Конспект лекции " Элементы специальной теории относительности"

Элементы специальной теории относительности.

§ 1. Постулаты Эйнштейна.

§ 2. Кинематика СТО.

§ 3. Динамика СТО.

Величайшее научное открытие начала ХХ века – теория относительности – занимает важное место среди фундаментальных физических теорий, знание которых необходимо на всех уровнях обучения. Это обусловлено основополагающей ролью теории относительности в современном естествознании и интеллектуальной глубиной её понятий.

Теорию относительности принято разделить на специальную (частную) и общую.

Специальная теория относительности (СТО) представляет собой современную физическую теорию пространства и времени. СТО часто называют также релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, - релятивистскими эффектами. Центральное место в СТО занимает идея объединения пространства и времени в единый четырёхмерный мир – пространство – время. Эта теория надёжно установлена и проведена, но к некоторым её выводам нелегко привыкнуть, поскольку с релятивистскими эффектами не приходится сталкиваться в повседневной жизни. Они проявляются при рассмотрении физических явлений, имеющих место для больших скоростей, сравнимых со скоростью света.

Общая теория относительности (ОТО) является современной теорией гравитационного поля. ОТО обобщает СТО на случай описания гравитационных явлений и представляет собой релятивистскую теорию тяготения. Её идеи приводят к понятию искривлённого пространства – времени. В настоящее время релятивистская теория тяготения наиболее плодотворно используется и развивается в связи с задачами астрофизики и космологии.

Теория относительности оказалась связанной с пересмотром фундаментальных представлений, касающихся пространства и времени, а тем самым и основ классической физики. Естественно, что пересмотр основных понятий и переход к новому их содержанию не протекали гладко – они породили споры и дискуссии, которые длились десятилетиями. К тому же всё это затронуло не только физиков, но и представителей других наук. Таким образом, к теории относительности было приковано, да и сейчас приковано, пристальное внимание . можно без преувеличения отметить, что в настоящее время теория относительности является достоянием общечеловеческой культуры. Она необходима не только узким специалистам, но и всякому образованному человеку как важный элемент его мировоззрения.

§ 1. Постулаты Эйнштейна.

Одним из основных понятий классической механики является система отсчёта, которая необходима для описания процессов, происходящих в природе. Под системой отсчёта понимает систему координат, служащую для указания положения тела ( материальной точки) в пространстве относительно тела отсчёта, вместе со связанными с этой системой часами, служащими для указания времени.

Существуют системы отсчёта, в которых свободное движение тел, то есть движение тел, не находящихся под действием внешних сил, происходит с постоянной скоростью. Такие системы отсчёта носят название инерциальных.

Если две системы отсчёта движутся друг относительно друга прямолинейно и равномерно и если одна из них инерциальная, то очевидно, что и другая тоже является инерциальной.

При формулировке основных законов классической механики – законов Ньютона – подчёркивается, что они справедливы для инерциальных систем отсчёта (ИСО). Указывается также, что все ИСО совершенно равноправны и нет никакой возможности выделить какую – либо одну из множества других. Это положение носит название классического принципа относительности Галилея. Данный принцип гласит, что во всех ИСО механические процессы происходят одинаково, то есть вид основного уравнения механики не меняется при переходе от одной ИСО к другой.

Выразим принцип относительности Галилея математически, для чего используем метод преобразования координат. Пусть - ИСО, в которой координаты материальной точки в момент времени равны а ИСО, движущаяся относительно прямолинейно и равномерно со скоростью вдоль положительного направления оси системы (рисунок 1). Отсчёт времени производится с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Очевидно, что координаты точки в системе уже будут другими.

Но между координатами точки в обеих системах существует связь, удовлетворяющая принципу относительности Галилея, а именно:

(1)

или в векторной форме:

(2)

где и - радиус – векторы точки относительно систем и , соответственно.

Соотношения (1), (2) носят название формул преобразования Галилея для координат.

Скромное равенство означает, что в классической механике ход времени не зависит от относительного движения ИСО, то есть во всех системах время течёт одинаково. Слова «сейчас», «настоящий момент» имеют абсолютный смысл, и этот факт представлялся очевидным до начала ХХ столетия.

