Курс "Алгебра матриц"

Пояснительная записка

Предлагаемый курс предназначен для учащихся 9 класса как поддерживающий профиль. Данная тема совсем не изучается в школьном курсе математики. Но в современных условиях, на мой взгляд, она достаточно актуальна. Для тех, кто предполагает получить в дальнейшем высшее образование, связанное с естественными науками, техникой и социально-экономическими дисциплинами, математическая подготовка носит более фундаментальный характер. Выпускник, изучавший профильный курс, должен не только поступить в вуз, но и учиться дальше. Данный курс познакомит учащихся с элементами линейной алгебры, которые обычно изучаются студентами на первом курсе вуза.

Цель курса: ознакомить учащихся с понятиями «матрица», «определитель»; рассмотреть действия над матрицами; научить вычислять определители; решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Все теоретические вопросы курса подкреплены соответствующими примерами. Ряд задач будет предложен для самостоятельного решения.

Историческая справка послужит средством для расширения кругозора учащихся.

Курс состоит из пяти частей:

• первая часть способствует формированию понятия определителей 2-го и 3-го порядка и изучение их свойств;

• первая часть способствует формированию понятия «матрица»;

• во второй части рассматриваются действия над матрицами;

• третья часть способствует формированию понятия определителей 2-го и 3-го порядка и изучение их свойств, а так же формирует представление об определителях высших степеней;

• четвертая часть способствует формированию понятия «ранг матрицы»;

• в пятой часть рассматривается решение систем линейных уравнений.

На итоговом занятии учащиеся могут продемонстрировать умения по решению геометрических задач и систем уравнений, предложенных для самостоятельного решения.

Курс рассчитан на 34 часа.

Требования к знаниям и умениям учащихся.

Учащийся должен знать:

• определение матрицы, виды матриц;

• понятие «определитель», свойства определителей;

• понятие минора и алгебраического дополнения;

• определения совместной и несовместной систем уравнений, определенной и неопределенной систем уравнений

Уметь:

• выполнять сложение матриц, умножение матриц на число, выполнять произведение матриц;

• вычислять определители матриц;

• решать системы линейных уравнений с несколькими переменными методом Гаусса.

В процессе освоения программы курса учащиеся:

• овладевают творческими, исследовательскими методами;

• учатся рационально планировать свою учебную деятельность;

• используют компьютерные технологии при подготовке к учебным занятиям

Учебно-тематический план (34 часа)

№	Тема и содержание	Кол-во часов	Формы работы	Образовательный продукт
1.	Матрицы. Основные понятия. – определение матрицы; – виды матриц (прямоугольная, квадратная, диагональная, единичная, нулевая); – транспонирование.	3	Лекция с элементами эвристической беседы. Практикум.	Выполненное домашнее задание. Мультимедийные презентации на темы: «Виды матриц», «Транспонирование матриц»
2	Действия над матрицами. – сложение; – умножение матрицы на число; – элементарные преобразования матриц; – произведение матриц.	8	Лекция с элементами эвристической беседы. Практикум. Проверочная работа № 1 по теме «Действия над матрицами»	Выполненное домашнее задание. Мультимедийные презентации на темы: «Сложение матриц», «Умножение матрицы на число», «Произведение матриц», «Элементарные преобразования матриц»
3	Определители. – основные понятия; – свойства определителей; – определение минора; – определение алгебраического дополнения.	8	Лекция с элементами эвристической беседы. Практикум. Проверочная работа №2 по теме «Вычисление определителей»	Выполненное домашнее задание. Мультимедийные презентации на тему: «Вычисление определителей второго и третьего порядков»
4	Ранг матрицы	1	Лекция с элементами эвристической беседы.	Выполненное домашнее задание. Мультимедийные презентации на тему: « Ранг матрицы»
5	Системы линейных уравнений. – основные понятия; – метод Гаусса.	8	Лекция с элементами эвристической беседы. Практикум. Проверочная работа №2 по теме «Вычисление определителей»	Выполненное домашнее задание. Мультимедийные презентации на тему: «Метод Гаусса»
6	Обобщающее занятие – повторение теоретических аспектов курса; – решение задач.	4	Уроки систематизации и обобщения изученного материала. Математический диктант. Практикум.	Выполненное домашнее задание
7	Зачет	2	Контрольная работа.	Выполненная контрольная работа

Список литературы.

