Конспект урока по теме "Применение производной в математике и физике"

Организационная информация

Тема урока

Применение  производной в математике и физике.

Предмет

Физика и математика

Класс

11

Автор урока (ФИО, должность)

Жукова Елена Владимировна, учитель физики,

Матвейчук Лидия Николаевна, учитель математики

Образовательное учреждение

МОУ «СОШ№1 г.Олонца» Республики Карелия

Республика/край, город/поселение

Республика Карелия, г. Олонец

Методическая информация

Тип урока

Закрепление и совершенствование знаний по математике и физике.

Цели урока

Закрепить понятие физического  смысла  производной,  рассмотреть  использование  механического истолкования производной  при решении задач, связанных с физическим смыслом.

Задачи урока

• дать понятие о возможностях  применения  элементов  дифференциального  исчисления в описании и изучении  процессов и явлений  реального  мира;

• показать широкий спектр приложений  производной;

• расширить знания учащихся о производной  первого и второго порядка, используя ее физический  смысл;

• развивать логическое  мышление при установлении  связи физических  величин с понятием производной;

• развивать монологическую речь в  ходе  объяснений,  обоснований  выполняемых  действий;

• развивать навыки  самостоятельной  работы,  работы с компьютером, тестам.

Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока

В ходе урока учащиеся повторяют определение производной, а затем формулы – производная линейной функции, производная степенной функции, производные тригонометрических функций – синуса и косинуса, производную сложной функции и производную произведения, повторяют геометрический смысл производной, а также физический смысл производной первого и второго порядка.

Применение элементов  дифференциального  исчисления в описании и изучении  процессов и явлений  реального  мира осуществляется при решении задач различного плана: на равноускоренное движение, на нахождение работы, ЭДС индукции и самоиндукции и другое.

Необходимое оборудование и материалы

Компьютер, экран, мультимедиа, раздаточный материал в виде тестов.

Подробный конспект урока

Мотивация учащихся

Практическое применение производной.

Ход и содержание урока

Организационный момент

Учитель математики формулирует тему и цели урока (Слайд 1, 2).

Ученики записывают число и тему урока в тетрадях.

Повторение определения производной и её геометрического и физического смысла

1) Сформулируйте определение производной.

На экране появляется запись определения и формула:

f ′ ( x )= (слайд 3).

2). На экране появляется слайд, содержащий информацию о происхождении терминологии и условных обозначениях, принятых в математике и физике для обозначения производной (слайд 4).

3). Учитель предлагает учащимся вспомнить формулы – производная линейной функции, производная степенной функции, производные тригонометрических функций – синуса и косинуса, производную сложной функции и производную произведения. Эти формулы появляются на экране (слайд 5).

Устная работа.

4). Устно решить следующие задания:

найти производную функций

1). Х ² + 4Х 2). Х/3 – sinX

3). X ⁸/4 + LnX 4). 5X ^-3 - 1/X

5). - 6X ⁴ + π 6). X sinX

7). X ² cosX 8). СOS²(3X+4)

5) В чем заключается геометрический смысл производной? (слайд 6).

5). Повторение физического смысла производной первого и второго порядка (слайд 7).

Решение задач по механике. (Решают с учителем физики).

Учащимся предлагается решить 4 задачи по механике в тетради и сравнить полученный ими ответ и решение с предложенным решением на следующих слайдах.

Задачи:

1. Координата материальной точки изменяется с течением времени по закону х(t)=3t²--7t + 6, где t - время движения в секундах. Найдите скорость точки в момент времени t = 6c (слайд 9).

2. При движении тела по прямой его скорость V меняется по закону V ( t ) = t⁵/5 - t³ + + t + 1 , где t - время движения в секундах. Найдите ускорение (м/с²) через 2 секунды после начала движения (слайд 10).

3. Найдите силу F , действующую на тело массой m, движущегося прямолинейно по закону х( t ) = 2t³ – t², где t - время движения в секундах, при t = 2с (слайд 11).

4. Точка движется вдоль оси ОХ, координата ее меняется в соответствии с уравнением Х = (5t³- 4t + 8), где t – время в секундах. Масса точки равна 3 кг. Определите значение кинетической энергии тела через 1 с после начала движения (слайд 12).

Следующую задачу учащиеся решают на доске и в тетради:

Проекция скорости материальной точки вдоль оси ОХ изменяется по закону Vx= 2t. Какую работу совершает сила, действующая на эту точку за 5 секунд, если ее масса равна 2 кг (слайд 13).

Решение задания:

Механическая работа находится по формуле: А=FScosα

Силу находим в соответствии со вторым законом Ньютона, по формуле F = ma. Ускорение – производная функции Vx = 2t., путь S – ее первообразная. Подставив числовые значения из данных задачи, получаем ответ 100 Дж.

Решение задач для закрепления физического смысла производной. (Решают с учителем математики).

