Конспект урока по теме "Случайная изменчивость" (Статистика)

Случайная изменчивость.

Цель урока – знакомство учащихся с понятием случайной изменчивости. У учащихся должно сложиться представление о случайной изменчивости вели- чин и некоторых причинах случайной изменчивости.

Задачи

Образовательные:

-познакомить учащихся с новой статистической характеристикой, как случайная изменчивость,

-учить находить, составлять, моделировать и решать задачи,

- способствовать осуществлению межпредметных связей на уроках математики.

Развивающие:

- развивать творческую самостоятельность учащихся; коммуникативные и исследовательские навыки.

Воспитательные:

- воспитать инициативно – активную коммуникативную личность,

Тип урока:   урок ознакомления с новым материалом

Форма урока: проектно – поисковая

Оборудование: калькулятор.

Ход урока

1. Организационный этап

2. Повторение

Дан числовой ряд 12,2,11,3,7,10,3. Найдите среднее арифметическое ряда, размах, моду и медиану ряда.

Решение. Упорядочи числа : 2,3,3,7,10,11,12. Размах ряда 12-3=9. Медиана ряда 7. Мода ряда 3.Среднее арифметическое ( 2+3+3+7+10+11+12) : 7= 48:7=6,85

3. Новый материал

Учитель: Величины, с которыми мы имеем дело в жизни, как правило, изменчивы. Например, рост конкретного человека – изменчивая величина. Ребёнок растёт, потому что его организм развивается. Рост взрослого человека также непостоянен: он меняется в течение суток в среднем на 1 – 2 см (при нагрузках на 3 см и более). Наибольший рост будет сразу после сна. За день, пока человек стоит, ходит и сидит, межпозвоночные диски оседают, и рост уменьшается, а за ночь позвоночник снова растягивается.

Изменчивой величиной является время пути от дома до школы каждого школьника, курс валюты, вес плитки шоколада, температура воздуха и так да лее. Причины изменчивости чаще всего известны нам лишь частично или неизвестны вовсе. Поэтому, говоря об изменчивости, часто добавляют прилагательное «случайная». Случайная изменчивость – непостоянство величины, обусловленное действием случайных причин (факторов), часть из которых может быть неизвестна

Учитель: Какие проблемы предлагаете для изучения новой темы на уроке?

- Что такое случайная изменчивость?

- Какой области знаний человечества принадлежит данная характеристика: математике, статистике или теории вероятности?

- Что характеризует, зачем нужна?

- Как часто встречается с ней человек в своей деятельности?

- Как она проявляется?

- Можно ли её измерить?

- Есть ли формула, по которой можно случайную изменчивость посчитать?

Учитель: Объект исследования – «случайная изменчивость». Предлагаю сконструировать свой поиск знаний по теме урока, т. е. выбрать свою индивидуально – групповую образовательную траекторию.

- Определить, что такое «случайная изменчивость»

- Узнать, где в жизни она встречается

- Случайная изменчивость и экономика

- Определить её характеристики и свойства.

- Найти правила её вычисления.

- Установить, можно ли сравнить её величину с медианой, размахом, модой  и средним арифметическим.

- Какие можно решать задачи.

- Обобщить материал и сделать выводы.

Пример 1. Рост человека

Невозможно заранее предсказать рост незнакомого человека. Для исследователя эта величина случайная. Но если измерить рост многих людей ( тоже случайно выбранных), то станет видна закономерность. Чтобы в этом убедиться, мы последовательно обсудим данные о росте человека по малому, среднему и большому числу наблюдений.

Малая выборка.

В таблице 1 приведен рост ( в сантиметрах) десяти случайно выбранных девушек.

Таблица 1. Рост 10 случайно выбранных девушек, см ( первая группа)

Эти числа показывают, что рост человека изменчив.

Ответьте на вопросы

1.Найдите средний рост девушек.

2.Определите размах, медиану и моду ряда

Результат обсуждения. Средний рост- среднее арифметическое этого набора чисел равно 166,4см. Медиана – 166, размах чисел в этой таблице равен 11 см. Мода ряда – 166см. То есть рост колеблется около 166 см.