1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике 1 часть. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2004

2. Блох Э. Л., Лошинский Л. И., Турин В. Я. Основы линейной алгебры и некоторые её приложения. – М., 1971

3. Гантмахер Ф. П. Теория матриц – М., 1966

4. Панов Э. В., Панов М. Э. Алгебра матриц. – М., 1992.

5. http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture12/lecture12.html

6. http://twt.mpei.ru/math/LARB/Matrdet/Matrix/LA_01010000p.html

7. http://www.mathelp.spb.ru/book1/matrix_and_det.htm

8. http://www.mathematica.ru

Занятие 1.

Тема. Определение матрицы.

Цели занятия:

1. познакомить учащихся с основными понятиями;

2. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Из истории. Для великого математика Карла Гаусса всегда была органична связь между теоретической и прикладной математикой. Например: он заметил, что при решении уравнений ни форма записи, ни название переменных не влияют на решение. То есть при решении систем линейных уравнений можно не использовать переменные, а ограничиться табличкой из коэффициентов:

_­a₁₁x+a₁₂y+a₁₃z=b₁

_­a₂₁x+a₂₂y+a₂₃z=b₂

_­a₃₁x+a₃₂y+a₃₃z=b₃

a11	a12	a13	b1
a21	a22	a23	b2
a31	a32	a33	b3

Это, так называемая, расширенная матрица системы уравнений.

Матрицы впервые появились в середине XIX столетия в работах английских математиков А. Кэли и У. Гамильтона. Представление совокупностей элементов в виде матриц и разработанные правила операций над ними оказались весьма плодотворными. Такие таблички-матрицы нашли широкое применение в математике, физике и технике, благодаря своим свойствам, отличающимся от свойств других математических объектов. Существенный вклад в разработку общей теории матриц внесли русские математики А. Н. Крылов, Ф. Р. Гантмахер, М.Г.Крейн.

(Приложение 1. Презентация о математиках)

2. Определение матрицы.

Определение 1. Матрица – совокупность чисел или других математических объектов, расположенных в виде прямоугольной таблицы и упорядоченных с помощью индексов.

Под другими объектами понимают векторы, функции и т. п.

Числа и другие объекты называются элементами матрицы. Название матрицы обозначается заглавными буквами, а элементы матрицы теми же буквами, но строчными. Элементы матрицы упорядочены с помощью индексов. Первый индекс обозначает номер строки, где расположен элемент, а второй – номер столбца этого элемента. Причём ни одна клетка не должна оставаться пустой! Поэтому, например, периодическая таблица Д. И. Менделеева не является матрицей. Элемент матрицы А расположенный в i-й строке в j-м столбце обозначается а_ij.

Наибольшее распространение получили следующие записи матриц:

; .

Определение 2. Матрицу А называют матрицей размера т_{ }п и пишут А _{т п} .

Пример 1. А = _{ }, В = _{ }, С = _{ }.

Определение 3. Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, то есть А = В, если а_ij = b_ij, где i=_{ }, j=_{ }.

3. Задание.

1. Выучить основные определения.

Занятие 2.

Тема. Виды матриц.

Цели занятия:

1. познакомить учащихся с видами матриц;

2. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Изучение нового материала.

Матрицы бывают прямоугольными и квадратными.

Определение 1. Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной: А _{т п} .

Пример 1.

А =_{ }, В = _{ }.

Определение 2. Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Матрица А _{n п} , n – порядок матрицы.

Пример 2.

А = _{ }, В = _{ }.

