Логарифмическая спираль

Логарифмическая спираль

Путешествие на северо-восток

?

?

?

?

?

Вопрос : Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?

Обычно на этот вопрос отвечают так: обойду земной шар и вернусь в точку начала пути.

Но этот ответ неверен. Ведь идти на северо-восток - это значит постоянно увеличивать восточную долготу и северную широту, и вернуться в более южную точку мы не сможем.

?

Путешествие на северо-восток

!

!

!

!

!

!

Ответ: Рано или поздно мы попадем на северный полюс.

При этом путь, который мы пройдем, будет иметь вид логарифмической спирали.

На рисунке вы можете видеть этот путь так, как мы увидели бы его, смотря на земной шар со стороны северного полюса.

Уравнение логарифмической спирали

Логарифмическая спираль описывается уравнением r=a ф , где r – расстояние от точки, вокруг которой закручивается спираль (ее называют полюсом), до произвольной точки на спирали, ф – угол поворота относительно полюса, а – постоянная.

Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния (log a r) возрастает пропорционально углу поворота ф.

Свойства логарифмической спирали

Произвольный луч, выходящий из полюса спирали, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом.

Свойства логарифмической спирали

Логарифмическая спираль не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или растянуть эту спираль – то же самое, что повернуть ее на определенный угол.

Свойства логарифмической спирали

Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно наблюдать кажущееся растяжение спирали.

Свойства логарифмической спирали

Если вращать спираль вокруг полюса против часовой стрелки, то можно наблюдать кажущееся сжатие спирали.

Знаменитости и спираль

Впервые о логарифмической спирали говорится в письме французского математика Рене Декарта в 1638 г.

Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал логарифмическую спираль математическим символом жизни.

Л огарифмическая спираль так поразила математика Якоба Бернулли, что он завещал высечь ее изображение на своем надгробном камне вместе с надписью на латинском «Измененная, возрождаюсь прежней».

Логарифмическая спираль в природе

В природе логарифмическая спираль встречается довольно часто.

Например, раковины многих моллюсков закручены именно по этой спирали, чтобы не сильно вытягиваться в длину.

Также логарифмическую спираль можно увидеть в рогах архара (горного козла).

Логарифмическая спираль в природе

В подсолнухе семечки расположены по дугам, очень близким к логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности, галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Логарифмическая спираль в природе

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.

К О Н Е Ц