Конспект урока: « Косинус и синус суммы и разности двух углов».

Тема урока: « Косинус и синус суммы и разности двух углов».

Цели урока:

• Разработать и закрепить вывод формул для косинуса и синуса суммы и разности двух  углов;

• Способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;

• Воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, мел.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент – 1 мин.

2. Актуализация знаний – 10 мин.

1. Устная работа – 5 мин.  (Слайды 2,3)

1).Упростить:

а)cos (3π/2 + α) =  ;       б) tg(360⁰ – α) = ;

в) sin (π – α) =  ;            г) sin( π/2 + α) =  ;

д) tg ( 2π + α) =  ;          е) cos ( π/2 – α) =  ;

ж) ctg ( π/2 + α ) = ;        з) tg ( π + α) = .    

2). Вычислите:

а)   cos 30^o =             б) – 2 tg² 45⁰ =

в) а sin 180⁰ =                     г) 2sin 30⁰ =

д) sin 135⁰ =                        е) sin 75⁰ =

ж) sin 15⁰ =                         з) cos 105⁰ = .

Чтобы вычислить sin 75⁰,  надо применить формулу синус суммы, а  sin 15⁰ формулу синус разности. Эти формулы также применяются в физике.

Задача №1  ( слайд № 4)

- 2 -

На практике часто приходиться двухфазный или трехфазный ток направлять в один проводник. При этом возникает, как показал опыт, "суммарный" переменный ток, мгновенная сила которого равна сумме мгновенных сил слагаемых токов. Точную

величину амплитуды "суммарного" тока, его частоту и фазу смещения не найти, не рассмотрев предварительно свойств  тригонометрических функций, связанных со

сложением аргументов.
При частоте гармонического тока ν = 50 Гц его круговая частота равна 2 ν, т.е. 314 1/с. Если данный процесс происходит в единой ветви, то результирующий ток, например в фазе , будет складываться из токов: i₁,  i₂,  i₃.

Задача №2 ( слайд № 5)

При переходе светового луча из одной среды в другую происходит его преломление (рис.5), т.е. отклонение от первоначального направления, причем коэффициент преломления равен отношению  sin α₁' sin α₂  ,  где α₁ – угол падения луча на границу сред, α₂ – угол отклонения. При конструировании оптических приборов приходится решать задачи подобные следующей: как надо направить луч на границу двух сред, чтобы угол падения луча превышал угол преломления на данную величину?
Если  коэффициент преломления равен n, а угол падения больше угла преломления на α^о, то отыскание искомого угла падения х сводится к решению уравнения sinx/sin(x – α) = n , которые нельзя решить без знания теорем сложения.

Тема нашего урока «Косинус и синус суммы и разности  двух углов».

3. Изучение нового материала – 13 мин. 

 1. Для начала  повторим, как найти площадь треугольника, если известны две стороны и угол между ними. ( Слайд 6)

  Рассмотрим  ∆АВС (Cлайд 6), ∟А = α;|AC| = b; |AB | = c, тогда S_∆ABC = 1/2bc sinα

2. Рассмотрим произвольный  ∆АВС ( слайд 7, 8)

Проведем высоту AD; обозначим  ∟BAD = α, ∟DАC = β;  |AB| = c, |AC| = b

S_∆ADB = 1/2 ch sinα 
S_∆ADC = 1/2 bh sinβ
S_∆ABC = S_∆ADC + S_∆ADB, где S_∆ABC = 1/2 bс sin (α + β)

получим: 1/2 bс sin (α + β) = 1/2 сh sinα + 1/2 bh sinβ, или bc sin(α + β) = ch sinα + bh sinβ

разделим обе части равенства на bc:

- 3 -

sin (α + β) = h/b sinα + h/c sin β, т.к. h/b = cosβ, h/c = cosα из прямоугольных треугольников; то

sin(α + β) = sinα · cosβ + cosα ·  sinβ

3. Выведите формулу синуса разности, косинуса суммы и косинуса разности самостоятельно, используя формулы приведения. Класс разбивается на три группы. Каждая группа получает своё задание.

а) Заменив β на – β получим:  sin(α – β) = sin (α +(-ß)) = sinα ∙ cos(-ß) + cosα ∙ sin(-ß)            

sin (α – ß) = sinα · cosβ – cosα · sinβ

б) Формула косинуса суммы аргументов может быть выведена из полученной:

cos (α + β)= sin (90^o – (α + β)) = sin ((90^o – α) – β) = sin (90^o – α) sinβ – cos (90^o – α) sinβ = cosα ·cosβ – sinα · sinβ

cos(α + ß) = cosα ∙ cosß – sinα ∙ sinß

в) cos (α – ß) = cos(α + (-ß)) = cosα ∙ cos(-ß) – sinα ∙ sin(-ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß

cos (α – ß) = cosα ∙ cosß + sinα ∙ sinß

Слайд №9.

В учебнике стр.261 – 269 найдите,  как формулируются доказанные теоремы. Зачитайте.

4.Формирование знаний – 20 мин.

1.Вычислите ( один ученик у доски, другие в тетрадях):

а) sin 75^o = sin (45^o + 30^o) = sin 45^o · cos30^o + cos 45^o · sin 30^o =

б) sin 15⁰ = sin(45⁰ – 30⁰) = sin45⁰ ∙ cos30⁰ – cos45⁰ ∙ sin 30⁰

в) cos105⁰ = cos( 60⁰ + 45⁰) =

б) Доказать, что:

sin ( + х) = – sinx 
cos ( + х) = – cosx

Самостоятельно, с последующей проверкой по слайду 10.

- 4 -

Решение:

sin ( + х) = sin   · cosx + cos   · sinx = 0 · cosx + (– 1) · sinx = – sinx 
cos ( + х) = cos   · cosx + sin   · sinx = (– 1) · cosx – 0 · sinx = – cosx

в) Вычислите: sin (x + y), если известно, что

sin x = 3/5,  0  /2 ; cos y = – 3/5,   /2

На доске решает один ученик, остальные в тетрадях.

Решение:

Oтвет: –1

2. Самостоятельная работа по вариантам – 10 мин.  (слайд 11)

            1 вариант

1. Вычислить: sin (α + β),  если   sinα =3/5; П/2

2. Вычислите:    sin 20^ocos 40^o + cos 20^o sin 40^o 

3. Вычислите синус углов:  165^о; 105^о.

4.  Упростите выражение:sin20^o+ 2sin 40^o – sin 100^o 

2 вариант

1. Вычислить: sin (α – β), если  cosα = - 4/5;   П

2. Вычислите:       cos 47^o cos 17^o + sin 47^o sin 17^o 

3. Вычислите косинусы углов:   75^о; 15^о .

4.  Упростите выражение:sin20^o+ 2sin 40^o – sin 100^o .

Консультация для 4 задания: представьте углы  20^o , 40^o и 100^o соответственно в виде (30^о – 10^о); (30^о + 10^о) и (90^о + 10^о)

Самостоятельную работу учащиеся проверяют друг у друга по готовым ответам и выставляют оценки.

- 5 -

Ответы. (Слайд 12)

 1 вариант                                2 вариант

1.  .                                        1. .

2..                                         2..

3. а)                         3.а) ;

     б) .                           б)

5.Итог урока  – 1 мин.

1) Домашнее задание. (Слайд 13)

П.9.1, 9.3; № 9.3; 9.8; 9.26(абв); 9.28(вг).

2)Подведение итогов урока .

– Какую тему изучили на уроке?
– Результаты самостоятельной работы (решение и ответы заранее подготовлены).
– Комментирование и выставление оценок.