Лекция 2. "Сходящиеся последовательности. Монотонные последовательности. Основные теоремы"

Невозрастающие – ограничены сверху;

Неубывающие – ограничены снизу;

Невозрастающая последовательность ограничена с двух сторон, если она ограничена снизу.

Неубывающая последовательность ограничена с двух сторон, если она ограничена сверху

Примеры.

1. невозрастающая, ограничена сверху 1, снизу – 0.

2. неубывающая, ограничена снизу - 1.

3. возрастающая, ограничена снизу , сверху – 1.

Признак сходимости монотонной последовательности.

Теорема

Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится (основная теорема).

Другая формулировка

Если монотонная последовательность ограничена с обеих сторон, то она сходится.

- ограничена, то

Доказательство

Последовательность

и

- точные верхняя и нижняя грани.

Докажем, что если последовательность неубывающая, то - ее предел;

Если последовательность невозрастающая, то - ее предел;

Ограничимся случаем неубывающей последовательности.

Поскольку - верхняя грань множества элементов последовательности, то

, такой, что и . Сопоставляя неравенства, получаем . Так как - неубывающая последовательность, то при

справедливо неравенство . Выше было

неравенство , тогда или . Таким образом, - предел .

Замечание 1

Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие ее сходимости.

Замечание 2

Сходящаяся последовательность может и не быть монотонной. Например - сходящаяся, так как . Но она не монотонная.

Свойства числовых последовательностей и числовых множеств

Подпоследовательности числовых последовательностей

Пусть - некоторая числовая последовательность. Рассмотрим последовательность . Выбираем из элементы с

номерами , то есть - это подпоследовательность

последовательности .

Свойство 1

Если для , то любая подпоследовательность этой

последовательности имеет своим пределом число а.

Справедливо и обратное.

Если все подпоследовательности последовательности сходятся, то пределы этих подпоследовательностей равны одному и тому же числу а; в частности, к этому же числу сходится и последовательность .

Свойство 2

Каждая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также будет бесконечно большой.

Свойство 3

Из каждой сходящейся последовательности можно выделить монотонную сходящуюся подпоследовательность.

Предельные точки последовательности

Определение 1

Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если любой - окрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности .

Лемма 1

Если х – предельная точка последовательности , то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к числу х .

Доказательство

Пусть х – предельная точка . Рассмотрим систему - окрестностей точки х :

Выберем и так далее.

Это процесс можно продолжить бесконечно, так как в - окрестности точки х имеется бесконечно много элементов последовательности .

В результате получаем подпоследовательность , которая сходится к х , так как

. Теорема доказана.

Замечание

Справедливо обратное утверждение: Если из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к числу х , то х является предельной точкой и для .

Определение 2

Точка х называется предельной точкой последовательности , если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к х .

Лемма 2

Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.

Доказательство

Отметим, что предел а сходящейся последовательности является предельной точкой этой последовательности, поскольку в - окрестности точки а содержатся все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. Убедимся, что у нет других предельных точек. Действительно, пусть b - предельная точка сходящейся последовательности. В силу леммы 1 из можно выделить подпоследовательность

, сходящуюся к b . Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности имеет предел а (на основании определения предельной точки) и поэтому b = a .

Существование предельной точки у ограниченной последовательности

Теорема

У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.

Определение 1

Наибольшая предельная точка последовательности называется верхним пределом этой последовательности.

Обозначение последовательности

У всякой ограниченной последовательности существует верхний предел.

Определение 2

Наименьшая предельная точка последовательности называется нижним пределом этой последовательности.

Обозначение последовательности

У всякой ограниченной последовательности существует нижний предел.

Окончательно

У всякой ограниченной последовательности существует верхний и нижний пределы.

Следствие 1

Если ( a , b ) – интервал, вне которого лежит лишь конечное число элементов ограниченной последовательности , а и - верхний и нижний пределы этой последовательности, то интервал ) содержится в интервале ( a , b ) и поэтому

.

Следствие 2

Для интервал ) содержит все элементы последовательности , начиная с некоторого номера.

Замечание

Ограниченная последовательность в общем случае может иметь любое количество

предельных точек (конечное или бесконечное). Пусть и - верхний и нижний пределы этой последовательности. Очевидно, что все предельные точки последовательности лежат на сегменте (сколько бы их не было).

Если - то последовательность имеет только одну предельную точку.

Если - то последовательность имеет две предельные точки.

Пример

имеет две предельные точки .

О выделении сходящейся последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Теорема

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство

Так как последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку х . В таком случае из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке х (см. определение 2 предельной точки).

Замечание 1

Из любой ограниченной последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность, а из этой подпоследовательности можно выделить монотонную подпоследовательность.

Замечание 2

Пусть ограниченная последовательность, элементы которой находятся на сегменте [ a , b ] . Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности также находится на сегменте [ a , b ].

Действительно, так как

Замечание 3

В отдельных случаях из неограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Например

неограниченно, но подпоследовательность

сходится.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности

Существует внутренний критерий сходимости последовательности исходя из величины элементов. Для формулировки этого критерия введем понятие фундаментальной последовательности.

Определение

Последовательность называется фундаментальной, если , такой, что для всех номеров n , удовлетворяющих условию и для всех натуральных чисел p (p=1,2,…) справедливо неравенство

Теорема 1

Для того, чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы нижний и верхний пределы ее совпадали, то есть

Теорема 2 (важное свойство фундаментальной последовательности)

Для фундаментальной последовательности, - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N .

Другими словами, вне интервала находится не более чем конечное число элементов последовательности.

Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность фундаментальной последовательности.

Пусть и - элемент, в - окрестности которого находятся все элементы, начиная с номера N . Тогда вне этой - окрестности могут находиться только элементы . Положим . Тогда на сегменте [- A , A ] находятся числа , а следовательно, и все точки - окрестности числа . Отсюда вытекает, что все элементы фундаментальной последовательности находятся на сегменте [- A , A ] , что и означает ее ограниченность.

Теорема. Критерий Коши сходимости последовательности.

Для того, чтобы последовательность была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство

Необходимость

Пусть - сходящаяся, и х – ее предел. Требуется доказать, что эта последовательность фундаментальная.

Возьмем . Из определения сходимости последовательности вытекает, что для

, такой, что при выполняется неравенство . Если

, то при выполняется также и неравенство .

Из последних неравенств получаем

Фундаментальность установлена.

Достаточность

Пусть - фундаментальная последовательность. Требуется доказать, что эта последовательность сходится. Для этого достаточно доказать ограниченность и равенство ее верхнего и нижнего пределов и . Ограниченность фундаментальной последовательности уже была установлена выше. Для доказательства равенства пределов воспользуемся рассмотренным ранее свойством фундаментальной последовательности: Для фундаментальной последовательности, в - окрестности которого находятся все элементы последовательности, начиная с номера N .

Другими словами, вне интервала находится не более чем конечное число элементов последовательности.

На основании теоремы: ( у всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка и следствия из данной теоремы) интервал содержит интервал , и поэтому , откуда в силу произвольности

. Тем самым сходимость установлена и теорема доказана.