Линейные уравнения с параметром

Линейные уравнения с параметром

Что значит решить уравнение с параметром – это означает, что для всех значений параметра найти всевозможные решения.

Существует и другой вариант задания, указать всевозможные значения параметра, при которых уравнение станет обладать определенными свойствами. Пример задач: имеет одно решение, не имеет решений, решения, принадлежащие промежутку и т. п. В таких задачах необходимо конкретно указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

1. Дано уравнение ax = b. Это уравнение – кратко записанное бесконечное множество уравнений с одной переменной. Рассмотрим все варианты решения этого уравнения:

а) Если а ≠ 0, получаем x = b/a.

б) Если b ≠ 0, а = 0 получаем, решений нет.

в) Если b = 0, а = 0 получаем 0·x = 0, такое может быть при любом x, т.е. бесконечное множество решений. Другие варианты приводятся к этим трем.

При рассмотрении различных линейных уравнений с параметром необходимо свести уравнение к виду ax = b и перебрать контрольные значения и a и b.

Примеры: 1. .

а) Если а ≠ 0 или а ≠ 3, то уравнение имеет единственное решение

б) Если а = 0, 0·x = -3, то у уравнения решения нет.

в) Если а = 3, 0·x = 0, то у уравнения решение любое число.

Ответ: 1) а ≠ 0 или а ≠ 3 2) а = 0, решений нет. 3) а = 3, x – любое число.

2. Пример с двумя параметрами: .

а) Если b ≠ 1 и а ≠ 2, то уравнение имеет единственное решение

б) Если b = 1 и а ≠ 0,5, и аналогично если b ≠ 4 и а = 2, то уравнение решения не имеет.

b) Если b = 1 и а = 0,5 или b = 4 и а = 2, то уравнение имеет бесконечное множество решений

В каждом случае при решении линейных уравнений с параметром находят контрольные значения параметра и перебирают все случаи их возможных значений. Для приобретения дальнейшего опыта необходима тренировка.

3. Пример похожего на № 18 в егэ: Преобразуем, разложив на множители

a) Если a = 1, то 0·x = 0 и уравнение имеет решением любое число.

б) Если a = -1, то 0·x = -2, решений нет

в) При других остальных значениях a

Ответ: 1) a = 1, x – любое число, 2) a = -1, решений нет, 3)

Для тренировки можно найти много задач:

https://4ege.ru/matematika/53833-165-zadach-s-parametrami.html