Продифференцировав формулы (1) по времени, получим:

(3)

или в векторной форме:

(4)

что представляет собой закон сложения скоростей в классической механике.

Если ещё раз продифференцировать по времени формулы (3) и (4), мы найдём, что ускорение точки в системах и , движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, одинаково:

(5)

Но это означает, что основное уравнение механики при переходе от одной ИСО к другой не изменяется.

Ограниченность классического принципа относительности Галилея заключается в том, что он справедлив только для механических процессов и для инерциальных систем отсчёта.

Классическая механика прекрасно описывает движение макроскопических тел при малых скоростях. Однако в конце ХIX века выяснилось, что выводы классической механики противоречат некоторым опытным данным, в частности при изучении движения быстрых заряженных частиц было выявлено, что их движение не подчиняется законам механики. Далее возникли затруднения при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света. Если источник и приёмник света движутся друг относительно друга прямолинейно и равномерно, то, согласно классической механике, измеренная скорость света должна зависеть от относительной скорости движения источника и приёмника. Однако опыты А.Майкельсона показали, что скорость распространения света не зависит от движения источника света, то есть не выполняется закон сложения скоростей (4) классической механики. Эти опыты показали также, что мгновенных взаимодействий в природе не существует, и максимальная скорость в природе – это скорость распространения света в вакууме ()

Одновременно было показано противоречие между классической механикой и уравнениями электродинамики ДЖ.К.Максвелла, лежащими в основе понимания света как электромагнитной волны.

Для объяснения этих опытных данных и выхода из создавшегося положения необходимо было создать новую механику, которая объясняя эти факты, содержала бы классическую механику как предельный случай для малых скоростей. Это и удалось сделать Альберту Эйнштейну, одному из творцов современной физики.

СТО основывается на двух постулатах Эйнштейна, сформулированных им в 1905 году.

1 постулат (принцип относительности Эйнштейна):

Все явления природы происходят одинаковым образом в ИСО, то есть формулы, выражающие основные законы природы, не меняют своей формы (инвариантна) при переходе от одной ИСО к другой.

2 постулат (принцип постоянства скорости света):

Свет распространяется во всех ИСО с одинаковой скоростью, то есть скорость распространения света не зависит от скорости движения источника света

Первый постулат Эйнштейна является обобщением принципа относительности Галилея на любые физические процессы. Согласно этому постулату, все ИСО совершенно равноправны, то есть явления (механические, электрические, магнитные, оптические и другие) во всех ИСО протекают одинаково.

Согласно второму постулату Эйнштейна, постоянство скорости света – фундаментальное свойство природы, которое констатируется как опытный факт.

СТО потребовала отказа от привычных представлений о пространстве и времени, принятых в классической механике, поскольку они противоречили принципу постоянства скорости света. Потеряло смысл не только абсолютное пространство, но и абсолютное время.

Постулаты Эйнштейна и теория, построенная на их основе, установили новый взгляд на окружающий нас мир и новые пространственно – временные представления, такие, например, как относительность длин и промежутков времени, относительность одновременности событий.

§ 2. кинематика СТО.

Анализ явлений в ИСО, проведённый Эйнштейном на основе сформулированных им постулатов, выявил, что классические преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены более общими преобразованиями, удовлетворяющими постулатами СТО.

Эйнштейн показал, что в СТО преобразования Галилея, описывающие переход от одной ИСО к другой, заменяются более общими преобразованиями Лоренца, удовлетворяющими постулатам теории.

Эти преобразования были предложены Х.Лоренцом в 1904 году, ещё до появления теории относительности, как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики Максвелла.

Преобразования Лоренца для координат имеют вид (см-ите рисунок 1):

(6)

Обратные формулы, выражающие через получаются заменой скорости на (это очевидно, так как система движется относительно со скоростью ).

В преобразованиях Лоренца (6) время уже не абсолютно, как в преобразованиях Галилея, а зависит от пространственных координат и скорости движения, то есть от системы отсчёта.

