Квадраттык тамыр жана квадраттык теңдемелер.

Квадраттык тамыр жана квадраттык тамыр теңдемелелерди окутуу.

План:

1. Квадраттык тамыр жана квадраттык теңдемелелерди окуп үйрѳтүүдѳ кандай билимдерге, билгичтиктерге жана кѳндүмдѳргѳ ээ болот.

2. Квадраттык тамыр түшүнүгүн кийирүү.

3. Квадраттык тамырлардын касиеттерин окутуу.

4. Бѳлчѳктүн бѳлүмүн тамырдан куткаруу жана тамыры менен берилген туюнтмаларды салыштырууну окутуу.

5. Тамыр чыгаруу, Брадистин тѳт орундуу математикалык таблицаны, калкульяторду пайдаланып тамыр чыгаруунун жолдорун үйрѳтүү.

Квадраттык тамыр жана квадраттык теңдемелер мектеп математикасынын традициялуу темаларынын бири. Алар алгебранын алгебра жана анализдин, тригонометрия жана геометрияны …. Материалдарынын негиздери. Окуучулардын бул материалдарды терең ѳздѳштүрүшүнѳ жетишүү керек. Окуучулар тѳмѳнкү билим же билгичтиктерге, адат-кѳндүмдѳргѳ ээ болуулары зарыл:

1. Ушул мезгилге чейинки ѳтүлгѳн сандардын системаларын, алар менен болгон амалдарды, сандардын сан огунда жайланышы, ондук бѳлчѳк түрүндѳ жазылыштары, аларды синтездѳѳ;

2. Алгебралык амалдарды кайталоодон, аларга тескери амалдардын жашашын элестете алуу. Даражага кѳтѳрүү, квадратка кѳтѳрүү амалдарынын касиеттери, квадратка кѳтѳрүү амалына тескери болгон квадраттык тамыр чыгаруу амалы экендигин аныктоо, арифметикалык тамыр түшүнүгүн билүү;

3. Квадраттык тамырдын касиеттерин үйрѳнүү, ал касиеттерди пайдаланып маселе-мисалдарды чыгаруу, туютмаларды теңдеш ѳзгѳртүп түзүүнүн аткара билүү;

4. Каалагандай оң сандардан квадраттык тамыр чыгаруунун жолун үйрѳнүү; квадраттык тамырлардын таблицасы менен микрокалькулаторлордун жардамында тамыр чыгара билүү;

5. Иррационал сан түшүнүгүн ѳздѳштүрүү, анык сандардын кѳптүгүнүн аныктоосун билүү, касиеттерин үйрѳнүү;

6. Иррационалдык функциялар жана теңдемелер менен таанышуу.

2.Бул материалдарды окутууга программа боюнча жетиштүү убакыт ажыратылган. Тик бурчтуктун жактары а жана в болсо, анда анын аянты S=a*b болушунан, квадраттын жагы х болсо, анда анын аянты болору келип чыгат. х ке каалагандай сан маани берип ты табуу кѳрсѳтүлѳт. Квадраттардын таблицасын түзүп кѳрсѳтүү да мүмкүн.

Эми квадратка кѳтѳрүүгѳ тескери амалды карап кѳрѳлү. Кээ бир учурда квадраттын аянты берилип, анын жагын табуу талап кылынат. Мисалы квадраттын аянты 36 м болсо, анын жагы эмнеге барабар? Квадраттын жагы 16 м ка, 81 дм ка, 1 м ка барабар болсо, жагы эмнеге барабар. Квадраттын жагын х десек, анда х =а болор эле. Демек, аянты а болгон квадраттын квадраты а санына барабар х саны болот.

Квадраты а га тең болгон сан, а санынын квадраттык тамыры деп аталат, х =а болсо, х-квадраттык тамыр. Мисалы, а=36 санынын квадраттык тамыры ±6 болот. санынын квадраттык тамыры , квадарттык тамыры ж.б. Демек, оң сандардын квадраттык тамыры экѳѳ, бири оң, бири терс: 0 санын тамыры 0, себеби . Каалагандай r санынын квадраты терс сан болгондуктан, а

Квадраты а га барабар болгон терс эмес сан, а санынын радикалдык квадраттык тамыры деп аталат., б.а. х≥0, х =а болсо, х-квадраттык тамыр, а санынын арифметикалык квадраттык тамыры менен белгиленет. -арифметикалык квадраттык тамырдын белгилениши квадраттык тамыр түшүнүгүн окуучуларга аянт түшүнүгүнѳ тескери амалдан, даяр түрдѳ формалдуу жолдор менен берүүгѳ болот.

белгисин квадраттык тамыр же радикал деп айтышат. белгисин француз математиги Р.Декарт (1637) киргизген. Квадраттык тамыр, арифметикалык квадраттык тамыр түшүнүктѳрүн бышыктоо максатында тѳмѳнкү слайдда сунуш кылабыз (1-слайд)

1. Аянты ( ) болгон квадраттын жагын тапкыла.

2. Тѳмѳнкү сандардын арифметикалык квадраттык тамырларын эсептегиле.

а) 0,64 (1,44); б) 4900 (6400)

1. Эсептегиле:

_а)

1. Теңдемени чыгаргыла.

_а)

_б)

3.Кѳбѳйтүндүдѳн алынган квадраттык тамырдын касиетин квадраттык тамыр, даражадан алынган квадраттык тамырлар түшүнүгүн кайталап, андан кийин мисалдар түшүнүгүн кайталап, андан кийин мисалдар келтирүү менен баштайбыз.

