1. Организационный момент. Актуализация знаний. | Приветствие учеников. Ребята, в 10 классе мы начали изучать какой раздел геометрии? | Стереометрия |
Назовите основные фигуры стереометрии. | Точка, прямая, плоскость |
Мы изучили с вами систему аксиом стереометрии, следствия из системы аксиом, все возможности расположения прямых в пространстве. | |
2. Постановка познавательной задачи. | Как вы думаете, опираясь на наши знания, взаимное расположение каких основных фигур стереометрии мы можем теперь изучить? | Прямой и плоскости |
Верно. Поэтому тема нашего урока: Параллельность прямой и плоскости. Сегодня на уроке мы должны изучить с вами взаимное расположение прямой и плоскости, “открыть” признак параллельности прямой и плоскости и их свойства. | |
3. Введение нового материала. | Как вы думаете, какие существуют возможности взаимного расположения прямой и плоскости? | Прямая лежит в плоскости; прямая пересекает плоскость; прямая не пересекает плоскость и не лежит в ней. |
Сколько общих точек у прямой и плоскости в каждой из возможностей? Приведите примеры из окружающего нас мира, иллюстрирующие эти возможности. | Множество точек; одна точка; ни одной точки. |
На прошлых уроках мы с вами изучили “Взаимное расположение прямых в пространстве их параллельность и единственность”. Какие прямые называются параллельными? | Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. |
Попробуйте сформулировать определение параллельности прямой и плоскости. | Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются. |
Запишем определение в тетрадь: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Параллельность прямой и плоскости обозначается так: . Нагл | |
Приведите примеры параллельных прямой и плоскости в нашем кабинете. | Линия пересечения потолка и стены параллельна полу. Также будут параллельными линия пересечения пола и стены и потолок. |
| Как вы думаете будет ли линия пересечения пола и стены параллельна линии пересечения стены и потолка? и почему? | Будут, так как обе прямые лежат в плоскости стены и не пересекаются. |
На основе данного примера попробуйте сформулировать признак параллельности прямой и плоскости. | Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. |
Верно. Запишем в тетрадь данный признак и докажем его. | |
Что нам дано? | Плоскость , . |
Что требуется доказать? | |
Каким способом мы доказывали признак параллельности прямых? | Методом “от противного” |
Давайте воспользуемся этим методом и сейчас. Что нам надо предположить? | Пусть |
Что нам еще известно про прямую ? | |
Какой вывод мы можем сделать из этих двух утверждений? Почему? | (по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми) |
Что мы знаем о прямой и плоскости ? | . Значит утверждение, что противоречит условию, что . |
Что мы предполагали в начале? И какой вывод теперь можем сделать? | Мы предполагали, что . Получаем, что |
Верно. Теорема доказана. | |
| Как вы думаете, если через прямую параллельную плоскости провести плоскость, пересекающую данную плоскость, то как будут взаимно располагаться данная прямая и линия пересечения плоскостей? | Они будут параллельны |
Попробуйте сформулировать данное утверждение | Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. |
Верно запишем данное свойство в тетрадь и попробуем его доказать? | |
Что нам дано? | |
Что требуется доказать? | |
Какие прямые называются параллельными? | Прямые, которые лежат в одной плоскости не пересекаются. |
Значит какие два требования нам надо доказать? | 1) и лежат в одной плоскости 2) и не пересекаются |
Докажем первое требование, что и лежат в одной плоскости. Как мы можем найти для этих прямых общую плоскость? | . Из этих двух условий мы можем сделать вывод, что обе прямые лежат в плоскости . Тем самым мы доказали первое требование. |
Как мы можем доказать, что прямые и не пересекаются? | Воспользуемся снова методом “от противного” и предположим, что они пересекаются. |
Что мы тогда получим? | , а это противоречит условию, что . Следовательно, . |
Верно. Теорема доказана. | |
| Сейчас мы с вами проводили плоскость через прямую параллельную данной плоскости. Рассмотрим другой пример. Пусть теперь нам даны параллельные прямая и плоскость и проведем еще одну прямую параллельную данной прямой. Какие варианты взаимного расположения между данной плоскостью и построенной прямой могут получиться? | Прямая будет или лежать в плоскости, или будет ей параллельна. |
Попробуйте сформулировать данное свойство. | Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. |
Запишем его в тетрадь. И будем доказывать. | |
Что нам дано? | |
Что требуется доказать? | или |
Какие прямая и плоскость называются параллельными? | Непересекающиеся |
Значит, что мы можем сказать о прямой и плоскости ? | Они не пересекаются |
Что нам еще дано? | |
Какой вывод мы можем сделать из этих двух условий? | и не пересекаются (по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми) |
В начале урока мы с вами рассмотрели три варианта взаимного расположения прямой и плоскости. И, если мы получили, что и не пересекаются, то какие варианты их взаимного расположения возможны? | или |
Правильно. Теорема доказана. | |
4. Первичное закрепление | Каким образом через точку вне плоскости провести прямую, параллельную этой плоскости? Сколько решений имеет задача? | В заданной плоскости провести прямую; через данную точку и построенную прямую можно провести плоскость (следствие 1); в полученной плоскости провести прямую, проходящую через данную точку, параллельно построенной точке, она будет единственная (теорема существования и единственности параллельной прямой); последняя построенная прямая будет искомой прямой. Так как мы изначально прямую в плоскости проводили произвольно, то возможно целое множество решений. |
Можно ли построить в плоскости прямую, параллельную данной прямой, проходящей через данную точку вне данной плоскости? | Если данная прямая параллельна данной плоскости, то можно, иначе - нет |
Даны параллельные прямая и плоскость. Сколько можно провести в этой плоскости прямых, параллельных данной прямой? Как расположены между собой эти прямые? | В плоскости берем произвольную точку; через точку и данную прямую можно провести плоскость; эта плоскость будет пересекать данную плоскость по прямой параллельной данной прямой (свойство 1); так как точку мы взяли произвольную, то таких прямых мы можем построить целое множество и все они будут параллельны между собой, так как все они параллельны данной прямой. |
Может ли плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника и не совпадающая с его плоскостью, пересекать третью сторону? | Нет. Данная плоскость будет проходить через среднюю линию треугольника; по свойству средняя линия параллельна основанию; получаем, что основание будет параллельно данной плоскости (по признаку) и следовательно они не будут пересекаться. |
5. Подведение итогов урока | Сегодня мы с вами рассмотрели взаимное расположение прямой и плоскости, узнали какие прямая и плоскость называются параллельными, признак параллельности и его свойства. | |
6. Домашнее задание | | |
1)Атанасян Л.С. “Геометрия 10-11 класс”