Корни п-ой степени. Степени с рациональным показателем.

Корень п-ой степени.

Свойства арифметических корней п-ой степени.

Степень с рациональным показателем.

Корнем п-ой степени из числа а называется такое число, п-ая степень которого равна а.

Поскольку степень корня может быть чётной или нечётной, рассмотрим в отдельности каждый из этих случаев.

• Если – чётное число, то подкоренное выражение не может быть отрицательным, т.к. любое число в чётной степени будет неотрицательным.

Тут существуют нюансы.

1. Если необходимо просто вычислить корень чётной степени, то в этом случае подразумевается арифметический корень п-ой степени.

Арифметическим корнем п-ой степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число, п-ая степень которого равна а.

, где

Например,

1. Если необходимо решить уравнение, содержащее переменную в чётной степени, то такое уравнение имеет два решения, которые отличаются знаком.

Например,

• Если – нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым. И при вычислении корня, и при решении уравнения, содержащего переменную в нечётной степени, решение будет только одно.

Например,

Арифметический корень п-ой степени можно представить в виде степени с дробным показателем.

, где

Рассмотрим свойства арифметических корней п-ой степени и сравним их со свойствами степеней.

1. 

2. , где , где

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. , если

10. 

Обрати внимание! Свойства используются только для арифметических корней, т.е. подкоренные выражения неотрицательны!

Приведём несколько примеров.

1. 

5. 

7. 

8. 

9. 

10. или

1. Вычислите:

   			;

2. Вычислите:

1. Внести множитель под знак корня:

2. Расположите числа в порядке убывания:

3. Расположите числа в порядке возрастания:

4. Упростите выражение:

5. Вычислите значение выражения:

1. Упростите выражение:

2. Упростите:

3. Сократите дроби:

4. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

5. Упростите:

6. Найдите область допустимых значений выражения:

7. Вычислите:

8. Упростите и вычислите:

9. Представить в виде степени с основанием х или a:

10. Упростить выражение:

11. Вычислить:

12. Проверить, является ли число а корнем данного уравнения:

13. Найдите числовое значение выражения:

14. Докажите тождество:

1. Сравните числа и , если:

1. Решите уравнение:

5