туюнтманын маанисин тапкыла.

Чыгаруу.

Башкача жол менен

Эки жол менен чыгарганда деле жыйынтык бирдей. Демек, деп жазууга болобу? Окуучулар болот деп жооп беришет. Ушул жерде теореманы айтып, далилдейбиз.

Теорема. Эгерде а≥0, в≥0 болсо, анда

болот. Б.а. терс эмес кѳбѳйтүүчүлѳрдүн кѳбѳйтүндүсүнѳн алынган тамыр ушул эле кѳбѳйтүндүлѳрдүн тамырларынын кѳбѳйтүндүсүнѳ бараб.

Далилдѳѳ. а≥0, в≥0 болсун дейли. Анда жана туюнтамаларынын ар бири мааниге ээ.

1. жана 2) шарттарынын орун аларын кѳрсѳтѳбүз.

Квадраттык тамырдын аныктоосу боюнча , ошондуктан _. кѳбѳйтүндүсүн квадратка кѳтѳрѳлү Демек, 1) жана 2) шарттар аткарыларын кѳрдүк. Демек, барабардыгы туура.

Мисалдар келтирели

1-мисал.

2-мисал.

_{3-мисал.}

Бул теорема терс эмес кѳбѳйтүүчүлѳрдүн каалагандай саны үчүн да туура болот. Мисалы, , , болсо, .

, болсо, ѳзгѳртѳлү. Жогорудагы теорема боюнча Бул ѳзгѳртүү кѳбѳйтүүчүнү тамыр белгисинин сыртына чыгаруу деп аталат. Тескерисинчи кѳбѳйтүүчүнү тамыр белгисинин ичине киргизүү деп аталат.

Кѳбѳйтүүчүнү тамыр белгисинин артына (ичине) чыгаруу (киргизүү) гѳ мисалдар карайлы.

1-мисал. кѳбѳйтүүчүнү тамыр белгисинин ичине киргизгиле

2-мисал. Кѳбѳйтүүчүнү тамыр белгисинин сыртына чыгаргыла

3-мисал. жана сандарды салыштыргыла. Берилген сандарды салыштыруу үчүн тамырдын сыртында турган санды тамыр белгисинин ичине киргизип, салыштырабыз.

болгондуктан болот. Кѳбѳйтүндүдѳн тамыр чыгарган сыяктуу эле бѳлчѳктѳн алынган квадраттык тамырдын касиеттерин тѳмѳнкү теорема менен беребиз.

Теорема. Эгерде , болсо, анда б.а. терс эмес сандын оң санга бѳлгѳндѳгү тийиндинин тамыры, бул сандардын тамырларынын тийиндисине барабар. Теореманын далилдѳѳсү китепте берилген

Ошондуктан мисалдар менен теореманы бышыктайбыз.

1-мисал.

Кээде теореманын оң жагындай берилсе сол жагындай жазуу ыңгайлуу .

2-мисал. .

Ошентип, оң жагынан сол жагын же тескерисинче иштѳѳгѳ да туура келет.

4.Бѳлчѳктүн бѳлүмүн радикалдан куткаруу маселеси да туюнтмаларды жѳнѳкѳйлѳтүүдѳ кѳп колдонулат.

1. Эгерде бѳлчѳктүн бѳлүмү бир эле тамырдан турса, ал бѳлчѳктүн алымында, бѳлүмүн да ошол эле тамырга кѳбѳйтүү керек.

Б.а.

2. бѳлчѳгүнүн бѳлүмүн радикалдан куткаргыла.

Чыгаруу. Эгерде айырмасын суммасына кѳбѳйтсѳк, анда тамырларды кармабаган туюнтма келип чыгат. Б.а.

Мында жана түйүндѳштѳр деп аталат.

Амалдарды аткаргыла .

Мектеп программасына кирбесе да татаал радикалдын формуласы менен окуучуларды таанышьыруу жакшы эле.

Мында а0, в0,

Далилдѳѳ.

деп белгилеп квадратка кѳтѳрѳбүз.

(1)

(2)

1. жана (2) кошуп жана мүчѳлѳп кемитсек:

2. алабыз

Радикалдар менен берилген айрым туюнтмаларды эсептѳѳдѳ кеңири колдонобуз.

Мисалы,

Ушул эле туюнтманы башкача жол менен да иштѳѳгѳ болот. Эки сандын суммасынын квадраты кылып жазууга болобу?

Тамыр чыгарууну Брадистин «тѳрт орундуу математикалык таблицалардын», калькулятордон пайдаланып чыгаруудан сырткары да квадраттык тамыр чыгарууну үйрѳтүү пайдалуу.

1-мисал. тамыр чыгарылсын .

529 санын ондон баштап экиден грандарга ажыратабыз 5 тен квадрат

а)

2-мисал. эсептегиле.

0,0196 үтүрдѳн оңго карай экиден грандарга ажыратабыз да барабардыктан кийин 0 бүтүндү жазып, калган операцияны мурдагыдай эле жүргүзѳ беребиз.

_{(9,7-горизонталдуу сап, 3-вертикалдуу сап).}

_{(36-горизонталдуу сап, 4-вертикалдуу сап).}

_{(3,119 тамырга 6 нын 1 ге барабар болгон ,түзѳтүүсү кошулган).}

(6,033тамырга 8 дин 7 ге барабар болгон түзѳтүүсү кошулган же 6,042 тамырдан 2 нин 2 ге барабар түзѳтүүсү кемитилген).

Акыркы натыйжа гана жазылат.