Лекция по теме "Случайные события"

Дистанционный курс по математике для студентов 1 курса

Преподаватель: Добрынина Н.В.

Лекция № 5

Тема: Случайные события и их вероятность.

Цели лекции:

• Рассмотреть виды событий;

• Формировать навыки решения задач.

Ранее мы рассмотрели такие понятия как опыт (испытание) и событие. Рассмотрим теперь виды событий.

События бывают:

1.

• Достоверными – появляются всегда в результате опыта.

Пример 1:

Е – 1 подбрасывание 1 игральной кости.

А – выпадение очков от 1 до 6.

• Невозможным называется событие, которое в результате опыта произойти не может.

Пример 2.

Е – 1 подбрасывание 1 игральной кости.

А – выпадение очков больше 6.

• Случайным – могут произойти или не произойти.

Пример 3.

Е – 1 подбрасывание 1 игральной кости.

А – выпадение 3 очков.

2.

• Совместные.

События А и В называются совместными, если появление одного из них в результате данного испытания, не исключает появление другого.

Пример 4.

Е - В аудиторию вошел человек.

А – в аудиторию вошел человек старше 30 лет

В - в аудиторию вошел мужчина

А и В – совместные, поскольку в аудиторию может войти мужчина старше 30 лет.

• Несовместные.

События А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же испытании.

Пример 5.

Е – один раз подбрасывается правильная монета.

А – выпала решка;

В – выпал герб.

Появление решки исключает появление герба, и наоборот, поэтому события А и В – несовместные события.

Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятных несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.

Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является невозможным событием.

3.

• Равновозможные.

События являются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. Условия их появления одинаковы и у кого-либо из них нет больше шансов, чем у другого.

Пример 6. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - равновозможные события. Это возможно, если игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

Пример 7. События А – появление герба и В – появление надписи при Е – бросании монеты - равновозможные события. Предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

• Не равновозможные.

События являются не равновозможными, если одно имеет больше шансов, чем любое другое.

Пример 8.

Е – 1 подбрасывание 1 игральной кости.

А – выпадение 3 очков;

В – выпадение более 3 очков.

А и В не равновозможные.

Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них, и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.

Пример 8.

Е – стрелок произвел выстрел по цели.

Обязательно произойдет одно из следующих двух событий:

А - попадание,

В – промах.

Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называются случаями или шансами, если они удовлетворяют трем условиям:

1. Они совместны.

2. Они равновозможные.

3. Они образуют полную группу.

Пример 9.

Е – одно подбрасывание 1 игральной кости.

А – выпадение менее 3-х очков.

В – выпадение не более 3-х очков.

С – выпадение более трех очков.

1. А и В совместны, не являются шансами.

2. А и С совместны, равновозможными не являются, не являются шансами в условиях этого опыта.

3. В и С несовместны, равновозможные, образуют полную группу, т.е. это шансы.

Событие А есть часть события В, если всегда, когда происходит событие А, происходит и событие В, но не наоборот.

Пример 10.

Е – извлечение наугад одной карты из колоды в 36 карт.

А – появление пиковой дамы.

В – появление карты пиковой масти.

А часть В.

Замечание: если А часть В и В часть А, то А и В одно и тоже событие.

Два несовместных события, образующие полную группу, являются противоположными: если в результате опыта не произойдет одно из событий, то обязательно произойдет другое, так как по определению полной группы одно из них обязательно должно произойти.

Два события А и А называются противоположными или взаимно дополнительными, если не появление одного из них в результате данного испытания влечет появление другого (А читается как «не А ») . События А и А несовместны.

Пример 11. Если при проверке качества оказалось, что изделие имеет дефекты, то это изделие не может быть стандартным, и наоборот, поэтому события А – изделие бракованное и В – изделие стандартное - противоположные.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.

Над случайными событиями можно выполнять действия.

Алгебра событий.

 Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам, благоприятным А и В.

Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Решение задач.

Задача 1. По каналу связи последовательно передано три знака. Описать пространство элементарных событий и события:

1. принят только первый знак;

2. принят, по крайней мере, один знак;

3. приняты два и только два знака;

4. принято меньше двух знаков;

5. принят один знак .

Решение.

Используем цифры 0, 1 для обозначения событий: 0 — знак искажен, 1 — знак принят. Тогда пространство элементарных событий запишется в виде

Ω ={000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111} и имеет размерность восемь.

A1 — принят только первый знак: A1 = {100};

A2 — принят по крайней мере один знак: A2 = {100 + 010 + 001 + 110 + 101 + 011 + 111} = Ω\{000};

A3 — приняты два и только два знака: A3 = {110 + 011 + 101};

A4 — принято меньше двух знаков: A4 = {000 + 100 + 010 + 001};

A5 — принят один знак: A5 = {100 + 010 + 001}.

