У меня шесть сыновей. У каждого сына есть родная сестра. Сколько у меня детей?

Ответ: Всех детей семь: шесть сыновей и одна дочь. (Обычно отвечают, что детей двенадцать; но тогда у каждого сына было бы шесть сестер, а не одна)

4) Завтрак. Два отца и два сына съели за завтраком три яйца, причем каждый из них съел по целому яйцу. Как вы это объясните?

Ответ: Сели за стол не четверо, а только трое: дед, его сын и внук. Дед и сын – отцы, а сын и внук- сыновья.

5) Кто старше. Через два года мой мальчик будет вдвое старше, чем он был два года назад. А девочка моя будет через три года втрое старше, чем три года назад. Кто старше: девочка или мальчик?

Ответ: Ни тот ни другая не старше: они близнецы, и каждому из них на данный момент по 6 лет. Возраст находится простым расчетом: через 2 года мальчик будет на 4 года старше, чем два года назад, и при этом вдвое старше; значит, четыре года- это возраст его два года назад, и , следовательно, сейчас ему 4+2=6 лет. Таков же и возраст девочки.

6) Три мальчика Коля, Вова и Петя отправились в магазин. По дороге у магазина они нашли 5 рублей. Сколько бы денег нашел один Вова, если бы он отправился в магазин.

Ответ: Вова нашел бы те же 5 рублей

7) Баба шла в Москву и повстречала 3 мужиков. Каждый из них по мешку, в каждом мешку по коту. Сколько существ направлялось в Москву?

Ответ: Одна баба.

8) В комнате четыре угла. В каждом углу сидит по кошке. Против каждой кошки сидит по три кошки. Сколько кошек всего в комнате?

Ответ: 4 кошки, те которые сидят по углам

9) Летело стадо гусей: один гусь впереди, а два позади: один позади а два впереди; один между двумя и три в ряд. Сколько было всех гусей?

Ответ: Три гуся. Один за другим.

10) В корзине 4 яблока. Разделите их между четырьмя лицами так, чтобы каждое лицо получило по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.

Ответ: Это легко сделать, если одно лицо возьмет свое яблоко вместе с корзиной.

11)Сколько концов у четырех палок? У пяти палок? А у пяти с половиной палок?

Ответ: 8, 10, 12

12) Увеличьте число 666 моментально в полтора раза.

Ответ: 999

13) Как можно получить 4, отняв от девяти половину девяти?

Ответ: Изобразив число 9 римскими цифрами и разделив пополам горизонтальной чертой, получим в верхней части запись числа 4 римскими цифрами.

14) Две богомолки отправились из Москвы в Троице-Сергиеву лавру. Обе они прошли 60 верст. Сколько верст прошла каждая, если шли они с одинаковой скоростью?

Отвнт:60 верст.

Лист Мебиуса

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят лента Мебиуса) придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус (1790-1868), ученик «короля математиков» Гаусса. Мебиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена изучение математики не встречало поддержки, а занятие астрономией давало остаточно денег, что бы не думать о них, и оставляло время для размышлений. А.Ф. Мебиус – в течении более чем 15 лет наблюдатель, а потом и директор Лейпцигской астрономической обсерватории, был разносторонним ученым. Он сделал много интересных открытий, стал одним из крупнейших геометров 19 века. В возрасте 68 лет он сделал поразительное открытие- односторонние поверхности, одна из которых - лист Мебиуса.

Возьмем бумажную ленту, разделенную по ширине пополам пунктирной линией, положив противоположные концы, друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так чтобы накрест лежащие точки совпали. Перед склейкой перекрутим ленту один раз. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. А теперь разрежем склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Что мы получили? Конечно, если бы мы не перекрутили ленту перед склейкой, все было бы просто: из одного широкого кольца получилось бы два узких. А что сейчас? Получилось не два кольца, а одно. Вдвое уже, но зато вдвое длиннее. К тому же перекручено оно не один раз, а два. Если разрежем это кольцо еще раз посередине , получим два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено.

У этого кольца масса свойств .Вот некоторые из них:

У ленты, из которой сделан лист Мебиуса, имеется две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона;

Попробуем покрасить одну сторону листа Мебиуса - кусок за куском, не переходя за край ленты. Так мы закрасим весь лист Мебиуса. «Если кто – нибудь вздумает раскрасить «только одну» сторону поверхности мебиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской», - пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в книге «Что такое математика»;

Если на внутреннею сторону обычного листа посадить паука, а на наружную – муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мебиуса, то бедная муха будет съедена, если конечно паук ползает быстрее.