В приведённом выше примере 1: А – квадратная матрица порядка 3, и В – квадратная матрица порядка 1.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Определение 3. Матрица размера n×1 (у которой всего одна строка) называется матрицей – строкой.

Матрица размера 1×n (у которой всего один столбец) называется матрицей – столбцом.

В примере 1 это третья матрица.       

Определение 4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.

Пример 3. .

Нулевая матрица может быть как прямоугольной, так и квадратной.

Определение 5. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.

_{ }

Определение 6. Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Определение 7. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

Пример 4.

или .

Определение 8. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей.

Обозначается буквой E.

Пример 5. Единичная матрица 3-го порядка имеет вид

.

В матричном исчислении матрицы O и E играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Для определения других видов матриц, необходимо ввести понятие первой матричной операции «транспонирование».

3. Задание.

1. Выучить основные определения.

2. Привести примеры прямоугольной, квадратной, диагональной,

единичной, нулевой матриц.

3. Выполнить мультимедийные презентации на тему: «Виды матриц»,

Занятие 3.

Тема. Транспонирование.

Цели занятия:

1. познакомить учащихся с транспонированием матриц;

2. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Изучение нового материала.

Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Определение 1. Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается A^T.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Пример 1. Найти матрицу транспонированную данной.

Определение 2. Матрица, равная своей транспонированной называется симметричной.

Пример 2. А = A^T =

В симметричной матрице элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.

На главной диагонали нули, потому что нуль – единственное число противоположное самому себе.

3. Закрепление изученного материала.

Найти матрицу транспонированную данной:

А=_{ }; В=_{ }.

4. Задание.

1. Выучить основные определения.

2. Найти матрицу транспонированную данной:

А = _{ }; В = _{ }

3. Выполнить мультимедийные презентации на тему: «Транспонирование матриц».

Занятие 4 .

Тема. Действия над матрицами.

Цели занятия:

1. научить выполнять сложение матриц;

2. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Повторение изученного материала.

Найти матрицу транспонированную данной:

; ;

;

3. Изучение нового материала.

Сложение

Складывать можно только матрицы одинаковых размеров.

Определение 1. Суммой двух матриц А = (a_{i j}) и B = (b_{i j}) одного размера называется матрица C = (c_{i j}) того же размера, элементы которой определяются по формуле c_{i j} = a_{i j} + b_{i j}, где i=_{ }, j=_{ }.

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1. коммутативностью А+В+С=С+А+В;

2. ассоциативностью (А+В)+C=(В+С)+А.

Пример 1. Найти сумму матриц:

1. ;

2) - нельзя, т.к. размеры матриц различны.

3) ;

₄₎ ;

₅₎ .

4. Закрепление изученного материала.

Выполнить сложение матриц А и В, если:

а) А=_{ }, В=_{ }.

б) А= _{ }, В= _{ }.

5. Задание.

1. Выучить правило сложения матриц.

2. Выполнить сложение матриц А и В, если:

а) А=_{ }, В=_{ }.

б) А= _{ }, В= _{ }.

3. Выполнить мультимедийные презентации на тему: «Сложение матриц».

Занятие 5 .

Тема. Действия над матрицами.

Цели занятия:

1. научить выполнять умножение матриц на число;

2. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Повторение изученного материала.

3. Изучение нового материала.

Умножение матрицы на число.

Определение 1. Произведением матрицы А на число λ называется матрица, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число λ: λA = ( λaij).

Пример 1.

Пример 2.

Найти 2A-B, если

, .

Решение.

.

Пример 3.

Найти C= –3A+4B ,если

Решение.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Определение 2. Матрица –А = (–1)·А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А–В можно определить так: А–В = А+(–В).

Пример 4.

Возьмем более сложный пример, комбинирующий четыре, описанные выше операции.

Пример 5.

Найдите матрицу F, если F = (A^T – (A–2B^T))^T, а , .

4. Задание.

1. Выучить правило умножение матриц на число.

2. Найти C = –3A+4B, если

А=_{ }, В=_{ }.