В таблице 2 даны сведения о росте других десяти случайно выбранных девушек.

Таблица 2. Рост 10 случайно выбранных девушек, см ( вторая группа)

Эти числа еще раз показывают, что рост человека изменчив.

Ответьте на вопросы

1.Найдите средний рост девушек.

2.Определите размах, медиану и моду ряда

Результат обсуждения. Средний рост- среднее арифметическое этого набора чисел равно 164,3 см. Медиана – 164,5 см, размах чисел в этой таблице равен 10 см. Мода ряда – 164см. То есть рост колеблется около 164 см.

Мы видим, что числа в таблицах 1 и 2 заметно различаются. Различия могут быть велики как для одной выборки, так и для чисел разных выборок. Однако средние значения этих чисел различаются значительно меньше: разность между средними арифметическими всего 2,1 см ( 166,4 – 164,3), разность между медианами 1,5 см ( 166 – 164,5).

Следовательно, среднее арифметическое и медиана более устойчивы, чем результаты отдельных измерений. Это единственная закономерность, которую можно заметить, пользуясь только таблицами 1 и 2.

Средняя выборка

Пополним наш запас наблюдений. К двадцати значениям роста добавим еще тридцать значений новых наблюдений и занесем их в таблицу 3.

Таблица 3. Рост 50 случайно выбранных девушек, см

Среднее значение роста в этой выборке равно 165,3 см, медиана – 165 см. Эти значения мало отличаются от тех, что получены для первых двух выборок. А вот размах колебаний роста увеличился до 15 см. Это естественно. Чем больше человек мы случайно выбираем, тем больше шансы, что среди них попадутся более высокие и более низкие люди.

Поэтому размах значений роста может увеличиваться, а среднее значение роста остается практически неизменным

Рост человека – величина, подверженная гораздо большей изменчивости. В процессе эволюции человек становится всё выше и выше. За последние 200 лет мужчины выросли в среднем на примерно 10 см, а женщины — на 9,3 см. Это явление наблюдается практически во всех странах. Увеличение роста связывается с улучшением условий жизни, повышением качества питания, прогрессом в медицине: благодаря прививкам дети реже переносят заболевания, задерживающие рост. Однако никто не может точно сказать, почему и каким именно образом эти (и другие) факторы влияют на рост.

Пример 2. (Учебник, с.96) В России номинальное напряжение в бытовых электросетях 220 В. На самом деле напряжение редко равно в точности 220 В. Возьмем бытовой вольтметр и будем измерять напряжение в розетке через каждые 10–15 секунд на протяжении нескольких минут. Получается набор данных:

Результат обсуждения. Судя по данным случайных измерений, напряжение сети – изменчивая величина. Размах значений в наших измерениях получился 17 вольт. Найти частоту случаев, когда напряжение в сети больше номинального. Из 25 значений 14 превышают номинал (частота равна 0,56) – это около половины. Среднее значение равно 222,2 В. Отличие среднего от номинального значения 220 В мало (около 1%). Можно предположить, что систематического отклонения в измерениях нет. Рассеивание результатов измерений – следствие случайных отклонений, причины которых обсуждались ранее.

Причины изменчивости – включение и выключение электроприборов в соседних квартирах или домах. Кроме того, возможны колебания напряжения, приходящего на районную энергоподстанцию, связанные с нагревом трансформаторов и даже с погодными условиями. Изменчивость напряжения зависит и от качества энергосети в целом: от работы стабилизаторов, износа оборудования и так далее.

Если вы посмотрите на заднюю панель микроволновой печи или холодильника, вы найдете табличку, где написан интервал рабочего напряжения. Например, от 190 до 250 В. Если напряжение выходит за эти пределы, прибор может выйти из строя. Поэтому в некоторых случаях люди используют стабилизаторы напряжения, которые уменьшают изменчивость.

