Конспект урока по теме"Способы решения показательных уравнений"

Способы решения показательных уравнений.

Тип урока: Комбинированный урок.

Цели урока : 1.Обучающая: формирование навыков решения

показательных уравнений различными способами;

2.Развивающая: - способствовать развитию у обучающихся элементов творческой деятельности, как качество мышления (интуиции), пространственное мышление, память, внимание;

-формировать у обучающихся умение делать выводы, в том числе по аналогии.

3.Воспитательная: - способствовать воспитанию

организованности, привычки к систематическому

труду, формированию эстетических навыков

при оформлении записей.

План урока.

1. Организационный момент. (1-2 мин)

2. Основная часть: (40 мин)

2.1 Проверка домашнего задания. (3-5мин)

2.2. Подготовка к изучению нового материала.

2.3. Изучение нового материала. (10-15 м)

2.4. Закрепление изученного материала. (9-10 мин)

1. Проверка усвоения нового материала. (10 мин)

1. Заключительная часть. (2-3мин)

Средства обучения: таблицы с графиками показательной функции, компьютер, проектор.

46

Ход урока.

2. Основная часть.

2.1.Проверка домашнего задания

Цель: Обобщение и систематизация полученных знаний:

а) Обучающиеся решают у доски: 1. y ^x =5- x 2. 3^-х =-3\х.

б) В это время двое обучающихся записывают на доске свойства показательной функции: 1. у = а^х (а1)

2.у = а^х (0a

в) Устный опрос:

- Что значит, функция монотонна? (Если функция монотонна, то каждое свое значение она принимает единственный раз)

• Что означает, монотонность показательной функции? (Степени с одинаковым положительным, но не равным единице основанием, равны тогда и только тогда, когда их показатели равны)

1. Подготовка к изучению нового материала.

№ 1. а) 2^х =8 б) (1\3)^х =81

Левая часть этих уравнений представляет собой монотонную функцию , а правая часть – постоянную, значит, по теореме о корне , уравнения имеет не более одного корня.

Сформулируйте теорему о корне. Если f(x) монотонно возрастает (или убывает) на Р, а- постоянное. число, то уравнение f(x)=а имеет не более одного корня на Р.

Например: 1. 6^х =0 – нет корней, так как 6^х 0 , для любых х € R.

2. (1\4)^х=-1\4 - нет корней, так как (1\4)^х0, для любого х€R.

3. 7^х=10 -уравнение имеет корень , но пока мы не знаем как он записывается.

Итак, мы рассмотрели уравнение вида а^х=b, сколько же корней может иметь это уравнение и от чего это зависит? ( Не более одного корня, это зависит от значений параметра b. Если b≤0, то уравнение не имеет корней, если b0, то уравнение имеет один корень.)

На доске вывешены 3 таблицы, которые предлагаются вниманию учащихся.

у у у

y=a^x (0^x (0^x (0

b y=b (b0)

1 1 1

0 х у=b(b=0)

0 х 0 х

y=b (bb

Уравнение вида а^х=b называется простейшим показательным уравнением. Сегодня мы должны выяснить , на чем основан способ его решения и каковы методы решения показательных уравнений, сводящих к простейшему.

Обучающиеся записывают тему урока.

2.3 Изучение нового материала.

-Чтобы решить уравнение а^х=b нужно число b представить в виде степени с основанием а, затем воспользоваться монотонностью показательной функции.

- Запишем в тетрадях: а^х=b,

а^х=а^с,

так как функция у= а^х монотонна, то из равенства степеней с одинаковым положительным основанием, не равным единице, следует равенство показателей, то есть х =с.

1 способ.

Способ уравнивания оснований. Приведение обеих частей уравнения к общему основанию.

Многие показательные уравнения решаются методом приведения обеих частей уравнения к одинаковому основанию.

№2. а) 4^х = 8^2х-3

- К степени с каким основанием можно привести левую и правую части уравнения? ( К степени с основанием 2.)

• Обоснуйте переход от равенства степеней к равенству показателей? (Степени с одинаковым положительным , не равным единице основанием равны тогда и только тогда , когда равны их показатели.)

Решение:

2^2х=2^3(2х-3)

2х=6х-9

х= 2,25

Ответ: 2,25.

б) (все задания под буквой (б) решаются у доски обучающимися )

3^х²-6х-2,5 =81√3.

• К степени с каким основанием нужно привести обе части этого уравнения? ( К степени с основанием 3.)

Решение:

3^х²-6х-2,5=3⁴ · 3^1\2

3^х²-6х-2.5=3^4.5

х²-6х-2,5=4,5

х₁=7, х₂= -1

Ответ: -1; 7

2 способ.

Способ группировки. Вынесение общего множителя за скобки

№3. а) 5^2х+1- 3·5^2х-1=550

-Можно ли привести обе части уравнения к степени с одинаковым основанием? (Нет.)

- Можно сгруппировать слагаемые, содержащие степень и вынести общий множитель за скобки.

Решение:

5^2х ·5¹-3·5^2х·5^-1=550

5^2х(5-3*1\5)= 5

5^2х(22\5)=550

5^2х=550\22

5^2х=125

5^2х=5³

2х=3

х=1,5

Ответ: 1,5.

б) 3^х-1+3^х-2+3^х-3=13.

• Какой общий множитель нужно вынести за скобки? (3^х-3)

Решение на доске.

3 способ.

Введение новых переменных. Преобразование к квадратному уравнению.

№4. а) 4^х+2^х-6=0.

• Можно ли вынести общий множитель за скобки? ( Нет)

• Как можно представить число 4? (2²)

• Это уравнение можно решить преобразованием к квадратному

уравнению или введением новых переменных.

• Какие значения может принимать переменная b? (b0)

Решение:

(2^х)²+2^х-6=0

Пусть 2^х=b,b0, так как Е (а^t)=R₊

b²+b-6=0

b₁=2, b₂=-3 –не удовлетворяет условию, b0,

2^х=2

х=1

Ответ: х=1.

б) 9^х+3^х+1=4.

• Какое выражение нужно заменить другой переменной? (9^х=3²)

• Как поступить со вторым слагаемым? (Разложить на множители, используя свойство степени.)

(Решение на доске).

4способ. Логарифмирование обеих частей уравнения. Применение основного логарифмического тождества.

№5. а) 2^х=3^х

• Можно ли решить это уравнение одним из рассмотренных способов? (Да)

• Необходимо помнить , что единицу можно представить в виде степени с любым основанием не равным нулю.

• Как получить в одной из частей уравнения единицу? (Разделить обе части уравнения на 2^х или 3^х.

• Почему это деление возможно? ( Так как 3^x0; 2^х0).

Решение :

2^х\3^х=1

(2\3)^х=1

(2\3)^х=(2\3)⁰

х=0.

Ответ: х=0.

б) 5·7^х=7·5^х (Решают у доски).

2.4.Закрепление изученного материала.

К доске вызывается обучающийся , при этом способ решения обсуждают совместно и выбирают наиболее рациональный способ решения уравнения.

1. 2^х+1 + 3·2^х-1 - 5·2^х + 6=0;

2. 4·3^2х - 2^2х-1 - 3^2х+1 - 2^2х=0;

3. 3·5^2х+1 - 26·5^х+5=0.

2.5. Проверка усвоения материала.

Обучающимся предлагается самостоятельная работа дифференцированного характера. Уровень сложности обучающиеся выбирают самостоятельно.

3.Заключительная часть .

Преподаватель еще раз возвращается к способам решения показательных уравнений, обучающиеся называют их . Выставляет отметки. Домашнее задание : № 123(1-6) (Виленкин)