3. Выполнить мультимедийные презентации на тему: «Умножение матрицы на число».

Занятие 6 .

Тема. Действия над матрицами.

Цели занятия:

1. познакомить учащихся с элементарными преобразованиями матриц и научить их выполнять;

2. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Повторение изученного материала.

3. Изучение нового материала.

Элементарными преобразованиями матрицы.

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

• перестановка любых двух параллельных рядов матрицы;

• умножение всех элементов ряда матрицы на произвольное, отличное от

нуля, число;

• прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов

параллельного ряда, умноженных на одно и то же число;

• транспонирование матрицы.

Определение 1. Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается с помощью элементарных преобразований.

Записывается А _{ } В.

Пример 1.

Переставили 1-ю и 3-ю строки матрицы:

Переставили 2-й и 3-й столбцы матрицы:

Умножили 3-й столбец на 3:

Ко 2-й строке матрицы прибавили 1-ю строку, умноженную на −3:

Транспонировали матрицу:

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической, например _{ }.

4. Закрепление изученного материала.

Привести к каноническому виду матрицу _{ }.

5. Задание.

1. Выучить элементарными преобразованиями матриц.

2. Привести к каноническому виду матрицу _{ }.

3. Выполнить мультимедийные презентации на тему: «Элементарные преобразования матриц»

Занятие 7-9 .

Тема. Действия над матрицами.

Цели занятия:

1. научить выполнять произведение матриц;

2. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Повторение изученного материала.

3. Изучение нового материала.

Произведение матриц.

Операция умножения двух матриц производится только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Алгоритм перемножение состоит в следующем:

Берутся элементы первой строки левой матрицы и умножаются на соответствующие элементы первого столбца правой матрицы. Сумма произведений и будет первым элементом первой строки матрицы произведения. Эта процедура повторяется со всеми строками левой матрицы и первым столбцом правой матрицы – так получается первый столбец матрицы произведения. Для завершения операции умножения эта операция повторяется со всеми столбцами правой матрицы.

Пример 1.

Кроме того, произведение ненулевых матриц может быть нулевой матрицей.

Пример 2.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p. Элементы этой матрицы вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (то есть один элемент). Действительно,

Пример 3.

1. Пусть

Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.

1. Найти произведение матриц.

- нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 1.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

4. Закрепление изученного материала.

Найти произведение матриц:

А = _{ } и В = _{ }

5. Задание

1) Выучить правило умножения матриц.

2) Найти АВ и ВА , если

Ответ:

3) Найти АВ и ВА, если

Ответ:

, B·A – не имеет смысла.

3. Выполнить мультимедийные презентации на тему: «Произведение матриц»

Занятие – практикум 10.

Тема. Действия над матрицами.

Цели занятия: отработать навыки сложения матриц, умножения матриц на число, нахождения произведения матриц.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Просмотр презентаций.

3. Выполнение практических заданий.

Занятие 11.

Тема. Действия над матрицами.

Цели занятия: промежуточный контроль знаний.

Ход занятия

Проверочная работа №1 по теме «Действия над матрицами»

Занятие 12-13.

Тема. Определители.

Цели занятия:

1. познакомить учащихся с основными понятиями, рассмотреть свойства определителей;

2. научить вычислять определители матриц;

3. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Анализ проверочной работы.

3. Изучение нового материала.

Определение 1. Определитель - число, которое по определенным правилам можно поставить в соответствие любой квадратной матрице.

Определитель записывается следующим образом:

.

Определитель матрицы первого порядка равен её элементу.

Определитель матрицы второго порядка вычисляется очень просто (Приложение 2. Презентация «Вычисление определителей второго и третьего порядка»):

.

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по побочной диагонали.

Пример 1.

Вычислить определители второго порядка.

.

Пример 2.

Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

При вычислении определителя третьего порядка удобно использовать правило треугольника (или Саррюса), которое символически можно записать так:

(основания равнобедренных (основания равнобедренных

треугольников параллельны треугольников параллельны

главной диагонали) побочной диагонали)

Получаем:

Пример 3.

