СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Конспект по теме "Случайные события. Вероятность. Теоремы вероятностей"

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Конспект по теме "Случайные события. Вероятность.Теоремы вероятностей" предназначен для обучащихся на дистанционном обучении. Кратко рассмотрены следующие вопросы: определение теории вероятностей, ее основных понятий, классическое определение вероятности случайного события, основные теоремы вероятности. Рассмотрены примеры решение простейших задач на вероятность.

Просмотр содержимого документа
«Конспект по теме "Случайные события. Вероятность. Теоремы вероятностей"»

Конспект по теме "Случайные события.

Вероятность. Теоремы вероятностей"

В процессе самостоятельного изучения темы обучающиеся должны

знать: понятие события, частоты и вероятности появления события, совместные и несовместные события, полная вероятность; теорему сложения вероятностей; теорему умножения вероятностей;

уметь: находить вероятность в простейших задачах, используя классическое определение вероятностей; решать задачи с применением теоремы сложения вероятностей для несовместных событий.

Случайные события. Вероятность события. Теория вероятностей – это математическая наука, которая изучает закономерность в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.

Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие. Например, бросание монеты - испытание; появление герба или цифры- событие.

Случайными называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти. Слово «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «событие». Например выстрел по цели - это опыт, случайные события в этом опыте- попадание в цель или промах.

Событие в данных условиях называются достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости- достоверное событие; выпадение 7 очков при бросании одной игральной кости – невозможное событие.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа- события равновозможные.

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему событий. Пусть А- случайное событие, связанное с некоторым опытом. Повторим опыт п раз в одних и тех же условиях и пусть при этом событие А появилось т раз. Отношение называется частотой события А.

При многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Числовая мера степени объективной возможности события- это вероятность события. Вероятность события А обозначает Р(А).

Пусть из системы n несовместных равновозможных исходов испытания m исходов благоприятствуют событию A. Тогда вероятность события А называют отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А к числу всех исходов данного испытания:P(A) = . ЕслиА – случайное событие, то m n и P(A) 1;

Эта формула носит название классического определения вероятности. Если B- достоверное (или невозможное) событие, то m=n и P(B) = 1 (m = 0,P(B) = 0). Таким образом, вероятность события заключается в следующих пределах: 0 P (A) 1.

Независимость случайных событий. Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменит вероятности события В. Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что свойство независимости взаимно. Несколько событий называют попарно независимым, если каждые два события независимы.

Суммой А + В двух событий А+В называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А- попадание при первом выстреле, или в обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то А+В- событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P (A) + P (B).

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна:

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие наступило:


Если производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли Pn(m) = Cnk·pm·qn-m, где q = 1-p.

Число m0 называется наивероятнейшим числом наступлений события А в n испытаниях и равно целой части числа (n+1)p, а при целом (n+1)p наибольшее значение достигается при двух числах: m1=(n+1)p-1 и m2=(n+1)p. 

Если р≠0 и р≠1, то число m0 можно определить из двойного неравенства

np-q ≤ m0 ≤ np+p.

Пример: В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

Решение.

Пример: Участники жеребьёвки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлечённого жетона, не содержит цифры 5.

Решение. Из чисел от 1 до 100 содержат число 5 девятнадцать чисел. Не содержит число пять – 81 число. Тогда

Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара (красного или синего).

Решение. Вероятность появления красного шара События А и В несовместимы. Теорема сложения приемлема

Пример: У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков конусный, а второй – эллиптический.

Решение. Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим, считая что первый валик – конусный, т.е. условная вероятность: Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим, считая что первый валик – конусный, т.е. условная вероятность: По теореме умножения, искомая вероятность

Пример: В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет
.
Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет
.

Пример:  В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность  .

Этот же результат можно получить по формуле
.

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании
.

Найдем вероятность   того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором — белый. Общее число исходов — совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений  . Из этого числа исходов событию   благоприятствуют   исходов. Следовательно,  .

Искомая условная вероятность

Результаты совпали.

Пример: В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два белых?

Решение. Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех испытаниях; q=1-p=1/3. Используя формулу Бернулли, получаем P4(2) = C42·p2·q2=(12/2)·(2/3)2·(1/3)2 = 8/27


Вопросы для самоконтроля

  1. Дайте определение вероятности.

  2. Запишите теоремы сложения и умножения вероятностей.

  3. Какое событие называют достоверным?

  4. В каком случае два события называются несовместимыми?

  5. Что называют суммой двух событий?

  6. Что называют произведением двух событий?

  7. Дайте определение условной вероятности.




Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!