Конспект урока по геометрии на тему "Перпендикулярность прямой и плоскости"

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Тема нашего урока: Перпендикулярность прямой и плоскости

Записывают тему урока

Вспомните из курса планиметрии, какие прямые назывались перпендикулярными

Перпендикулярные прямые – прямые, пересекающиеся под прямым углом

Для начала вспомним, как могут располагаться относительно друг друга прямая и плоскость в пространстве?

Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость или быть ей параллельна

Сформулируйте определение прямой параллельной плоскости, признак параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в данной плоскости, то она параллельна данной плоскости

Рассмотрим куб. Что вы можете сказать о взаимном расположении прямой и плоскости:

Что вы можете сказать о взаимном расположении прямой и плоскости

Вспомните тему нашего занятия и предположите, каким именно образом они могут пересекаться?

Отвечают на вопросы

Они пересекаются

Прямая перпендикулярна плоскости

Давайте проверим, верно ли ваше предположение. Для этого познакомимся со следующим определением:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Перпендикулярность прямой и плоскости обозначают следующим образом: .

Говорят также, что плоскость перпендикулярна прямой

Записывают определение

Поработаем с определением. Выделите условие и заключение теоремы. Из скольких частей состоит условие? Каких?

Что дано в условии определения?

Что следует из выполнения данного условия?

Условие: Прямая пересекает эту плоскость, и она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в данной плоскости

Заключение: Данная прямая является перпендикулярной к данной плоскости.

Даны плоскость, прямая, которая пересекает данную плоскость, и прямые, лежащие в этой плоскости. Данная прямая перпендикулярна каждой из прямых, принадлежащих плоскости.

Данная прямая будет перпендикулярна всей плоскости.

Получается, чтобы воспользоваться определением для доказательства нашей гипотезы, что прямая перпендикулярна плоскости в кубе, что следует доказать?

Сколько таких прямых может быть в плоскости?

Соответственно, нам придется бесконечно много раз доказать, что данная прямая перпендикулярна другой прямой плоскости.

Это сделать весьма затруднительно. Поэтому геометры придумали и доказали признак перпендикулярности прямой и плоскости, который вы постараетесь вывести сами. Для этого предлагаю вам сделать небольшую практическую работу.

Следует доказать, что прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости .

Бесконечно много

Построим плоскость , выберем на ней некоторую точку , проведем через нее несколько прямых и т.д.

Теперь воспользуемся угольником и приложим его к одной из этих прямых, например, , так, чтобы вершина прямого угла совпадала с точкой , а один из катетов угольника лежал на прямой .

Что можно сказать о втором катете угольника по отношению к прямой ?

Будет ли он перпендикулярен к любой другой прямой, лежащей в плоскости?

Вспомним определение прямой перпендикулярной плоскости, тогда какой вывод можно сделать о перпендикулярности второго катета угольника всей плоскости?

Видно, что одной проверки недостаточно.

Возьмем второй угольник и расположим его так, чтобы вершина прямого угла также совпадала с точкой , один из катетов угольника лежал на прямой , а второй катет нового угольника совпал с катетом первого угольника, который не принадлежит плоскости.

Посмотрите на полученную конструкцию и предположите, как общий катет двух угольников относится к плоскости . Как общий катет относится к оставшимся катетам угольников?

Что можно сказать о взаимном расположении оставшихся катетов этих угольников?

Свяжите эти факты, какую гипотезу о перпендикулярности прямой и плоскости в этом случае можно выдвинуть?

Т.е. для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости достаточно двух проверок.

Он перпендикулярен к прямой

Нет

Он не перпендикулярен плоскости

Общий катет двух угольников перпендикулярен к плоскости , общий катет перпендикулярен катету первого угольника и перпендикулярен катету второго угольника.

Они лежат в плоскости и пересекаются в точке .

Прямая является перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Приведу пример из жизни. Когда вы устанавливаете новогоднюю елку, вы используете крестовину. Что представляет из себя крестовина с геометрической точки зрения?

Ствол елки располагают в точке пересечения брусков крестовины, причем перпендикулярно каждому из них. В этом случае ствол елки будет перпендикулярен плоскости пола. Т.е. мы имеем ту же конструкцию, что и в нашей небольшой практической работе – два пересекающихся бруска крестовины принадлежат двум прямым, лежащим в плоскости пола, ствол елки – прямая, перпендикулярная каждой из этих прямых и проходящая через точку их пересечения.

Этот житейский пример подтверждает нашу математическую гипотезу, но требуется строгое математическое доказательство.

Два пересекающихся отрезка

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Что дано в условии теоремы, что хотим доказать?

Дано: – плоскость, – прямые, ,

Доказать:

Как может относится точка О к прямой а?

Если точка О принадлежит прямой а, следовательно прямая а проходит через т. О, где О – точка пересечения прямых .