Легко видеть, что при малых скоростях () преобразования Лоренца (6) переходят в классические преобразования Галилея (1). Это означает, что теория относительности не опровергает классическую механику, а включает её в себя как частный предельный случай.

При выражения (6) для и теряют физический смысл, так как данные величины делаются мнимыми. Это находится в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Невозможно даже использование системы отсчёта, движущейся со скоростью, равной , - при этом знаменатели в формулах (6) обратились бы в нуль.

Из преобразований Лоренца следует очень важный вывод о том, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной ИСО к другой, в то время как в рамках преобразований Галилея эти величины считались абсолютными, не изменяющимися при переходе от системы к системе. Кроме того, как пространственные, так и временные преобразования не являются независимыми, поскольку в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени – пространственные координаты, то есть устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, теория Эйнштейна оперирует не с трёхмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырёхмерное пространство – время.

Рассмотрим теперь основные кинематические следствия, вытекающие из преобразований Лоренца.

Сокращение продольных размеров тел. Пусть в системе вдоль оси покоится линейка (рисунок 2). Под продольными размерами мы будем понимать длину тела вдоль направления движения. Преобразования Лоренца изменяют сложившиеся представления о протяженности предметов. Длина линейки, измеренная в системе , пусть будет ( и - координаты обоих концов линейки в системе ). Найдём теперь длину линейки, измеренную в системе , движущейся со скоростью относительно системы . Для этого надо найти координаты обоих концов линейки ( и ) в этой системе в один и тот же момент времени . Имеем:

Длина линейки в системе есть Вычитая из , находим

Собственной длиной линейки называется её длина в той системе отсчёта, в которой она покоится. Обозначим её через длину же линейки в какой – либо системе отсчёта обозначим через . Тогда

(7)

Таким образом, самую большую длину линейка имеет в той системе отсчёта, в которой она покоится. Длина линейки в системе, относительно которой она движется, уменьшается (). Этот результат теории относительности называется лоренцовым сокращением длины. Оно тем больше, чем больше скорость движения.

Из второго и третьего уравнений преобразований Лоренца (6) следует, что

и

,

то есть поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех ИСО. А раз поперечные размеры тела при его движении не меняются, то объём тела сокращается по аналогичной формуле:

где есть собственный объём тела.

Замедление хода времени. определим теперь некоторый промежуток времени в системах отсчёта и . Пусть в системе покоятся часы. В качестве двух событий возьмём два события, происшедших в одном и том же месте пространства в системе (например, начало и конец полного колебания маятника). Время в системе между этими событиями есть найдём теперь время , которое прошло между этими же событиями в системе отсчёта . Имеем:

Отсюда

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным телом, называется собственным временем этого объекта. Обозначим

Тогда

(8)

Как видим, - собственное время движущегося объекта всегда меньше, чем соответствующий промежуток времени в системе . Другими словам, движущиеся часы идут медленнее покоящихся часов.

Релятивистский закон сложения скоростей. Найдём теперь формулы, связывающие скорости движущейся материальной точки в одной системе отсчёта со скоростью той же точки в другой системе.

Пусть опять система движется относительно системы со скоростью вдоль оси . Пусть есть компонента скорости материальной точки в системе , а - компонента скорости той же точки в системе . Тогда (смотрите (6)):

(9)

Аналогично можно получить преобразования и для компонент скорости и :

(10)

и

(11)

Формулы (9) – (11) определяют преобразования Лоренца для скоростей (релятивистский закон сложения скоростей).

В предельном случае для малых скоростей они переходят в классический галилеевский закон сложения скоростей (3).

В частном случае движения материальной точки параллельно оси

Тогда

причём

(12)

Если рассматривать распространение света вдоль оси то

Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.

Интервал между событиями. Любое событие характеризуется местом, где оно произошло, и временем, когда оно произошло. То есть событие, происходящее с некоторой материальной точкой, определяется тремя координатами этой точки и моментом времени, когда происходит событие.