Из полученных результатов следует, что

1. события A1 и A3 — несовместные

2. события A4, A3 — несовместные

3. события A3, A5 — несовместные

4. A5 влечет A4 (A5 ⊂ A4)

5. события A1 и A2 — совместны,

6. A2 и A3, A1 и A4, A1 и A5, A2 и A4 — совместные;

7. A1 ⊂ A5 ⊂ A4 ; A3 ⊂ A2 ; A1 = A5 + A2.

Задача 2. Игральная кость брошена дважды.

1. Описать пространство элементарных событий Ω.

2. Описать пространство элементарных событий, если его элементами служат суммы выпавших очков.

3. Назвать элементы Ω, составляющие события:

A — сумма очков равна 7;

B — хотя бы на одной кости выпала 1;

C — сумма очков делится на 3.

4. Описать словами события:

D = {(11),(12),(21)};

E = {(46),(55),(64)}.

Решение.

1. Ω = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, ..., 66},

2. Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

3. A = {16, 61, 34, 43, 25, 52};

B = {11, 12, 21, 13, 31, 14, 41, 15, 51, 16, 61}

C = {12, 21, 36, 63, 45, 54, 33, 15, 51, 24, 42, 66}.

D = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 2 ИЛИ 3 };

E = {СУММА ОЧКОВ РАВНА 10}.

Задача 3. Даны две электрические схемы:

Описать событие: C – ЦЕПЬ ЗAМКНУТA для каждого случая.

Решение.

Введем обозначения: событие A — контакт 1 замкнут; событие B — контакт 2 замкнут; событие C — цепь замкнута, лампочка горит.

1. Для параллельного соединения цепь замкнута, когда хотя бы один из контактов замкнут, поэтому C = A + B;

2. Для последовательного соединения цепь замкнута, когда замкнуты оба контакта, поэтому C = A · B.

Задача 4. Составлены две электрические схемы:

Событие A — цепь замкнута, событие A i − i–й контакт замкнут. Для какой из них справедливо соотношение

A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A?

Решение.

Для первой схемы A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), так как параллельному соединению соответствует сумма событий, а последовательному соединению — произведение событий. Для второй схемы A = A1 · (A2 + A3 · A4 · A5). Следовательно, данное соотношение справедливо для второй схемы.

Задача 5.

Упростить выражение (A +B)(B +C)(C +A).

Решение. Воспользуемся свойствами операций сложения и умножения событий.

(A + B)(B + C)(A + C) = (AB + AC + BB + BC)(A + C) =

= (AB + AC + B + BC)(A + C) = (AB + AC + B)(A + C) = (B + AC)(A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = BA + BC + AC.

Задача 6. Доказать, что события A, AB и A + B образуют полную группу.

Решение.

При решении задачи воспользуемся свойствами операций над событиями. В начале покажем, что эти события попарно несовместны.

A · AB¯ = AA¯ B = ∅ · B = ∅ A A + B = A A¯ · B¯ = AA¯ B = ∅B = ∅ AB¯ · A + B = AB¯ · A¯B¯ = A¯A¯ BB¯ = A¯∅ = ∅

A теперь покажем, что сумма этих событий дает пространство элементарных событий.

A + AB + A + B = A + AB + A · B = = A + A(B + B) = A + AΩ = A + A = Ω

Задача 7. С помощью схемы Эйлера–Венна проверить правило де-Моргана: AB

а) Заштриховано событие AB.

б) Событие A — вертикальная штриховка; событие B — горизонтальная штриховка.

Событие {A+B} — заштрихованная область.

Из сопоставления рисунков а) и в) следует: AB = A + B.

Список литературы и Интернет-ресурсов:

1. Барышева В.К., Галанов Ю.И., Ивлев Е.Т., Пахомова Е.Г. T338 Теория вероятностей. Учебное пособие. — Томск: Изд– во ТПУ, 2004. — 136 с.

2. Новоселов О.В. Комбинаторика и вероятность: учебн. пособие для слушателей подготовит. курсов / О. В. Новоселов, Л.П. Скиба. СибГАУ, Красноярск, 2009. – 78 с.

3. Случайные события: метод, указания к выполнению самостоят, работы / сост. Е.А. Кримнус, Н.А. Шиловская. - Архангельск: Арханг. гос. техн. ун-т, 2010.-67 с.

4. Филимонова Л.В., Быкова Е.А. Математика и информатика. Учебное пособие (для студентов гуманитарных факультетов ВУЗов). – 2-е изд. Дополненное и переработанное – Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина, 2001, 110 с.

5. https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/teoriya-veroyatnostej-na-ege-po-matematike/

6. https://www.matburo.ru/tv_book.php