Лекция по математике: Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения

Лекция к занятию №23

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 4.3 Применение определённого интеграла.

к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения .

Тема занятия: Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения. Вычисление объёмов тел вращения.

1. Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

2. Применение определённого интеграла к вычислению площади поверхности тела вращения.

3. Вычисление объёмов тел вращения.

1. Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

Мы уже знаем как вычислить площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла, а теперь рассмотрим все возможные варианты расположения фигур.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b :

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f(x),  и прямыми х=а, х= b :

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и  :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f(x),   и осью Ох:

Отметим, что часто встречается задача нахождения интеграла, исходя из его геометрического смысла.

Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 1. Используя геометрический смысл интеграла вычислить определённые интегралы

и .

Решение.

а)– равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями:.; х = 0, х = 2 и у = 0.

Преобразуем: в (х – 1)² + у² = 1

А это - верхняя половина окружности с центром Р(1;0) и радиусом R=1, поэтому:.

.

Ответ: .

б) Рассуждая аналогично, построим область, ограниченную графиками: у = arcsin x; x =-1 и x = 1.

Имеем: S = AB = 2 BC = (.

. Ответ:.

2. Применение определённого интеграла к вычислению площади поверхности тела вращения.

Представьте, что линия АВ  вращается вокруг оси ОХ. В результате этого действия получается геометрическая фигура, называемая поверхностью вращения. Чтобы исключить двусмысленную трактовку, сделаем важное уточнение: с геометрической точки зрения наш тело вращения имеет бесконечно тонкую стенку и две поверхности с одинаковыми площадями – внешнюю и внутреннюю. Так вот, все дальнейшие выкладки подразумевают площадь только внешней поверхности.

В прямоугольной системе координат площадь поверхности вращения рассчитывается по формуле:

или, если компактнее:

Пример 1

Вычислить площадь поверхности тела, полученного вращением параболы

у =  вокруг оси Ох  на промежутке от х =0 до х = 4.

Решение:

вычислим площадь поверхности, образованной вращением верхней ветви у =  вокруг оси абсцисс. Используем формулу:

.
В данном случае: у/ = ; тогда:

Таким образом:

Ответ: Р = ед²

3. Вычисление объёмов тел вращения.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:

,

(1)- если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

(2)- если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Пример 1.Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = , x = 4, y = 0.

Решение .

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x², y² = x.

Решение .

Построим графики функции. y = x², y² = x. График y² = x   преобразуем к виду y = .

Имеем V = V₁ – V₂ Вычислим объем каждой функции

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями у = 2х - х², у = 0 вокруг оси  Ох.

Решение

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси Ох В результате вращения получается такое яйцевидное тело, которое симметрично относительно оси Ох.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Ответ: V =

Пример 4

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох  фигуры, ограниченной линиями 2х – у = 2, у = 0, х = 3.

Это пример для самостоятельного решения.

Пример 5

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями у = 2х + 1, у = х + 4, х = 0 и х = 1.

Решение:

Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями у = 2х + 1, у = х + 4, х = 0 и х = 1, не забывая при этом, что уравнение х = 0 задает ось Оу:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси Ох  получается усечённый конус с вырезанным изнутри также усечённым конусом. Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси Ох получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V₁.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V₂.

И, очевидно, разность объемов V = V₁ – V₂ – в точности объем нашего тела вращения.

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой у = х + 4, поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой: у = 2х + 1, поэтому:

3) Объем искомого тела вращения: V = V₁-V₂ = - (куб.единиц)

Ответ: V =

Посмотрите на плоскую фигуру в решённой задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим.

Пример 6

Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси Ох  плоской фигуры, ограниченной линиями у = , , где 0 .

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе 0, иными словами, фактически даны готовые пределы интегрирования.(Для самостоятельного решения).

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1.Дайте определение определённого интеграла.

2. Сформулируйте геометрический смысл определённого интеграла.

3. Перечислите этапы вычисления определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

4. Запишите формулу для нахождения площади поверхности тела вращения с помощью определённого интеграла.

5. Запишите формулу для нахождения объёма поверхности тела вращения с помощью определё1нного интеграла.

ЛИТЕРАТУРА: ?????

План к занятию №23

Раздел 1. Математический анализ.

Тема 4.3 Применение определённого интеграла.

к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения .

Тема занятия: Применение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площади поверхности тела вращения. Вычисление объёмов тел вращения.

Цель занятия:

Довести до сознания студентов геометрический смысл определённого интеграла, научить студентов вычислять площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла в зависимости от расположения плоской фигуры в координатной плоскости, научить вычислять площадь поверхности тела вращения и его объём с помощью определённого интеграла..

Задачи:

Образовательные:

ввести формулы для вычисления с помощью определённого интеграла; площади плоской фигуры, объёма тела вращения. определённого интеграла.

Развивающие:

развивать умения и навыки вычисления площади плоской фигуры, площади поверхности тела вращения, объёма тела вращения с помощь. определённого интеграла; развивать логическое мышление студентов.

Воспитывающие:

воспитывать у студентов такие профессиональные качества как внимательность при объяснении нового материала, активность на уроке, дисциплинированность Формирование компетенций: ОК 2-ОК 6.

Тип занятия: лекция.

Методы: словесные, наглядные.

Оборудование занятия: компьютер, плакаты, листы опроса, таблица интегралов, портреты и высказывания математиков , калькулятор.

Ход занятия.

1.  Приветствие.

2. Актуализация темы и цели занятия.

Мозговой штурм.

1.  Давайте разберёмся, если функция задается в виде многочлена третьей степени, то какую степень имеет производная этой функции? А первообразная?

2.  Для какой функции производная совпадает с самой функцией?

3.  Производные каких функций равны 1, x, x²?

4.  Вспомним, какая функция называется первообразной для заданной функции на заданном промежутке?

5.  Если F(x) –первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?

6.  Какая из двух функций является первообразной другой: 5x⁴ и x⁵+11? Почему?

7.  Является ли функция F(x) = сtg x первообразной для функции f(x) = -1/sin² x на R?

8.  Назовите все элементы равенства =F(x)+C.

9.  Какие из равенств записаны неверно:

1)  =3x²+C;

2)  =x+x² +C? В чём ошибка?

10.  Как проверить результаты интегрирования?

3.  Объяснение новой темы. ( Лекция прилагается)

4. Домашнее задание [1, с.261-265],

Решить задачи:

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х² и у =

2. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями: у = х² и у =

3. Вычислить площадь поверxности тела, полученного при вращении вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями: у = х² и у =