Пример 3. Массовое производство. На упаковках продуктовых товаров всегда указывается номинальная масса (например, пачка сливочного масла – обычно – 200 г, шоколадный батончик – 50 г, йогурт – 150 г, мыло – 90 г) или номинальный объём (молоко – 1 л, соевый соус – 150 мл, шампунь – 280 мл). Это совсем не значит, что масса (или объём) будет в точности соответствовать номиналу. Количество товара в упаковке – величина, подверженная случайной изменчивости. Отклонения от нормы происходят из-за износа и плохой настройки оборудования, неоднородности сырья и множества других факторов. Номинальная масса – значение, к которому стремится производство. Товар, имеющий массу, сильно отличающуюся от номинала, считается бракованным. Допустимое отклонение зависит от типа товара, а также от принятых стандартов качества на производстве.

Задание. ( Учебник с.97) На обертке шоколадного батончика написано, что его масса 50 г. Это – номинальная масса или номинальный вес. ( Номинальное значение – такое значение, которое должно быть при нормальных условиях без учёта изменчивости.). Ребята купили по десять батончиков в двух магазинах. В таблице даны массы двадцати купленных одинаковых батончиков, полученные с помощью взвешивания:

1 партия: 49,1; 50,0; 49,7; 50,5; 48,1; 50,3; 49,7; 51,6; 49,8; 50,1;

2 партия: 49,7; 48,8; 51,4; 49,1; 49,6; 50,0; 48,5; 52,0; 50,7; 50,6.

Ответьте на вопросы:

1.Найдите наибольший и наименьший веса взвешиваемых шоколадных батончиков первой партии.

2. Найдите наибольшее отклонение от номинального веса батончика в первой партии

3. Найдите средний вес батончика в первой партии . Убедитесь, что он мало отличается от 50 г.

4.Найдите средний вес батончика во второй партии.

5. Убедитесь, что средние веса батончиков обеих партий мало отличаются руг от друга и от номинального веса.

6.Сколько в каждой партии батончиков, вес которых превышает 50 г? Сколько таких батончиков в обеих партиях? Какую долю и какой процент они составляют?

7. Вес батончика, который вы покупаете, может быть больше или меньше номинального. Можно ли считать, что шансы этих событий равны, если судить по результатам взвешивания?

Результат обсуждения. Для решения упражнений составим таблицу , в которую запишите вес батончиков в обеих партиях. Закрасьте в таблице ячейки, где масса батончика выше номинального, одним цветом, а другим – те, где ниже.

Наибольшее значение 52,0 г, а наименьшее 48,1 г. Размах – 3,9 г. И только один батончик весит в точности 50 г. Но средняя масса всех батончиков 50,01 г, то есть практически не отличается от номинальной.

В каждой партии половина батончиков имеет массу меньше номинальной. Только один батончик весит ровно 50 г. Таким образом, медиана данных близка к номинальной массе: шансы купить батончик легче или тяжелее номинала примерно одинаковые.

Обратим внимание на средний вес в каждой партии и в обеих партиях вместе. Средний вес в первой партии 49,89 г, а во второй 50,13, а в двух партиях вместе 50,01 г. Такие малые отличия от 50 грамм говорят о том, что изменчивость вызвана, скорее всего, случайными отклонениями (погрешностями, ошибками) (в производстве, в наших измерениях), а систематическое отклонение крайне мало или отсутствует. Если отклонение мало отличается от заданного стандарта, то есть находится в пределах допустимой погрешности, то изделие считается годным. Если отклонение превышает допуск, то изделие считается бракованным.

В последних двух примерах речь шла о разных изменчивых величинах: массе шоколадных батончиков и напряжении в электросети. Однако в обоих случаях полученные значения группируются вокруг номинального. В обоих случаях медиана данных и среднее значение близки к номинальному. Если в массовом производстве среднее значение величины (массы, напряжения и т.п.) сильно отличается от номинального значения, то говорят о большом систематическом отклонении. В этом случае оборудование требует ремонта или наладки. Небольшие случайные отклонения приводят к рассеиванию значений, но они обычно слабо влияют на среднее (часть отклонений положительна, примерно такая же часть отрицательна, и они компенсируют друг друга).