.

Правило вычисления определителя для матрицы порядка N является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволяющие реализовать вычисления определителей высоких порядков на основе определителей низких порядков. Один из методов основан на разложении определителя по элементам некоторого ряда. При этом заметим, что определители 2 и 3 порядков желательно вычислять согласно определению. Этот метод мы рассмотрим позже.

4. Закрепление изученного материала.

Вычислить определитель матрицы

А = _{ }, В = _{ }, С = _{ }.

5. Задание.

1. Выучить правила вычисления определителей второго и третьего порядков.

2. Вычислить определитель матрицы

А=_{ }, В=_{ }.

3. Выполнить мультимедийные презентации на тему: «Вычисление определителей второго и третьего порядков»

Занятие – практикум 14

Тема. Определители.

Цели занятия:

отработать навыки вычисления определителей второго и третьего порядков.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Просмотр презентаций.

3. Выполнение практических заданий.

Занятие 15-17

Тема. Определители.

Цели занятия:

Рассмотреть свойства определителей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Изучение нового материала.

Сформулируем основные свойства определителей, присущие определителям всех порядков. Строки и столбцы будем просто называть рядами.

Свойства определителей

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании.

Свойство 2. При перестановки двух параллельных рядов определитель

меняет знак.

Свойство 3. Определитель, содержащий два одинаковых ряда, равен нулю.

Свойство 4. Если все элементы некоторого ряда определителя умножить на

некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

Свойство 5. Определитель, содержащий два пропорциональных ряда, равен

нулю.

Свойство 6. Если все элементы какого-либо ряда определителя представлены

в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух

соответствующих определителей.

Свойство 7. Определитель не меняется, если к элементам одного ряда

прибавляются соответствующие элементы параллельного ряда,

умноженные на одно и то же число.

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием минора и алгебраического дополнения.

Определение 1 . Минором некоторого элемента а_ij определителя n-го порядка называется определитель (n - 1) -го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.

Обозначается m_ij .

m₁₁=_{ }.

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма i + j – четное число, и со знаком «-», если сумма i + j – нечетное число.

Обозначается А_ij: А_ij = (-1)^i+j · m_ij.

Так, А₁₁ = + m₁₁, А₃₂ = – m₃₂.

Свойство 8. («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»)
Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.

Доказать свойство 8.

Это свойство содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.

Пример 1.

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка.

Пример 3.

Пример 4. Решите уравнение

(x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

(x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

(x-4)(x-1)=0.

x₁ = 4, x₂ = 1.

Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю. Для этого используя свойства определителей, можно получить в каком-либо либо ряду как можно больше нулей. Описанный приём называется методом элементарных преобразований.

Пример 5.

В приведённом примере сначала к последнему столбцу прибавляем второй, что в соответствии со свойством определителей не меняет его значения. Затем к последней строке прибавляем первую, умноженную на два. Получившийся определитель разложили по последнему столбцу, при этом обратим внимание, что знак элемента А14 отрицателен. В определителе третьего порядка общий множитель третьего столбца. Чтобы получить ещё один нуль в третьей строке, к третьему столбцу прибавляем первый, умноженный на три.

3. Закрепление изученного материала.

1. Вычислите определитель матрицы

2. Вычислите определители различными способами.

а) б) в) г)

4. Задание.

. Ответ: 122.

Занятие – практикум 18.

Тема. Определители.

Цели занятия:

отработать навыки вычисления определителей высоких порядков.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Просмотр презентаций.

3. Выполнение практических заданий.

Занятие 19.

Тема. Определители.

Цели занятия:

Промежуточный контроль знаний по вычисления определителей.

Ход занятия

Проверочная работа №2 по теме «Вычисление определителей»

Занятие 20.

Тема. Ранг матрицы.

Цели занятия:

1. познакомить учащихся с основными понятиями;

2. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Анализ проверочной работы.

