Конспект урока алгебры по теме: "Способы решения логарифмических уравнений"

УРОК АЛГЕБРЫ В 10 «А» КЛАССЕ НА ТЕМУ: «СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ».

АВТОРЫ УМК: Ш. А. АЛИМОВ, Ю.М. КОЛЯГИН И ДР.

Учитель Медведева Виктория Валентиновна, учитель математики, МБОУ СОШ 5, г. Белореченска

Тема урока: «Способы решения логарифмических уравнений»

Цели урока:

Образовательные: систематизировать знания о логарифмах, выработать умения решать логарифмические уравнения различных видов, уметь различать их и способы их решения.

развивающая: расширение математического кругозора учащихся, развитие интереса к предмету, развивать коммуникативные навыки и волевые качества личности .

воспитательная: воспитание умения принимать решение и нести за него ответственность внимания, сосредоточенности, навыков самоконтроля и взаимоконтроля, воли, упорства в достижении цели.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Здравствуйте, садитесь! Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и свойства логарифмов. (слайд № 1)

1. Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)

3. Работа по карточкам (3-4 ученика):

Карточка №1: Вычислить: а) log₆4 + log₆9 =

б) log_1/336 – log_1/312 =

Решить уравнение: log₅х = 4 log₅3 – 1/3 log₅27

Карточка №2:

Вычислить: а) log211 – log244 =

б) log1/64 + log1/69 =

Решить уравнение: log₇х = 2 log₇5 + 1/2 log₇36 – 1/3 log₇125.

Фронтальный опрос класса (устные упражнения)

Вычислить: (слайд № 5)

Сравнить числа: (слайд № 6)

1. log_½ е и log_½π;

2. log₂ √5/2 и log₂√3/2.

Выяснить знак выражения log_0,83 · log₆2/3. (слайд № 7)

4 Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log_a х =с (а 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8)

1. Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9)

log_a х = с (а 0, а≠ 1) имеет решение х = а^с.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,

• по данному логарифму и основанию определяется число,

• по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log₂ 128= х, log₁₆х = ¾, log_х 27= 3,

2^х= 128, х =16 ^¾ , х³ =27,

2^х = 2⁷, х =2 ³ , х³ = 3³ ,

х =7 . х = 8. х =3.

С классом решить следующие уравнения:

а) log₇(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log₂(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

1. Метод потенцирования. (слайд № 10)

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)0, g(х)0 , а 0, а≠ 1.

Пример:

Решите уравнение _{ } = _{ }

ОДЗ:

3 х-10; х1/3

6х+80.

3х-1=6х+8

-3х=9

х=-3

-3 1/3 - неверно

Ответ: решений нет.

С классом решить следующее уравнение:

lg(х²-2) = lg х (ответ: х=2)

1. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №11)

Пример:

Решите уравнение =log₂(6-х)

ОДЗ:

6 -х0;

х0;

х≠1;

log₂х²0;

х²0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

log₂x²= log₂(6-х)

х² = 6-х

х²+х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

С классом решить следующее уравнение:

_{ } ⁼ _{ } (ответ: х=1)

1. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12)

Пример:

Решите уравнение log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7

ОДЗ: х0

¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7

7/4 log₂х=7

log₂х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение:

_{ } + _{ }=3 (ответ: х=5/3)

1. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13)

Пример:

Решите уравнение log₂ (х +1) - log₂ (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х +10;

х-20. х1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log_{2  }= 2, откуда следует _{ }= 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 31 - верно

Ответ: х = 3.

С классом решить следующие уравнения:

а)log₅ (х +1) + log₅ (х +5) = 1 (ответ: х=0).

б)log₉( 37-12х ) log_7-2х 3 = 1,

3 7-12х 0, х

7-2х 0, х

7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;

log₉( 37-12х ) / log₃ (7-2х ) = 1,

½ log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х ) ,

log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х )² ,

37-12х= 49 -28х +4х² ,

4х²-16х +12 =0,

х²-4х +3 =0, Д=19, х₁=1, х₂=3, 3 –посторонний корень .

Ответ: х=1

1. Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)

Пример:

Решите уравнение lg²х - 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х0.

Пусть lgх = р, тогда р²-6р+5=0.

р₁=1, р₂=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 100 – верно х=100000, 1000000 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

log₆² х + log₆ х +14 = (√16 – х²)² +х²,

16 – х² ≥0 ; - 4≤ х ≤ 4;

х 0 , х 0, О.Д.З. [ 0,4).

log₆² х + log₆ х +14 = 16 – х² +х²,

log₆² х + log₆ х -2 = 0

заменим log₆ х = t

t ² + t -2 =0 ; D = 9 ; t₁ =1 , t₂ = -2.

log₆ х = 1 , х = 6 посторонний корень .

log₆ х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем .

Ответ : 1/36.

1. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)

Пример:

Решите уравнение log₄(2х-1)∙ log₄х=2 log₄(2х-1)

ОДЗ:

2х-10;

х 0. х½.

log₄(2х-1)∙ log₄х - 2 log₄(2х-1)=0

log₄(2х-1)∙(log₄х-2)=0

log₄(2х-1)=0 или log₄х-2=0

2х-1=1 log₄х = 2

х=1 х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

С классом решить следующее уравнение:

log₃х ∙log₃(3х-2)= log₃(3х-2) (ответ: х=1)

1. Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком). (слайд № 18,19)

О пределить метод решения уравнения:

4.Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3),

Литература

1. Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002

2. Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.

3. Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004

4. Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004

5. Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987

10