Сфера. Взаимное расположение сферы и плоскости
Мы продолжаем знакомство со сферой. На прошлом занятии вы узнали, что в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2 | Уравнение сферы с центром С( x0 ; y0 ; z0) и радиусом R: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2 |
Рассмотрим взаимное расположение плоскости и сферы в зависимости от соотношения между расстоянием от её центра до плоскости и радиусом сферы. 1.Выберем прямоугольную систему координат Оxyz так, что центр сферы радиуса R имеет координаты С (0;0;d), где d-расстояние от центра сферы до данной плоскости α, а сама плоскость α совпадает с координатной плоскостью Оxy. 2.Запишем уравнение данной сферы: x2+y2+(z- d)2 = R2. 3.Очевидно, что аппликата z любой точки плоскости Оxy равна нулю, то есть координаты любой точки плоскости Оxy удовлетворяют уравнению z=0, а координаты любой точки, не принадлежащей плоскости Оxy, этому уравнению не удовлетворяют, так как аппликаты таких точек не равны нулю. Тем самым в соответствии с понятием уравнения поверхности, уравнение z=0 является уравнением координатной плоскости Оxy, таким образом, уравнение плоскости α имеет вид: z=0. 4.Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от решения системы уравнений: z=0 x2+y2+(z- d)2 = R2. При z=0 второе уравнение примет вид: x2+y2 = R2- d2 | 1.Прямоугольная система координат Оxyz . Центр сферы С(0;0;d),радиус R , d-расстояние от центра сферы до плоскости α, плоскость α совпадает с координатной плоскостью Оxy. 2. Уравнение данной сферы: x2+y2+(z- d)2 = R2. 3. Уравнение плоскости α: z=0 4. z=0 x2+y2+(z- d)2 = R2. z=0 ⇒ x2+y2 = R2- d2 |
Рассмотрим возможные три случая: 1) Расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы d R. Тогда R2- d20 и уравнение x2+y2 = R2- d2 является уравнением окружности радиуса r=√ R2- d2 , все точки этой окружности принадлежат одновременно и сфере и плоскости. Итак, плоскость и сфера пересекаются по окружности. Таким образом, если расстояние от центра до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы данной плоскостью является окружностью. | 1. dR R2- d20 Уравнение x2+y2 = R2- d2 является уравнением окружности радиуса r=, все точки этой окружности принадлежат одновременно и сфере и плоскости. Если расстояние от центра до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы данной плоскостью является окружностью. |
Очевидно, что сечение шара плоскостью является кругом, причем: если секущая плоскость проходит через центр шара, то в сечении получается круг, радиус которого равен радиусу шара; если секущая плоскость не проходит через центр, то в сечении получается круг, радиус которого меньше радиуса шара. | Сечение шара плоскостью- круг. 1. Секущая плоскость проходит через центр шара- в сечении получается круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара. 2. Если секущая плоскость не проходит через центр, то в сечении получается круг, радиус которого меньше радиуса шара. |
2). Расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы d=R, тогда R2- d2=0 и уравнению x2+y2 = R2- d2 удовлетворяют только значения x=0, y=0. Поэтому только координаты точки О (0;0;0) удовлетворяют обоим уравнениям, итак точка О — единственная общая точка плоскости и сферы. Таким образом, если расстояние до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют единственную общую точку. | 2) d=R ⇒ R2- d2=0 ⇒ x2+y2=0 Единственное решение: x=0, y=0 О(0;0;0)- единственная общая точка плоскости и сферы. Если расстояние до плоскости равно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют единственную общую точку. |
3) Расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы d R, в этом случае R2- d2 0 и уравнение x2+y2 = R2- d2 не имеет решения. Таким образом, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек. | 3) d R ⇒ R2- d2 0 ⇒ уравнение x2+y2 = R2- d2 не имеет решения. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскость и сфера не имеют общих точек. |
Применим полученные знания при решении задач. Задача 1 Шар с радиусом 41 дм пересечён плоскостью, проходящей на расстоянии 9 дм от центра. Найти площадь сечения. Решение: 1.Расстояние от центра шара до секущей плоскости меньше радиуса, значит сечением шара плоскостью, является круг. Площадь круга вычислим по формуле: S=πr2, где r = АК — радиус круга. 2.Найдём АК из прямоугольного треугольника АОК по теореме Пифагора: А К= = == ==40дм 3. Sсеч=r2=*402=1600(дм2). Таким образом, площадь сечения равна 1600 дм2. | Дано: шар, R=41 дм, d=9 дм Найти: Sсеч Решение: 1. d R ⇒ сечение шара плоскостью- круг. S=r2, r=АК -радиус круга. 2. Δ АОК-прямоугольный. По теореме Пифагора: АК= = = = =40дм 3. Sсеч=πr2=π·402=1600π (дм2). Ответ: Sсеч=1600π (дм2). |
Сегодня мы рассмотрели возможные случаи взаимного расположения сферы и плоскости, применили свои знания при решении задач. | |