Комбинаторика и лоскутное шитьё

Управление образования администрации Алнашского района

МБОУ Старо-Шудьинская основная общеобразовательная школа

КОМБИНАТОРИКА И ЛОСКУТНОЕ ШИТЬЁ

Выполнила:

ученица 5 класса

Бакаева Лилия

Руководитель:

учитель математики

Салякудинова Гульфинур

Зиннатовна

д. Старая Шудья

2016 г. СОДЕРЖАНИЕ:

1. Ведение

2. История развития комбинаторики.

3. История развития «Лоскутной техники»:

3.1. История развития «Лоскутной техники»

3.2. История развития лоскутного шитья.

3.3. Лоскутное шитье в России.

4. Методы решения комбинаторных задач.

5. Изготовление коврика на пол.

6. Заключение.

7. Литература.

1.ВВЕДЕНИЕ

«Творчество, конечно, состоит не в том,

чтобы составить бесконечные комбинации, а в

том, чтобы создавать полезные, а таких не

особенно много. Творить – это значит различать,

выбирать».

Анри Пуанкаре

Человек часто встречается с задачами, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Решая подобные задачи, приходится перебирать различные варианты, переставлять заданные элементы, комбинировать их. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Комбинаторика - раздел математики, изучающая комбинации и перестановки предметов.

Лоскутное шитьё или лоскутная техника - вид рукоделия, при котором по принципу мозаики сшивается цельное изделие из кусочков ткани (лоскутков). В процессе работы создаётся новая вещь с новым цветовым сочетанием и узором.

Актуальность:

Сегодня выбором объектов и расположением их в том, или ином порядке приходится заниматься всем. Современный человек должен самостоятельно мыслить, сопоставлять факты, уметь находить различные варианты решения проблем. Умение решать комбинаторные задачи пригодиться ученикам в разных жизненных ситуациях и на многих уроках в школе. Незаслуженно забытые изделия ручного труда в нашей стране вновь обретают свою ценность и превосходство над серийными промышленными образцами.

В народе всегда ценили ручную работу как источник творчества и эмоциональной духовности. Среди таких известных видов рукоделия, как вышивание, вязание, плетение и др., особое место занимает шитье из лоскута. Лоскутное шитье во времена экономического кризиса помогает многим людям экономить семейный бюджет. Комбинации лоскутков различной геометрической формы применяются для создания одежды и предметов интерьера. Накопление опыта решения комбинаторных задач расширяет кругозор, показывает использование комбинаторики в других предметах, быту и на практике.

Гипотеза:

Комбинаторика имеет широкую практическую направленность в лоскутной технике.

Объект исследования:

Область математики «Комбинаторика» и вид прикладного искусства «Лоскутное шитьё».

Цель:

Показать широкое применение комбинаторики в одном из видов прикладного искусства – «Лоскутной техники». Выяснить какие комбинаторные методы применяются для перебора вариантов построения комбинаций узора для коврика.

Задачи:

- подобрать и изучить литературу об истории развития комбинаторики.

- изучить историю развития «Лоскутной техники».

- изучить простые способы решения комбинаторных задач.

- провести перебор вариантов построения комбинаций цветочного рисунка при изготовлении коврика.

- изготовить домашний коврик на пол.

2. История развития Комбинаторики

С комбинаторными задачами люди имели дело ещё в глубокой древности, когда, например, выбирали наилучшее расположение воинов во время охоты, придумывали узоры на одежде или посуде. В дальнейшем появились игры, требовавшие умения планировать, рассчитывать свои действия, продумывать возможные комбинации. Приспособления для таких игр археологи находили в древних захоронениях, например, в пирамиде египетского фараона Тутанхамона (II век до н.э.). А позже появились нарды, шашки, шахматы.

Долгие века комбинаторика развивалась внутри арифметики, алгебры и геометрии. Например, древнегреческие ученые большое внимание уделяли и комбинаторике чисел – составлению и изучению магических квадратов, и геометрической комбинаторике – разрезанию фигур.

Как ветвь математики комбинаторика возникла только в XVII веке. Гражданин Франции Шевалье Де Марэ любил изобретать различные игры, играя в которые, получал очень интересные результаты. Например, однажды он придумал такую игру: бросает 4 кости, выигрывает тот, у кого на одной есть шестерка. Но с ним очень быстро перестали играть, так как он слишком часто выигрывал. В другой раз Шевалье придумал такую игру: бросает две кости несколько раз, выигрывает, если хотя бы раз выпало две шестерки. Однако вскоре он сам бросил играть, так как стал часто проигрывать. Такой исход дела очень удивил Шевалье де Марэ, и он обратился к двум крупнейшим математикам Франции того времени – Блезу Паскалю и Пьеру Ферма с вопросом, как можно объяснить эти удачи и проигрыши в игре, а также, как правильно делать ставки в таких и в аналогичных играх.

Решая эту задачу, Блез Паскаль и Пьер Ферма разработали начало двух ветвей математики: комбинаторики и теории вероятности. Впоследствии этими науками занимались многие великие математики тех времен: Готфрид Вильгельм Лейбниц, Якоб Бернулли, Леонард Эйлер и др. Немецкий учёный Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г., впервые выделил комбинаторику как самостоятельный раздел математики. Он также впервые ввёл термин «комбинато­рика».