В теории относительности из соображений наглядности пользуются воображаемым четырёхмерным пространством, на осях которого откладываются три пространственные координаты и время. В этом пространстве событие изображается точкой, которую называют мировой точкой. Движение точки в четырёхмерном пространстве протекает по некоторой линии, называемой мировой линией. Точки этой линии определяют координаты материальной точки во все моменты времени. равномерно и прямолинейно движущейся материальной точке соответствует прямая мировая линия.

Преобразования Лоренца и рассмотренные нами следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчёта разное. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в СТО означает относительность отдельных компонентов какой – то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчёта, то есть являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат. Точки этой линии определяют координаты материальной точки во все моменты времени. Равномерно и прямолинейно движущейся материальной точке соответствует прямая мировая линия.

Преобразования Лоренца и рассмотренные нами следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчёта разное. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в СТО означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчёта, то есть являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат. В четырёхмерном пространстве Эйштейна, в котором каждое событие изображается точкой, характеризуемой четырьмя координатами такой физической величиной является интервал между двумя событиями:

(13)

где - расстояние между точками обычного трёхмерного пространства, в которых эти события произошли. Вводя обозначение , интервал между двумя произвольными событиями можно представить в виде:

Интервал между двумя событиями есть инвариантная величина по отношению к преобразованию от одной ИСО к другой. Действительно, запишем выражение (13) в виде:

(14)

где

Согласно преобразованиям Лоренца (6),

Подставив эти значения в (14), после несложных элементарных преобразований получим, что

то есть

(15)

где

Есть квадрат интервала между теми же событиями в системе .

Обощая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно – временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной ИСО к другой . Инвариантность интервала означает, что, несмотря на соотносительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчёта.

§ 3. динамика СТО.

В классической механике уравнение движения имеет вид:

где импульс определяется формулой здесь скорость тела (материальной точки ), а масса. Но такое определение не может быть правильным в теории относительности, так как импульс может быть сколь угодно большим как в классической, так и в релятивистской механике; скорость же в теории относительности ограничена и не может быть больше Поэтому классическое определение импульса должно быть изменено.

Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной ИСО к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Основной закон динамики Ньютона

(16)

Оказывается также инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нём слева стоит производная по времени от релятивистского импульса:

(17)

При малых скоростях () выражение (17) переходят в классическое . При импульс обращается в бесконечность.

С учётом (17) основной закон релятивистской динамики принимает вид:

(18)

Следует отметить, что уравнение (16) внешне совпадает с основным уравнением ньютоновской механики. Однако физический смысл его другой: слева стоит производная по времени от релятивистского импульса, определяемого формулой (17). Таким образом, уравнение (18) инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца и, следовательно, удовлетворяет принципу относительности Эйнштейна.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, то есть не изменяется с течением времени.

Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая (формально переход осуществляется при ). Таким образом, классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Найдём выражение для энергии релятивистской частицы (материальной точки). Сила , действуя на частицу и вызывая её движение, совершает работу. В результате энергия частицы возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, приращение энергии частицы на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

Подставляя сюда выражение (18), получим:

Преобразовав данное выражение с учётом того, что придём к выражению

из которого следует универсальная зависимость между энергией частицы и её массой

(19)

Формула (19) называется соотношением Эйнштейна между массой и энергией. Эта очень важная формула показывает, в частности, что в релятивистской механике энергия свободной частицы не обращается в нуль при а остаётся конечной величиной, равной

(20)

Её называют энергией покоя частицы. Классическая механика энергию покоя не учитывает, считая, что при энергия покоящегося тела равна нулю.

При малых скоростях () имеем, разлагая (19) по степеням

то есть за вычетом энергии покоя получаем классическое выражение для кинетической энергии частицы.