Итоги урока (Выводы). В жизни в основном мы имеем дело с изменчивыми величинами. Чаще всего причины изменчивости известны лишь частично. Поэтому мы говорим о случайной изменчивости. Изменчивость проявляется повсеместно: в биологии, в производстве товаров и даже в повседневной жизни. В производстве или при измерениях изменчивость часто связана с проявлением ошибок или отклонений: систематических и случайных. Систематическая ошибка не создает разброса данных, но приводит к значительному отличию среднего значения от номинального (массы, объема, напряжения в сети и т.п.). Случайные ошибки разнонаправлены – они дают отклонения то в меньшую, то в большую сторону, компенсируя друг друга. Поэтому случайные ошибки создают рассеивание значений, но мало влияют на среднее.

В таблице представлены данные об урожайности зерновых культур в России с 1992 по 2018 гг. в весе после доработки.

1. Является ли урожайность зерновых культур в разные годы постоянной величиной?

2. Какие причины могут влиять на урожайность? Какие из этих факторов можно назвать случайными?

3. По данным таблицы постройте столбиковую диаграмму.

4. Вычислите средние урожайности зерновых в периоды 1992 – 2000 гг., 2001 – 2009 гг., 2010 – 2018 гг. Сравните между собой полученные результаты.

5. Составьте таблицу отклонений ежегодной урожайности в 1992 – 2000 гг., 2001 – 2009 гг., 2010 – 2018 гг. от средней урожайности за соответствующие девятилетние периоды.

6. Что больше подвержено изменчивости: средняя урожайность за девять последовательных лет или урожайность в отдельные годы?

Приложения

Пример 1. Рост человека

Невозможно заранее предсказать рост незнакомого человека. Для исследователя эта величина случайная. Но если измерить рост многих людей ( тоже случайно выбранных), то станет видна закономерность. Чтобы в этом убедиться, мы последовательно обсудим данные о росте человека по малому, среднему и большому числу наблюдений.

Малая выборка.

В таблице 1 приведен рост ( в сантиметрах) десяти случайно выбранных девушек.

Таблица 1. Рост 10 случайно выбранных девушек, см ( первая группа)

Таблица 2. Рост 10 случайно выбранных девушек, см ( вторая группа)

Эти числа еще раз показывают, что рост человека изменчив.

Ответьте на вопросы

1.Найдите средний рост девушек.

2.Определите размах, медиану и моду ряда

Средняя выборка

Пополним наш запас наблюдений. К двадцати значениям роста добавим еще тридцать значений новых наблюдений и занесем их в таблицу 3.

Таблица 3. Рост 50 случайно выбранных девушек, см

Пример 2. В России номинальное напряжение в бытовых электросетях 220 В. На самом деле напряжение редко равно в точности 220 В. Возьмем бытовой вольтметр и будем измерять напряжение в розетке через каждые 10–15 секунд на протяжении нескольких минут. Получается набор данных:

Пример 3. Массовое производство. На обертке шоколадного батончика написано, что его масса 50 г. Это – номинальная масса или номинальный вес. ( Номинальное значение – такое значение, которое должно быть при нормальных условиях без учёта изменчивости.). Ребята купили по десять батончиков в двух магазинах. В таблице даны массы двадцати купленных одинаковых батончиков, полученные с помощью взвешивания:

1 партия: 49,1; 50,0; 49,7; 50,5; 48,1; 50,3; 49,7; 51,6; 49,8; 50,1;

2 партия: 49,7; 48,8; 51,4; 49,1; 49,6; 50,0; 48,5; 52,0; 50,7; 50,6.

Ответьте на вопросы:

1.Найдите наибольший и наименьший веса взвешиваемых шоколадных батончиков первой партии.

2. Найдите наибольшее отклонение от номинального веса батончика в первой партии

3. Найдите средний вес батончика в первой партии . Убедитесь, что он мало отличается от 50 г.

4.Найдите средний вес батончика во второй партии.

5. Убедитесь, что средние веса батончиков обеих партий мало отличаются руг от друга и от номинального веса.

6.Сколько в каждой партии батончиков, вес которых превышает 50 г? Сколько таких батончиков в обеих партиях? Какую долю и какой процент они составляют?

7. Вес батончика, который вы покупаете, может быть больше или меньше номинального. Можно ли считать, что шансы этих событий равны, если судить по результатам взвешивания?