Текст задач.

1. Лампа подвешена на высоте 12 метров над прямой горизонтальной дорожкой, по которой идет человек ростом 1,8 м. С какой скоростью удлиняется его тень, если он удаляется от лампы со скоростью 50 м/мин.? (слайд 14).

Решение задания

На рисунке: ОА – высота, на которой находится лампа, MN – рост человека, МР – длина тени (Зависит от времени t).

Пусть t – время движения человека, выраженное в минутах. Тогда 50t метров – длина отрезка ОМ (это расстояние, на которое удаляется человек от лампы). Рассмотрим треугольники OАP и MNP. Они прямоугольные, подобные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон OА/MN = OP/PM. Подставив в пропорцию данные, получаем 12/1,8 = (50t+PM)/PM. Решая пропорцию, находим длину тени РМ. РМ = 150t/17, метров. Закон изменения, т.е. скорость удлинения тени V = 150/17, м/мин.

1. Два тела начали движение по прямой одновременно из одной точки. Скорость первого V(t) = 3t² - 6t, второго V(t) = 10t + 20. В какой момент времени и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча? (Скорость измеряется в метрах в секунду.) (слайд 15).

Решение задания.

Пройденный путь есть первообразная скорости. Значит, S₁(t) = t³- 3t², S₂(t) = 5t² + 20t. По условию задачи известно, что S₁ = S₂. Решаем уравнение t³ - 3t² = 5t² + 20t. Корнями уравнения являются числа 0, -2 и 10. Т.к. t ≥ 0, то t = 10 секунд. Следовательно, S₍₁₀₎₌700 метров.

Ответ: через 10 секунд, 700 метров.

Решение задач по электромагнетизму. (Решают с учителем физики).

1. Величина вектора индукции однородного магнитного поля меняется по закону В = (0,15+0,1t) Тл, где t- время в секундах. Найти в милливольтах ЭДС индукции в круговом контуре площадью 0,05м², расположенном в данном поле перпендикулярно к линиям индукции. (слайд 17).

Решение задания:

Для нахождения ЭДС индукции производную вектора магнитной индукции надо умножить на площадь контура: 0,1*0,05 - 0,005 В = 5мВ.

1. Поток магнитной индукции через проводящий контур меняется по закону Ф = (2 + 0,05t) Вб. Чему равна величина силы индукционного тока в контуре, если его сопротивление 2,5 Ом? (слайд 18).

Решение задачи:

Для нахождения силы индукционного тока в контуре надо, в соответствии с законом Ома, величину ЭДС индукции разделить на сопротивление контура. Величина ЭДС индукции – производная магнитного потока по времени и численно равна 0,05 В. Следовательно, сила индукционного тока равна 0,02А.

1. В результате деформации катушки ее индуктивность уменьшается по закону L= (0,1 - 0,004t) Гн, где t - время в секундах. Найти величину ЭДС самоиндукции, если по катушке течет постоянный ток 70А. (слайд 19).

Решение задания:

ЭДС самоиндукции находится по формуле: ЭДС_is = (LI)′. Так как дан закон изменения индуктивности, а сила тока в цепи не меняется, то ЭДС_is = L′I. Находим производную закона изменения индуктивности, умножаем на значение силы тока 70А и получаем ЭДС_is = (0,1 - 0,004t)′ * 70 = 0,28В.

Следующую задачу учащиеся решают на доске и в тетради:

На рисунке показана зависимость от времени силы тока в катушке индуктивностью L=20 мГн. Определите абсолютную величину ЭДС самоиндукции, возникающей в катушке в момент времени t=2,5 секунды. (слайд 20).

Решение задания:

По графику определяем, что зависимость I(t) имеет вид I = αt², где коэффициент α = 0,1 А/c². С помощью производной определяем абсолютную величину ЭДС самоиндукции: ЭДС_is = LI′=L*2αt. Вычислим ЭДС_is в момент времени t = 2,5с.

ЭДС_is = 20*10^-3*2*0,1*2,5 = 0,01В.

Самостоятельная работа

(тест по вариантам из материалов ЕГЭ по физике и математике разных лет).

В конце урока учащимся предлагается ответить на вопросы теста по вариантам. После того, как они сдадут работы, на последних слайдах появляются варианты ответов. (слайд 21) и критерии оценки самостоятельной работы в соответствии с количеством правильно решенных заданий (слайд 22).

1 вариант

1. Тело движется прямолинейно в соответствии с законом X(t) = 2t³ - 3t, м. Определить значение скорости тела через 2 секунды после начала торможения.

а) 0м/c б) 3,5м/с в) 10 м/с

г) 21 м/с.

1. Уравнение координаты материальной точки имеет вид:

Х = 24 + 10t - t².

Определите время торможения тела.