В зависимости от этого, какие 2 случая следует рассмотреть при доказательстве теоремы?

Рассмотрим первый случай - прямая а проходит через т. О. Сделаем соответствующий чертеж.

Каким теоретическим фактом мы можем воспользоваться, чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости?

Верно, пока нам известно только определение. Как мы уже отмечали, для того, чтобы им воспользоваться, необходимо доказывать, что прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости. Но можно поступить по-другому. Доказать, что прямая перпендикулярна произвольной прямой , лежащей в плоскости.

Как связаны наша прямая а и точка О?

Возьмем произвольную прямую , лежащую в плоскости. Как могут относится прямая и точка О?

Чтобы продолжить доказательство, надо каким-то образом связать прямые и . Есть ли какой-то объект, который может их связать?

Если мы взяли прямую , проходящую через точку О, то можно продолжать доказательство. Если же прямая не проходит через т. О, то проведем некоторую прямую , где .

Что мы хотим доказать?

Какие прямые называются перпендикулярными?

При пересечении перпендикулярных прямых, образуются смежные углы. Какие они между собой?

Мы хотим доказать, что прямые перпендикулярны, тогда для этого достаточно доказать, что смежные углы, образованные при пересечении прямых , равны.

Посмотрим на чертеж, сейчас нам даны плоскость, прямая , пересекающая плоскость в т , прямая , лежащая в плоскости и проходящая через т. . Хотим доказать, что смежные углы равны. В какие фигуры можно включить углы, используя дополнительные построения?

В каких случаях два угла в треугольниках будут равны?

Воспользуемся третьим предположением. Возьмем на прямой а две точки А и В так, чтобы точка О была … отрезка АВ.

Выберем на прямой произвольную точку . Тогда в каких треугольниках лежат интересующие нас углы? Назовите углы

Следовательно, равенство углов могло бы следовать из равенства .

Что мы знаем о сторонах или углах данных треугольников? Чтобы доказать, что эти треугольники равны, чего не хватает?

Как можно доказать равенство отрезков?

Сейчас у нас нет подходящих треугольников. Сделаем дополнительные построения. Проведем в плоскости через точку прямую так, что

Как относятся прямые и к прямой а?

Чем они являются для отрезка АВ?

Рассмотрим треугольники и . Какие они по виду, почему? Используйте, что - серединные перпендикуляры к

и – равнобедренные. Что из этого следует?

Рассмотрим треугольники и . Что можно про них сказать?

Что следует из равенства треугольников?

Вспомним, что мы хотим доказать.

Выделим треугольники, где являются сторонами.

Что можем сказать о данных треугольниках?

Из равенства треугольников следует…

Для чего нам нужны были равенство этих сторон?

Какой вывод следует?

Что мы хотели доказать изначально? Для чего понадобилось равенство треугольников?

Какого вида эти углы? Какой вывод следует?

Сделайте общий вывод.

Как мы проводили прямую ?

Имеем , . Что из этого следует? Какой теоремой из курса планиметрии необходимо воспользоваться?

Какой является прямая ?

Получается, что перпендикулярна любой прямой в плоскости. Что мы хотели доказать в теореме? Каким теоретическим фактом можно воспользоваться?

Мы доказали первый случай, когда прямая а проходит через т. О. Рассмотрим второй случай - прямая а не проходит через т. О.

Этот случай сводится к первому. Как мы с вами выбирали прямую ?

Чтобы свести нашу задачу к первому случаю поступим аналогичным образом по отношению к какой прямой?

Пусть . Воспользуемся упомянутой леммой о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей

Поэтому по доказанному в первом случае …

Имеем , . Что из этого следует?

Теорема доказана.

Может принадлежать ей или не принадлежать

Прямая а проходит через т. О, и прямая а не проходит через т. О

Определение прямой перпендикулярной плоскости

Прямая а проходит через точку О

Прямая проходит через т. О, и прямая не проходит через т. О

Есть, точка О

Прямые, пересекающиеся под прямым углом.

Равные смежные углы

Можно включить в треугольники

1. Это соответственные углы в равных треугольниках

2. Это углы при основании в равнобедренном треугольнике

3. Это углы, образованные проведением медианы к основанию равнобедренного треугольника

Серединой АВ

, – общая

Включить их в равные треугольники

Они перпендикулярны прямой а

Серединными перпендикулярами

Они равнобедренные, по признаку равнобедренного треугольника, т.к. и – и высоты и медианы.

= по трем сторонам, т.к. – общая,

Равенство соответствующих углов ,

по двум сторонам и углу между ними

– общая

Равенство соответствующих сторон

Чтобы доказать, что

по трем сторонам:

, – общая

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов – смежные, т.е. в сумме дают 180 градусов, следовательно, - прямые

Вывод:

,

Следовательно, по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей прямой

– произвольная прямая

Тогда по определению прямой перпендикулярной плоскости

Мы брали произвольно прямую , если она не проходил через т.О, то проводили ей параллельную, т.е.

