Конспект урока геометрии по теме "Перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей" (10 класс)

10 класс ГЕОМЕТРИЯ 11.01.2024

Тема: Перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Тип: изучение нового материала.

Цель: ввести понятие перпендикулярности плоскостей; изучить признак перпендикулярности двух плоскостей.

Задачи:
Образовательные: изучение признака перпендикулярности двух плоскостей.

Развивающие: развивать у учащихся пространственное воображение.

Воспитательные: воспитывать интерес к предмету, способствовать формированию внимания, аккуратности и дисциплинированности.

Автор разработки: Попов Дмитрий Сергеевич.

ХОД УРОКА

I.Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята! Надеюсь, вы пришли с хорошим настроем на урок, потому что у нас сегодня довольно важная тема.

Учитель проводит перекличку.

II. Актуализация опорных знаний

Учитель проводит фронтальный опрос:

- Точка А лежит на ребре двугранного угла. Верно ли, что ∠ABC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру? (Ответ: нет).

- Верно ли, что ∠BAC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС лежат в гранях двугранного угла? (Ответ: нет).

- Верно ли, что ∠BAC - линейный угол двугранного угла, если лучи АВ и АС перпендикулярны его ребру, а точки В и С лежат на гранях угла? (Ответ: да).

- Линейный угол двугранного угла равен 80°. Найдется ли в одной из граней угла прямая, перпендикулярная другой грани? (Ответ: нет).

- ∠ABC -линейный угол двугранного угла с ребром а. Перпендикулярна ли прямая а плоскости ABC? (Ответ: да).

- Что называется двугранным углом? (Ответ: Двугранным углом называется фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей, не принадлежащими одной плоскости).

III. Проверка выполнения домашней работы

Учитель с учащимися обсуждают выполнение №527 (б), №530.

IV. Постановка темы и целей урока.

- Откройте тетради, запишите дату (11.01.2024) и тему урока «Перпендикулярность плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей».
V. Изучение нового материала.

- При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Углом между пересекающимися плоскостями называется линейный угол φ этого двугранного угла, который 0°

- Если φ = 90°, то плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными) (рис. 2).

- Ребята, приведите примеры взаимно перпендикулярных плоскостей.

- Ясно, что в этих случаях каждый из четырех двугранных углов, образованных пересекающимися плоскостями, прямой (рис. 2). Рассмотрим признак перпендикулярности двух плоскостей.

Теорема: Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АВ лежит в плоскости α, АВ ⊥ β, АВ ∩ α = А (рис. 3).

Доказать: α ⊥ β.

Доказательство: α ∩ β = АС, АВ ⊥ АС, так как АВ ⊥ β по условию. Проведем в плоскости βAD ⊥ AC. ∠BAD - линейный угол двугранного угла. Но ∠BAD =90°, так как ВА ⊥ β. Значит, α⊥ β. Запишите теорему и её доказательство в тетради и сделайте чертёж.

VI. Решение упражнений. Закрепление изученного материала

Учитель вызывает ученика к доске для решения задачи:

Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABCравен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4).Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение: Построим ВК ⊥ α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС. Отсюда следует, что ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника, ∠ВСК = 60°. Из ΔВСА по теореме Пифагора:   

Из ΔВКС:   

Ответ: 6√3 см.

Учитель вызывает ученика к доске для решения задачи:

Два правильных треугольника АВС и BDC расположены так, что их плоскости взаимно перпендикулярны. Найдите тангенс двугранного угла, образованного плоскостями ADC и ABC.

Д ано: ΔАВС и ΔDВС – правильные, (АВС) ⊥ (DВС).

Найти: tg(∠(АВС) ⊥ (ADС)).

Решение:

DH⊥AC, HK⊥AC, следовательно, по ТТП, DK⊥AC.

Где

Ответ: 2.

VIII. Рефлексия учебной деятельности
- Продолжите предложения:
1) Сегодняшний урок заинтересовал меня …
2) Я считаю нужным запомнить …
3) Мне надо узнать лучше о …

IX. Домашнее задание

• Решите задачу:
  На гранях двугранного угла взяты 2 точки, удаленные от ребра двугранного угла на 6 и 10 см. Известно, что одна из этих точек удалена от второй грани на 7,5 см. Найти расстояние от другой точки до противоположной грани двугранного угла.

X.Подведение итогов урока
Оценивание рабочей деятельности учащихся на уроке.