а) 2c б) 5с в) 0,5с

г) 6,5с

1. Под действием силы 150Н тело движется так, что его координата в направлении действия силы изменяется по закону Х = 100 + 5t + 0,5t². Какова масса тела?

а) 12кг б)150г в)0,3кг

г) 150кг

1. Точка движется вдоль оси ОХ, координата ее меняется в соответствии с уравнением Х=(5t³ - 4t + 8) м, где t- время в секундах. Масса точки равна 2кг. Определите значение ее кинетической энергии через 1с после начала движения.

а) 900Дж б) 11Дж в) 30Дж

г) 121Дж

1. В результате изменения сопротивления цепи при помощи реостата сила тока уменьшается по закону I = (300 - 50t) А, где t - время в секундах. Найти величину ЭДС самоиндукции, если индуктивность катушки в цепи составляет 0,04Гн.

а) 0,2В б) 12В в) 2В г) 10В

1. На рисунке изображены графики зависимости магнитного потока, пронизывающего контур, от времени. Укажите случай, когда ЭДС индукции постоянна.

а) 1 б) 2 в) 3

г) 4

1. Тело движется по плоскости, при этом его координаты от времени (в системе СИ) зависят следующим образом: Х(t)=2t²+6, y(t)=-1,5t²-6. Ускорение тела равно

а) 0м/c² б) 3,5м/с² в) 0,5м/с²

г) 5,0м/с².

2 вариант.

1. Найдите скорость точки, движущейся по закону X(t) = t² + 2t + 3, (м) через 3 секунды после начала движения.

а) 2м/c б) 18м/с в) 8 м/с

г) 12 м/с

1. Уравнение координаты тела имеет вид X = 15 + 3t - 0,5t² (величины измерены в системе СИ). Сколько секунд затратило тело на торможение?

а) 3с б) 1с в) 2,5с

г) 4с

1. На тело массой 300г, движущееся вдоль оси ОХ в соответствии с законом Х(t) = -2t² + 5, действует сила, модуль которой равен

а) 0,6Н б) 1,2Н в) 1,5Н

г) 0,6Н

1. Точка движется вдоль оси ОХ, координата ее меняется в соответствии с уравнением Х = (2t³ - 4t + 12) м, где t- время в секундах. Масса точки 2кг. Определите значение ее кинетической энергии через 2с после начала движения.

а) 200Дж б) 20Дж в) 400Дж

г) 363Дж

1. В результате деформации катушки ее индуктивность уменьшается по закону L= (0,15 - 0,005t) Гн, где t - время в секундах. Найти величину ЭДС самоиндукции, если по катушке течет постоянный ток 70А.

а) 3,5В б) 0,05В в) 1,5В

г) 0,35В

1. На рисунке изображены графики зависимости магнитного потока, пронизывающего контур, от времени. Укажите случай, когда ЭДС индукции равна нулю.

а) 1 б) 2 в) 3

г) 4

1. Тело движется по плоскости, при этом его координаты от времени (в системе СИ) зависят следующим образом: Х(t)=2t²+6, y(t)=-1,5t²-6. Ускорение тела равно

а) 0м/c² б) 3,5м/с² в) 0,5м/с² г) 5,0м/с².

Проверка и оценивание ЗУНКов

Учащимся в ходе урока предлагается решить задачи по механике и электродинамике в тетради и сравнить решение и полученный ими ответ с предложенным решением на слайдах презентации.

В конце урока учащимся предлагается ответить на вопросы теста по вариантам. После того, как они сдадут работы, на последних слайдах появляются варианты ответов. (слайд 21) и критерии оценки самостоятельной работы в соответствии с количеством правильно решенных заданий (слайд 22).

Рефлексия деятельности на уроке

Домашнее задание

Дополнительная необходимая информация

В помощь учителю

Использованные источники и литература (если имеются)

Используемая литература.

Учебник «Алгебра и начала анализа», 10-11 классы, задачник для общеобразовательных учреждений под редакцией А.Г.Мордковича. М., «Мнемозина», 2004 год.

Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для 10-11 классов средней школы. М., «Просвещение», 1990 год.

Учебник «Физика», 11 класс, Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Чаругин В.М., М., «Просвещение», 2004 год.

Физика, ЕГЭ, раздаточный материал тренировочных тестов. Учебное пособие под редакцией С.А. Соболевой. Санкт-Петербург, «Тригон», 2005 год.

А.С.Богаткин, «Пособие для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию по физике», Ростов-на Дону, «Феникс», 2003 год.

Обоснование, почему данную тему оптимально изучать с использованием медиа-, мультимедиа, каким образом осуществить

Учащиеся в ходе урока решают задачи в тетради и сравнивают решение и полученный ими ответ с предложенным решением на слайдах презентации. Кроме этого, они после решения заданий теста самостоятельно проверяют его с помощью слайдов презентации. Все это помогает осуществить обратную связь на уроке.

Советы по логическому переходу от данного урока к последующим

Другое