3. Изучение нового материала.

Определение 1. Невырожденная матрица ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

Рассмотрим матрицу размера m_{ }n.

Определение 2. Определитель, состоящий из элементов, находящихся на пересечении k строк и k столбцов, называются минором этой матрицы k-го порядка.

Определение 3. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля называется рангом матрицы.

Обозначается: r, r(A) или rangA.

Определение 4. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 1.

Найдите ранг матрицы

а) А= .

Т. к. все миноры третьего порядка равны нулю, но есть один минор второго порядка, отличный от нуля , то r(A)=2. Ответ: r(A) = 2.

б) А= . Ответ: r(A) = 2.

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

4. Задание.

1. Выучить основные определения.

2. Выполнить мультимедийные презентации на тему: «Ранг матрицы»

Занятие 21-24.

Тема. Определители.

Цели занятия:

Рассмотреть свойства определителей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Изучение нового материала.

Системы линейных уравнений.

Определение 1. Системой линейных алгебраических уравнений содержащей m уравнений и n неизвестных называется система вида

числа a_ij, где называются коэффициентами системы, числа b_i – свободными членами. Числа x_n подлежат нахождению.

Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме:

Определение 2. Матрица A – матрица коэффициентов системы, называется основной:

,

- вектор-столбец из переменных x_j

- вектор-столбец из переменных b_i

Произведение определено, поскольку в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице X (n штук).

Определение 3. Расширенной матрицей системы называется матрица системы, дополненная столбцом свободных членов

Определение 4. Решением системы называется n значений неизвестных x₁=c₁, x₂=c_2, …, x_n=c_n, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Определение 5. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 6. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если решений более одного. Каждое решение неопределенной системы называют частным, совокупность всех частных решений называют общим решением.

Определение 7. Две системы называют эквивалентными, если они имеют одно и то же решение. Эквивалентные системы получаются при элементарных преобразованиях над строками.

Определение 8. Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю.

Однородная система всегда совместна, так как если x₁=x₂=…=x_n=0 является решением системы.

Теорема Кронекера-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли дает исчерпывающий ответ о совместности системы линейных уравнений.

Теорема 1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной.

Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Исследовать на совместность систему:

Составим матрицы системы: основную и расширенную.

Таким образом, r(A)_{ }r(_{ }), следовательно, система несовместна.

Метод Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение значений переменных.

На практике удобнее работать не с самой системой, а с ее расширенной матрицей. Матрица приводится к ступенчатому виду посредством элементарных преобразований над строками. Удобно, чтобы коэффициент а₁₁ был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на а₁₁)

Пример 1. Решить систему методом Гаусса.

Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы.

Исходная система свелась к ступенчатой:

Поэтому общее решение системы x₂ = 5x₄ - 13x₃ - 3; x₁ = 5x₄ - 8x₃ -1 . Если положить, например, x₃ = 0, x₄ = 0, то найдем одно из частных решений этой системы x₁= - 1, x₂= -3, x₃ = 0, x₄ = 0.

Задание.

1. Решить систему методом Гаусса.

а)

б)

2. Выполнить мультимедийные презентации на тему: «Метод Гаусса»

Занятие – практикум 25-27.

Тема. Системы линейных уравнений.

Цели занятия: отработать навыки решений систем линейных уравнений

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Просмотр презентаций.

3. Выполнение практических заданий.

Занятие 28.

Тема. Системы линейных уравнений.

Цели занятия: промежуточный контроль знаний.

Ход занятия

Проверочная работа №1 по теме «Действия над матрицами»

Занятие 29-32.

Тема. Обобщающие занятия

Цели занятий:

1. систематизации и обобщения изученного материала;

2. формировать эстетические навыки при оформлении записей.

Ход занятия

1. Опрос по теории.

2. Анализ проверочной работы.

3. Решение задач.

Занятие 33-34.

Тема. Контрольная работа.

Цели занятий:

Итоговый контроль знаний.