Логико-дидактический анализ по теме «Уравнения, неравенства и их системы»

«Алгебра» Ю.Н. Макарычев (для углубленного изучения)

«Алгебра» Ю.Н. Макарычев (общеобразовательный)

Определения

1. Уравнение с одной переменной (понятие вводится, но не дается определение)

+

1. Определение корня уравнения. Корень уравнение − это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

+

1. Определение «решить уравнение». Решить уравнение, значит найти множество его корней.

+

1. Определение «равносильных уравнений». Уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают.

+

1. Определение уравнения вида ax=b. Уравнение вида ax=b, где x- переменная, a и b- некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

+

Свойства

Свойства равносильных преобразований:

1. Если перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив знак.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число.

+

3. Eсли в какой- либо части или обеих частях уравнения выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения уравнения.

-

Задачный материал

1. Решить уравнение (№ 428, 433, 439, 440, 444, 453, 455, 456, 459, 462, 463, 467, 468, 470, 471, 476, 477, 478, 479, 480, 482, 483, 485)

+

1. Является ли число корнем уравнения (№ 425, 426)

+

1. Уравнение с параметром (при каком значении kуравнение имеет корень, не имеет корней) (№ 441, 445, 446, 447, 448, 458, 460, 465, 466, 472, 473, 474, 475, 481, 484)

+

1. Задания на отработку шагов алгоритма (№ 450, 486)

+

1. Текстовые задачи, решающиеся с помощью уравнения (№ 492-522)

+

1. Уравнения с модулем (№ 433, 444, 459, 460)

-

1. Уравнения с двумя переменными, требующие найти x. (№ 461)

-

Определения

1. Определение уравнения с двумя переменными (понятие вводится, но определение не дается)

+

1. Определение «решение уравнения с двумя переменными». Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

+

1. Определение графика уравнения с двумя переменными. Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

+

1. Определение линейного уравнения с двумя переменными. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax+by=c, где xиy- переменные, a,b,c- некоторые числа.

+

1. Определение свободного члена линейного уравнения. Число cв линейном уравнении называют свободным членом.

-

1. Определение графика линейного уравнения (прямая). Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

+

1. Определение графика линейного уравнения (пустое множество и плоскость). Если в линейном уравнении коэффициенты при я равны нулю, а свободный член не равен нулю, то его график- пустое множество. Если же коэффициенты при переменных и свободный член равны нулю, то графиком линейного уравнения является плоскость.

+

1. Определение целочисленных решений уравнения с двумя переменными. (понятие вводится, но без ввода определения)

-

1. Определение «решение системы уравнений». Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

+

1. Определение графического способа решения системы уравнений. (понятие вводится, но без ввода определения)

+

1. Определение линейного уравнения с тремя переменными. Уравнение вида ax+by+cz=d, где x,y, z- переменные, а b,c,d- некоторые числа, называется линейным уравнением с тремя переменными.

-

1. Определение «решение линейного уравнения с тремя переменными». Тройка значений переменных, обращающая уравнение с тремя переменными в верное равенство, называется решением уравнения.

-

Свойства

Свойства уравнения с одной переменной:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

+

3. Если в обеих частях уравнения выполнить тождественные преобразования, не меняющее области определения уравнения, то получится уравнение, равносильное данному.

-

Алгоритмы

Рассматривается способ решения системы двух уравнений с двумя переменными «способ сложения» на конкретном примере .

Представлен алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными способом сложения:

1. Умножают левую часть и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами.

2. Складывают почленно полученные уравнения.

3. Решают полученное уравнение с одной переменной

4. Находят соответствующее значение второй переменной.

+

Рассматривается способ решения системы двух уравнений с двумя переменными «способ подстановки» на конкретном примере .

Представлен алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными способом подстановки:

1. Решают одно из уравнений относительно какой- либо переменной.

2. Подставляют в другое уравнение вместо этой переменной найденное выражение.

3. Решают полученное уравнение с одной переменной.

4. Находят соответствующее значение другой переменной.

+

Задачный материал

1. Уравнения с целыми числами

а) Какие из пар чисел являются решением уравнения с двумя переменными (№ 1037, 1038, 1077)

б) Решите уравнение в целых числах (№ 1066, 1067, 1073)

+

+

1. Использование графика уравнения

а) Какие из точек принадлежат графику уравнения (№ 1052)

б) Проходит ли через точку график уравнения (№ 1053, 1054)

в) Постройте график уравнения (№ 1056, 1057, 1058, 1059, 1075)

+

+

+

+

1. Решите графически систему уравнений (№ 1062, 1063, 1082, 1083, 1092, 1093)

+

1. Решите систему уравнений (№ 1089, 1090, 1091, 1094, 1095, 1096, 1097, 1098, 1104, 1105, 1106, 1111, 1112, 1113, 1114, 1115, 1116, 1157, 1158, 1159, 1160, 1161, 1162)

+

1. Сколько решений имеет система уравнений (№ 1080)

+

1. Текстовые задачи, решающиеся с помощью системы уравнений (№ 1070, 1071, 1072, 1123-1153, 1163, 1164)

Выразите с помощью уравнения (№ 1042, 1045, 1047)

+

+