Конспект урока "Применение подобия треугольников к решению задач на построение"

9

Тема урока: «Применение подобия треугольников к решению задач на построение»

Класс: 8

УМК Л.С.Атанасян и др.

геометрия, 8 класс (учебник «Геометрия 7-9», М.: Просвещение 2008)

Тип урока: изучение нового материала

Форма проведения: урок с элементами презентации

Цели урока:

образовательная: формировать у учащихся умения решать задачи на построение методом подобия: строить фигуру по данным, определяющим форму; переходить от построенной фигуры к искомой;

развивающая: осуществлять развитие поисковых навыков решения практических проблем; приобщать учащихся к посильным самостоятельным исследованиям;

воспитательная: совершенствовать навыки умственного труда, способствовать развитию логического мышления; воспитывать умения действовать по заданному алгоритму

План:

1. Оргмомент – 1мин

2. Постановка цели урока – 1мин

3. Проверка домашнего задания – 10 мин

4. Объяснение нового материала – 10мин

5. Закрепление изученного. Самостоятельная работа – 13мин

6. Итог урока – 3мин

7. Домашнее задание – 2мин

Ход урока.

1. Постановка цели урока

Учитель сообщает тему урока.

- Каков алгоритм решения задач на построение циркулем и линейкой? (алгоритм решения задач на построение состоит из четырех частей: анализ, построение, доказательство, исследование).

2. Проверка домашнего задания

Цель данного этапа – проверить домашнюю работу и подготовиться к изучению нового.

Тест

Вариант 1.

1. Известны следующие элементы треугольника:

а) углы 13 ° и 85°

б) медиана 3,7 см

в) углы 13 ° и 85°, медиана 3,7 см

Какие из этих данных определяют единственную фигуру?

1. По каким данным можно определить размеры ∆АВС?

В

А С

а) углы при основании треугольника

б) высота треугольника

в) сторона и углы при основании

1. Укажите, на каком из нижеприведенных рисунков есть подобные треугольники?

1. Можно ли утверждать, что тупоугольные равнобедренные треугольники подобны, если у них тупые углы равны?

а) да;

б) нет.

1. В трапеции АВСD проведены диагонали АС и ВD. В силу какого признака подобия треугольников ∆СОВ ∆АОD?

а) по двум углам;

б) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;

в) по трем пропорциональным сторонам.

6. В треугольнике DBG через середины сторон DB и DG проведена прямая KN. Определите, какую часть площади треугольника DBG составляет площадь треугольника DKN.

Ответ:

Вариант 2.

1. Известны следующие элементы треугольника:

а) биссектриса 17 см;

б) углы 26 ° и 72° и биссектриса 17 см;

в) углы 26 ° и 72°,

Какие из этих данных определяют единственную фигуру?

1. По каким данным можно определить размеры ∆АВС?

а) биссектриса угла А

б) углы при основании треугольника

в) сторона и углы при основании

3. Укажите, на каком из нижеприведенных рисунков есть подобные треугольники?

1. Можно ли утверждать, что остроугольные равнобедренные треугольники подобны. Если они имеют оп равному острому углу?

а) да;

б) нет.

5. В прямоугольном треугольнике АВС отрезок FG перпендикулярен гипотенузе AB. Определите, в силу какого признака подобия треугольников ∆ABC ∆FBG?

а) по двум углам;

б) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;

в) по трем пропорциональным сторонам.

1. В треугольнике АВС проведена прямая FD , параллельная ВС. Определите, какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника AFD, если AF : АВ = 1 : 4.

Ответ:

Взаимопроверка теста.

Ответы:

1 вариант 2 вариант

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6

в в б а а б в г б а

Критерии оценок (записаны на доске)

«5» - 6 верных ответов

«4» - 4 -5 верных ответов

«3» - 3 верных ответа

3.Объяснение нового материала

Подготовительный этап.

Дидактическая цель подготовительного этапа - сформировать у учащихся умения: выделять данные, определяющие единственную фигуру, выделять данные, определяющие форму фигуры, множество пар подобных между собой фигур; строить фигуру по данным, определяющим форму; переходить от построенной фигуры к искомой.

Беседа по готовым четрежам.

1. Если построить треугольник по двум углам. Сколько решений имеет эта задача? Какие элементы определяют форму построенных треугольников?

2. Назовите подобные треугольники на рис. 1.

Рис. 1.

Известны следующие элементы треугольника:

а) углы в 75° и 25°;

б) высота 1,5 см;

в) углы в 75° и 25°, высота 1,5 см.

Какие из этих данных определяют единственную фигуру на рис. 1 ?

3. Подобны ли треугольники и на рис.2, если? Если они подобны, то каков их коэффициент подобия?

Рис.2

Какие углы определяют форму треугольников на рис.2?

Можно ли будет определить размеры одного из треугольников на рис.2, если станут известны следующие данные:

а) углы при основании треугольника;

б) высота треугольника;

в) сторона и углы при основании.

Ознакомительный этап.

Дидактическая цель ознакомительного этапа в том, чтобы разъяснить учащимся структуру процесса построения методом подобия, назначение каждой операции, составляющей эту структуру.

Объяснение начинается с задачи.

Задача 1. Построить треугольник по двум данным углам и и биссектрисе длины d, проведенной из вершины третьего угла.

I Анализ

1. Какие данные определяют форму искомого треугольника?

2. Какие данные определяют размеры искомого треугольника?

3. Сколько треугольников можно построить по двум углам?