Задачи в стихах

В нашем классе знает каждый.

В Балашове я живу.

На каникулы однажды

Ехать я решил в Москву.

Я пришел на наш перрон,

В самый первый сел вагон,

До Москвы наш поезд шел

Мимо станций, мимо сел,

Мимо речек и лесов,

Шел семнадцать он часов,

В час он делал между тем

Километров сорок семь.

И явилось вдруг желание

Подсчитать все расстояние,

Что я ехал до Москвы.

Помогите мне и Вы.

Кто поможет мне найти

До Москвы длину пути?

Ответ6 799 км

Помощник.

7 тарелок им умыты,

8 чашек не забыты,

Ложек - дюжина одна-

Чистота кругом видна!

Вы готовы дать ответы,

Сколько всей посуды этой

Перемыл он – сын – проказник?

Дело было в мамин праздник.

Ответ: 27 штук

Сосчитай-ка, сколько дней.

Мы только с парохода,

Мы только из похода-

Одиннадцать недель

Гостили на воде.

А сколько это недель?

Считай-ка поверней!

Ответ: 77 дней

По грибы

Солнце льет на землю свет.

Рыжик прячется в траве,

Рядом тут же в желтых платьях

Еще двенадцать братьев.

В кузовок я всех их спрятал.

Вдруг гляжу - в траве маслята,

И пятнадцать тех маслят

В кузовке уже лежат.

А ответ у вас готов,

Сколько у меня грибов?

Ответ 28 грибов

В детсаду есть…паровоз,

Шесть автомобилей,

Черный пес – блестящий нос,

Белый кот – Василий,

Восемь куколок в одной

Кукле деревянной

И Петрушка заводной,

Рыжий и румяный.

Кто внимательно послушал,

Сколько в детсаду игрушек?

Ответ: 19

Как – то вечером к медведю

На пирог пришли соседи:

Еж, барсук, енот, «косой»,

Волк с плутовкою –лисой.

А медведь никак не мог

Разделить на всех пирог.

От труда медведь вспотел,-

Он считать ведь не умел!

Помоги ему скорей,

Подсчитай-ка всех зверей

Ответ: 7 зверей

Шифровки и ребусы.

пятница

история

расстояние

задача

свисток

сорока

1)Восстановите недостающие цифры

8614.. .63.

.3..64 25.6

50.839 1.54

Ответ:

861475 3630

+ -

639364 2576

2) Буквами зашифрованы цифры. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры.

Ответ: А=9 9541

Б=2 +

4549

14090

Заключение

Дидактические игры хорошо уживаются с «серьезным» учением. Включение в урок игр и игровых моментов делает процесс обучения интересным и занимательным, создает у детей бодрое рабочее настроение, облегчает преодоление трудностей в усвоение учебного материала. Разнообразные игровые действия, при помощи которых решается та или иная умственная задача, поддерживают и усиливают интерес детей к учебному предмету. Игра должна рассматриваться как могущественный незаменимый рычаг умственного развития ребенка.

Систематическое использование игр на разных этапах изучения различного по характеру математического материала является эффективным средством активизации учебной деятельности школьников, положительно влияющих на повышение качества знаний, умений и навыков учащихся, развитие умственной деятельности. Словом, игры заслуживают право дополнить традиционные формы обучения и воспитания школьников.

Список используемой литературы

1. В. Г. Коваленко «Дидактические игры на уроке математики»,М., 1990 г.

2. П. И. Сорокин «Занимательные задачи по математике»,М.,1967 г.

3. В. П. Труднев «Внеклассная работа по математике»,М., 1975 г.

4. А.Я. Котов «Вечера занимательной арифметики», М., 1967 г.

5. Н.Н. Аменицкий «Забавная арифметика», М., 1991г.

6. Научно-практический журнал математика для школьников №4 2005г.

7. Газета «Математика» № 3 2001 г.

8. А. П. «Математические игры и развлечения», М., 1961 г.

9. Е.И. Игнатьев «В царстве смекалки» изд.2, М., 1979 г.

10.Я.И. Перельман «Занимательные задачи и опыты», М., 1959