Проведем прямую, параллельную прямой и проходящую через т. О

по теореме: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Выделим еще раз основные шаги. Сформулируйте теорему, что дано, что хотим доказать?

Основные этапы доказательства:

1. Дополнительные построения:

• на прямой а от точки О откладываем равные отрезки

• в плоскости проведем прямую

2. Доказать, что треугольники и – равнобедренные, записать следствия

3. Доказать равенство треугольников и , вывести следствия

4. Доказать равенство треугольников , вывести следствия

5. Доказать равенство треугольников , сделать вывод

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: – плоскость, – прямые, ,

Доказать:

Проговариваем вместе с учителем

Итак, мы получили с вами признак перпендикулярности прямой и плоскости. Вспомним, с чего мы начали урок. Вы предположили, что прямая перпендикулярна плоскости

Работать по определению, как мы убедились сложно, воспользуйтесь признаком и докажите, что ваше предположение верно.

, т.к.

Мы доказали, пользуясь признаком перпендикулярности прямой и плоскости, что в кубе . Как вы думаете, можно ли провести через точку еще какую-нибудь прямую, чтобы она также была перпендикулярна плоскости ?

Высказывают гипотезу

Докажем еще одну теорему:

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Что дано в условии? Что требуется доказать?

Дано: – плоскость, ,

Доказать:

1)

2) – единственная

1) Сначала докажем, что такая прямая существует.

Какие теоретические факты нам известны на данный момент о перпендикулярности прямой и плоскости? Чем удобнее воспользоваться?

Чтобы воспользоваться признаком, какие объекты необходимо иметь в плоскости ?

Проведем в плоскости произвольную прямую . Точку поместим в плоскость . Мы хотим доказать, что существует некоторая прямая с, проведенная через точку М, и что она перпендикулярна . В какой плоскости будет тогда лежать прямая с?

Хотим доказать, что . Если прямая перпендикулярна плоскости, что из этого следует по определению?

Т.е. должно получится, что

Каким образом тогда должна располагаться плоскость по отношению к прямой , ? Пользуемся определением

Давайте тогда выполним дополнительные построения. Мы провели в плоскости произвольную прямую . Точку поместим в плоскость , где . Наши плоскости пересекаются по некоторой прямой, назовем ее .

Что теперь есть на чертеже? Т.е. мы имеем в одной плоскости точку, в другой две пересекающиеся прямые. Чего не хватает для признака?

Проведем в плоскости прямую , . Почему прямая с будет искомой прямой? Как прямая с связана с прямой а?

Какой вывод следует?

2) Докажем, что такая прямая только одна

Каким методом мы обычно пользуемся для доказательства единственности?

Что тогда можно предположить?

Имеем , что . Что из этого следует?

Что еще мы знаем о прямых , кроме их перпендикулярности к одной плоскости?

Если прямые имеют общую точку, следовательно, …

С одной стороны,

С другой,

Получили противоречие, следовательно, наше предположение неверно, значит…

Теорема доказана

Определение и признак

Воспользуемся признаком

Две пересекающиеся прямые

с лежит в плоскости

Что она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, т.е. должна быть

Прямой, проходящей через точку М, перпендикулярно прямым а и b

, (по построению)

т.к. (по определению)

Методом от противного

Через точку М проходит еще одна прямая, перпендикулярная плоскости, например,

- по обратной теореме к теореме: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны между собой

Они проходят через точку М

Они пересекаются в этой точке, т.е.

Существует единственная прямая, проходящая через точку М, перпендикулярно плоскости

Устные задачи на закрепление

1) Сформулируйте определение и признак прямой перпендикулярной плоскости.

2) Выберите верные утверждения:

А) Если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Б) Через точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести бесконечное множество прямых, перпендикулярных ей.

В) Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой, параллельной этой плоскости.

Г) Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

3) Справедливо ли утверждение, что прямая, пересекающая круг в центре и перпендикулярная: а) радиусу б) двум радиусам, - перпендикулярна плоскости круга?

4)

Дано: ∆ ABC - прямоугольный; AM ⊥ AC; M ∉ (ABC)
Доказать: AC ⊥ (AMB)

5)

Дано: ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB
Доказать: CD ⊥ (ABC)

6)

Дано: АВСD – параллелограмм, M ∉ (ABC), МВ = МD, МА = МС
Доказать: MO ⊥ (ABC)

Отвечают на вопросы

Определение

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она пересекает эту плоскость и перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости

Признак

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Теорема о существовании и единственности

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

– плоскость, ,

1)

2) – единственная

Теорема 1

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Обратная теорема к теореме 1

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.