Квадратные корни. Арифметический квадратный корень 8 класс

Тема урока: «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень»

Цель урока:

• Добиться усвоения учащимися содержания понятий «Квадратный корень из числа», «определение арифметического квадратного корня из неотрицательного числа» и понимания соотношения между этими понятиями;

• Сформировать у учащихся представление о содержании записи √а и способы нахождения ОДЗ этого выражения.

• Сформировать представление о способе решения простейших иррациональных уравнений вида √х=а на основе определения арифметического квадратного корня и неотрицательного числа;

• Развивать вычислительные навыки, устную и письменную математическую речь, а так же внимание и личностные качества (целеустремленность, настойчивость);

• Воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы;

• Формировать умение осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: опорный конспект, презентация

Ход урока:

1. Организационный момент.

Давайте, улыбнемся друг другу и начнем наш урок. Послушайте стихотворение-загадку:

Он есть у дерева, цветка,
Он есть у уравнений,
И знак особый – радикал –
С ним связан, вне сомнений.
Заданий многих он итог, 
И с этим мы не спорим,
Надеемся, что каждый смог 
Ответить: это …

Проверка домашнего задания

1. Формулирование цели и задач урока

Давайте попробуем решить уравнение х²=81.( Дома учащиеся работали с заданием на построение графика функции у=х², поэтому отвечают быстро х= -9 и 9), а уравнение х²=3 (задумались). Сегодня на уроке мы будем изучать новое действие, которое обратно действию возведения данного числа в квадрат.

3.Актуализация опорных знаний и умений учащихся.

Устные упражнения

1. Возведите во вторую степень число:

А)0; б)2; в)-2; г)0,3; д) -1/5; е) 2/7; ж) 1¾.

2) Квадрат какого числа равен:

А)0; б)1; в)-0,2; г)1/36; д)0,004?

3) Точка А(к;6) принадлежит графику функции у=х². Принадлежит ли этому графику точка:

1.В(к;-6); 2.С (-к;6); 3.М (-к;-6)?

Обоснуйте ответ.

4) Найдите ОДЗ выражения:

1. 3х+2; 2.1/(3х+2); 3.(3х+2)/(х-1); 4.(х-1)/3; 5.х/(х-1)(х+1).

4. Формирование знаний.

План изучезния нового материала

1.Представление о квадратном корне и3 неотрицательного числа как корне уравнения х²=а.

2.Определение арифметического квадратного корня из неотрицательного числа. ОДЗ выражения √х.

3.Как вычислить значение арифметического квадратного корня из неотрицательного числа?

4. Как решить уравнение √х=а?

Учитель объясняет тему согласно параграфу учебника. Учащимся в тетрадь надо вписать определения квадратного корня, подкоренного числа, извлечения квадратного корня.

1). Вводная беседа.

1. Сколько арифметических действий вы знаете?

Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. 5 действий.

2. Назовите обратные им действия.

Сложение и умножение имеют по одному обратному действию, которые называются «вычитание» и «деление». Пятое действие – возведение в степень имеет два обратных действия: 1. нахождение основания 2. нахождение показателя.

Определение «нахождение основания» называется извлечением корня. Второе действие – логарифмирование. Его мы будем изучать в 11 классе.

Займемся 1 – м действием. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона которого известна, с давних времен встречалась обратная задача: какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась b?

2). Введение определения.

Решим задачу:

Площадь квадратного листа равна 64 м². Чему равна длина стороны квадрата?

Решение:

Пусть сторона листа – х м.

Площадь S=x² м².

Так как 8 ² =64 и (–8) ² = 64, то корнями уравнения x² = 64 являются числа 8 и –8. Условию задачи удовлетворяет только один из корней – число 8. Итак, длина стороны квадрата равна 8 см.

Определение: Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

Число 8 – неотрицательный корень уравнения x² = 64 называют арифметическим квадратным корнем из 64.

Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Это число обозначают , число а при этом называют подкоренным выражением.

Пример:

Записать в тетрадь:

Равенство является верным, если выполняются два условия:

1) b ≥ 0, 2) b² = а.

При а не имеет смысла. Действительно, квадрат любого числа есть число неотрицательное. Например, не имеют смысла выражения

Арифметический квадратный корень обозначается значком - радикал, корень.

Примеры

.

.

.

3)Чтобы вычислить , где а 0, следует найти такое b b²=а (представить число а в виде квадрата неотрицательного числа).

4)Уравнения решаются по схеме. Принимаем к=1

1. Формирование умений

1). Закрепление определения квадратного корня.

№ 298 устно

№ 299 устно

Вычислить: № 300 (взаимопроверка парами)

№ 301(самопроверка: ученик пишет на доске ответы, проверяем вместе,

затем каждый проверяет себя)

2). Закрепление нахождения значения корня.

№ 305

3). Работа по таблице квадратов.

Пользование таблицей. (Форзац учебника)

№ 306

4). О знаке радикала

Начиная с 13 века, итальянские и другие европейские математики обозначили корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R. Используемый в настоящее время знак корня произошел от обозначения, которое применяли немецкие математики 15—16 веках. Они обозначили квадратный корень точкой впереди числа или выражения. В скорописи точки заменялись черточками, позже перешедшими в символ . Так, в рукописи, написанной в 1480 году на латинском языке, один такой символ точки перед числом ( ) означал квадратный корень, два таких знака ( ) означали корень четвертой степени, а три знака – кубический корень. Вероятно, из этих обозначений впоследствии и образовался знак , близкий к современному символу корня, но без верхней черты. Этот знак встречается впервые в немецкой алгебре “Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых Косс”, изданной в 1525 году в Страсбурге. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой.

5). Вводим операцию

Из определения арифметического квадратного корня следует, что при любом а, при котором выражение имеет смысл, верно равенство

Вычислить: № 309

Систематизация теоретического материала

а) Блиц-опрос.

1. Квадратным корнем из числа а, называется (число, квадрат которого равен а)

2. Арифметическим квадратным корнем из числа а, называется (неотрицательное число, квадрат которого равен а)

3. Как называется знак

4. Сколько имеет корней уравнение, если

а 0________________

а = 0________________

а

б) Самостоятельная работа

Самостоятельная работа обучающего типа.

Два уровня сложности по возрастающей – на выбор учащегося.

1 вариант

2 вариант

Я прошу закончить работу и отложить ручки. Сейчас мы проверим, как вы справились с заданиями. Проверяем работы сами. Если все задания решены верно, то вставим на листах самооценки «5», если 6-7 заданий – «4», если 4-5 заданий, то «3».

1. Подведение итогов урока.

- Итак, что мы узнали сегодня?

- 3акончи предложение:

Сегодня на уроке я научился…

7. Домашнее задание.

Задания на карточках, №311,№314.