4. Какой отрезок нужно провести в треугольнике, подобном искомому?

5. Как построить искомый треугольник?

Ответы на вопросы сопровождаются выполнением чертежа на компьютере.

Показ презентации (построение треугольника по двум данным углам и биссектрисе)

Вывод: Выполняя построение мы фактически реализовывали алгоритмическое предписание. Оформим его в виде блок-схемы.

Показ презентации (Блок схема)

Блок – схема по решению задач

на построение методом подобия

1. Выделить из условия задачи данные,

определяющие форму фигуры

1. Выделить данные, определяющие

размеры фигуры (линейный элемент)

1. Построить фигуру указанной формы,

подобную искомой

1. Построить (выделить) отрезок,

определяющий размеры фигуры

1. Построить фигуру, указанной формы

и размеров, используя подобную

6) Полученная фигура является искомой

Вывод: при решении задач на построение методом подобия целесообразно действовать по заданному алгоритму.

4. Закрепление изученного

Дидактическая цель этапа - формирование умения решать задачи рассматриваемого вида.

Основная форма деятельности на этом этапе - индивидуально-поисковая. Учитель осуществляет руководство и контроль за деятельностью учащихся, выполняющих свои задания в соответствии с предъявленным предписанием.

I. Задача № 588.

Постройте треугольник АВС по углу А и медиане АМ, если известно, что АВ : АС = 2:3.

Учащиеся поочередно комментируют выполнение операций в соответствии с блок – схемой.

Дано:

АВ : АС = 2:3.

Анализ:

1. Данные, определяющие форму треугольника должны совпадать с одним из признаков подобия треугольников. Известна величина угла А и отношение сторон, заключающих угол А – это второй признак подобия.

2. Данные, определяющие размеры искомого треугольника – медиана АМ = m.

3. Строим треугольник по известному углу и отношению сторон. Этот треугольник подобен искомому. Строим медиану .

4. Отложим на отрезке от точки отрезок равный АМ = m.

5. Через точку М проведем прямую, параллельную . На пересечении со сторонами и получим точки В и С.

6. Треугольник АВС – искомый.

Построение. (Один ученик выполняет на доске, остальные в тетрадях, устно проговаривая этапы построения, доказательства, исследования).

Доказательство: ВС || , поэтому ∆ АВС ~ ∆ , : = 2 : 3 (по построению), значит АВ : АС = 2:3, АМ = m по построению.

Исследование: задача всегда имеет единственное решение.

II. Самостоятельная работа. Задания даются дифференцировано по группам учитывая уровень знаний, умений и навыков.

Учащиеся одной группы выполняют задачу аналогичную разобранной. (№ 586: Построить треугольник по двум углам и биссектрисе проведенной из вершины меньшего из данных углов)

Учащиеся другой группы выполняют задачу, условие и решение которой отличается от разобранной. (№ 589: Построить треугольник АВС по углу А и стороне ВС, если известно, что АВ : АС = 2:1).

Учащиеся третьей группы, мотивированные на учебу, выполняют задание в котором нужно перенести сформированные умения и знания на более сложные задачи, которые раскрывают возможности применения геометрии к изучению действительности и решению практических задач. (Река АД и железная дорога АС пересекаются в пункте А. Внутри острого угла А находится промышленный комплекс К. На реке необходимо построить порт Р, равноудаленный от железной дороги и комплекса.)

Дано:

CАD,

точка К

Анализ:

- Какие данные определяют форму ∆ВКХ? (ВХ = ХК, ВХАС)

- Сколько треугольников можно построить по этим данным?

- Какие данные определяют размеры треугольника? (удаленность точки К от точки А)

- Как называется искомый треугольник и ему подобные? (центрально-подобные, п. 65, учебник «Геометрия 7-9»)

- Где расположены точки соответствующие точке К в центрально-подобных фигурах? (на луче АК)

Построение.

1. АК

2. S АD

3. SN АC, N АC

4. SL = SN, L АК

5. КР || SL, Р АD

6. КF || LN, F АC

Р – искомая точка

Доказательство: ∆NSL ~ ∆FPK (по двум углам), значит , то есть FP = PK.

Исследование: задача всегда имеет единственное решение.

Проверку самостоятельной работы у учащихся 1 группы проводит учитель, у 2 и 3 групп проверка проходит при помощи презентации, которую приготовили ученики этого же класса (они получили опережающее задание на предыдущем уроке).

5. Итог урока

- Какие цели мы ставили в начале урока? Достигли ли мы их?

Учитель фиксирует достигнутые результаты, оценивает их, дает характеристику деятельности отдельных учащихся, групп учащихся и всего класса.

6. Домашнее задание

(дифференцированое, по выбору)

1. п. 65 (привести примеры подобных фигур произвольной формы из окружающей среды), № 587.

2. Решить задачу: В данный треугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне треугольника, а две другие – на двух других сторонах.

3. Учащимся 3 группы ответить на вопрос: будет ли иметь решение последняя задача, если угол САD прямой или тупой.

Технические средства: компьютер, мультимедийная установка

Литература:

- Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: Метод. Рекомендации к учеб.: кн. Для учителя/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов и др. – 5-е издание, - М.: Просвещение, 2002. – 255с.

- Ивлева Е. Геометрия 7-9 Подготовка к экзамену// Математика. Проложение к газете «Первое сентября» . – 2000. - № 9 . – с.14

- Боженкова Л. И. Алгоритмический подход к задачам на построение. // Математика в школе. – 1991. № 2. – с. 23