Возводя выражения (17) и (19) в квадрат и сравнивая их, найдём следующее релятивистское соотношение между энергией и импульсом частицы:

(21)

Из выражений (17) и (19) вытекает также следующее соотношение между энергией, импульсом и скоростью частицы:

(22)

При импульс и энергия частицы обращаются в бесконечность. Это значит, что частица с отличной от нуля массой не может двигаться со скоростью света. В релятивистской механике, однако, могут существовать частицы с массой, равной нулю, движущиеся со скоростью света. Полагая в (21) или в (22) имеем для таких частиц:

(23)

Приближенно такая же формула справедлива и для частиц с отличной от нуля массой в так называемом ультрарелятивистском случае, когда энергия частицы велика по сравнению с её энергией покоя

В заключение укажем, что обычно именуют полной энергией. Это не должно приводить к недоразумениям: в не включена потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле, если таковое действует на частицы. Иногда вводят кинетическую энергию определяя её как энергию движения частицы, то есть

(24)

В силу однородности времени в релятивистской механике, как и в классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется , то есть не изменяется с течением времени.

С момента появления СТО (1905 год) прошло более ста лет. Как и любые крупные открытия, теория относительности потребовала пересмотра многих установившихся и ставших привычными представлений. Она развенчала абсолютный характер, приписывавшийся ранее целому ряду физических величин и объектов. Абсолютное время, абсолютное пространство, мировой эфир – эти незыблемые опоры, на которых держалась и развивалась классическая физика, рухнули. Оказалось, что пространство и время органически взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи – пространство – время; длина тел и длительность событий не являются абсолютными величинами, а носят относительный характер; наконец, масса и энергия связаны друг с другом, хотя они и являются качественно различными свойствами материи.

СТО не только выдержала многочисленные экспериментальные проверки, которым она подвергалась за многие годы своего существования, но и прочно вошла в технику, давно уже став инженерной наукой. Самым драматическим подтверждением релятивистского соотношения между массой и энергией было создание атомной бомбы и ядерных реакторов. На основе законов релятивистской механики проектируются и успешно работают ускорители элементарных частиц. Релятивистские соотношения широко используются при описании рассеяния и превращения микрочастиц.

Теория относительности оказала большое влияние на методологию физики. Сейчас она не столько отдельная область науки, сколько рабочий метод во всех разделах современной физики. К тому же роль СТО обусловлена не только её вкладом в физику, но и её вкладом в наше мировоззрение.

Отметим, что теория относительности – это одна из самых красивых и гармоничных физических теорий, созданных когда – либо человеческим гением. Она предстаёт перед нами и … как величайшее произведение искусства. Красота этой теории, как и всякая красота, не поддаётся анализу. Можно лишь сказать, что она кроется в неизбежности её появления, в её логической стройности и экономности структуры, а также в простоте основных исходных идей, прекрасно согласующихся с опытом. Поэтому вполне заслуженно теория относительности вызывает интерес и желание понять её.

Контрольные вопросы

1. Какие системы отсчёта называются инерциальными?

2. В чём физическая сущность классического принципа относительности

Галилея?

3. Запишите и прокомментируйте преобразования Галилея для координат.

4. В чём заключается закон сложения скоростей в классической механике?

5. Каковы причины возникновения СТО?

6. Сформулируйте постулаты Эйнштейна .

7. В чём различие принципа относительности Эйнштейна от принципа

относительности Галилея?

8. Зависит ли от скорости движения системы отсчёта скорость материального

тела? Скорость света?

9. Запишите и прокомментируйте преобразования Лоренца для координат. При

каких условиях они переходят в преобразованиях Галилея?

10. Какой вывод о пространстве и времени можно сделать на основе

преобразований Лоренца для координат?

11. Какие следствия вытекают из преобразований Лоренца для размеров тел и

длительности событий в разных ИСО?

12. Запишите и прокомментируйте релятивистский закон сложения скоростей.

13. Что называют событием? Дайте определения мировой точки, мировой

линии.

14. Как определяется интервал между двумя событиями? Докажите его

инвариантность по отношению к преобразованию от одной ИСО к другой.

15. Сформулируйте и запишите основной закон релятивистской динамики.

16. Как определяются полная энергия и импульс в релятивистской механике?

При каком условии формулы для энергии и импульса переходят в

классические формулы? Что называется энергией покоя частицы?

17. Запишите и прокомментируйте соотношения Эйнштейна между массой,

энергией и импульсом.

18. Дайте определение кинетической энергии в релятивистской механике.