В 50-х годах XX века интерес к комбинаторике возрос. Это связано с развитием кибернетики и дискретной математики. Возможность использовать компьютеров активизировала интерес к комбинаторным задачам.

Использование комбинаторики в настоящее время очень разнообразно. Одно из них – кодирование и расшифровка. В реальной  жизни комбинаторные  задачи решают  конструкторы при создании новой модели  механизма, агрономы при планировании размещения культур; химики при изучении  строения органических молекул. В биологии комбинаторика служит для подсчета клеточных структур ДНК и РНК, в физике – для описания свойств кристаллов.

В повседневной жизни нередко перед нами возникают про­блемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариан­тов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными.

.

3. История развития «Лоскутной техники»

3.1 ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ «ЛОСКУТНОЙ ТЕХНИКИ»

Гурама... Пэчворк.. . Квилт. .. Все это - лоскутная техника, корни которой в очень далеком прошлом. Некоторые исследователи считают, что лоскутное шитьё появилась в девятом веке. Однако, как бы там ни было, мы знаем, что «лоскутная техника» - это один из видов прикладного искусства, чрезвычайно востребованный сегодня.

Это практичное изобретение человечества было связано, прежде всего, с бедностью большей части населения, которая пыталась таким образом решить свои житейские проблемы. Изобретательницей техники сшивания из лоскутков была женщина, потому что домашними делами больше всего занимались именно они. Решая домашний вопрос - во что одеть мужа и детей, женщина додумалась до очень экономичного и оправданного действия: из лоскутков старой, вышедшей из обихода одежды, создавать новую, а также предметы домашнего обихода в виде одеял, навесов, сумок, подушек и занавесей. Многие из исследователей считают, что впервые этот метод применили англичанки; сшивая из кусочков кожи одежду. Другие утверждают, что этот вид творчества возник все-таки на Востоке и был известен в Японии и Китае много тысячелетий назад. Понятно, что в Африке, Японии или Древней Руси все это выглядело абсолютно по-разному. Но все же объединяющие моменты существуют. Например, практически во всех техниках отмечено наличие геометрического рисунка: квадрат, круг, прямоугольник, треугольник и т.д.

3.2. история развития лоскутного шитья.

Лоскутная мозаика известна очень давно. Ее применяли вместе с другими технологиями шитья, когда создавали одежду и предметы интерьера из ткани. Были найдены аппликации, сделанные 3000 лет назад. Однако лоскутная техника как самостоятельный вид декоративно-прикладного искусства начало развиваться в Англии в первой половине восемнадцатого века.

В семнадцатом веке в Англию начали привозить индийские хлопчатобумажные ткани прекрасных расцветок и узоров. Иметь в доме одеяло индийского производства, богато декорированное вышивкой или набивным рисунком, стало считаться признаком достатка. Экономные хозяйки, выкроив из дорогого ситца одежду, стали использовать его остатки для других изделий. Так, яркие элементы узора ткани шли на аппликации: их нашивали на льняные или шерстяные полотна. А из мелких лоскутков разноцветных тканей создавали единое полотно по принципу мозаики. Таким образом, лоскутная техника первоначально возникла как способ изготовления рукодельницами модных текстильных предметов интерьера (например, парадных одеял) в домах без большого достатка. Этот вид рукоделия вместе с переселенцами попал в Америку, и там лоскутная техника постепенно стала национальным видом декоративно-прикладного искусства. За последние два столетия американские мастерицы разработали множество прекрасных узоров, ставших традиционными, и выработали определенные технологии изготовления лоскутных изделий. Любопытно, что лоскутная техника особенно развита в странах, где населению свойственна психология первопоселенцев: сочетание бережливости с любовью к обустройству и украшению дома. Естественно, что в Европе работой с тканями больше занимались женщины, поэтому и в современном декоративно-прикладном искусстве лоскутной техники преобладают женщины – мастерицы и художницы.

3.3. лоскутное шитье в россии

Первоначально это было не столько лоскутное шитье в современном понимании этих слов, сколько перешивание, подновление одежды и предметов убранства жилища из лоскутков, отслуживших свой срок вещей. Старые вещи разрезались, лоскутки сортировались. Все, что годилось для шитья, шло на лоскутные одеяла, занавески. А из очень поношенного плели дорожки, шили махровые коврики – половички. Поскольку «мелкоте» - так на Руси называли мальчиков и девочек до шести – восьми лет – новый одежды не полагалось, то русские крестьянки перешивали старые рубашки, на рубашечки для самых маленьких. Да и одежды более взрослых детей шили преимущественно из старой одежды родителей или просто давали донашивать свою. Такая традиция была распространена не только в бедных семьях, но и в зажиточных и даже богатых. Сейчас это может показаться странным, но если учесть, что вся одежда состояла только из натуральных волокон и шилась натуральными нитками, то становится понятным, почему вещи, послужившие одному поколению, не только не выбрасывались, но и могли пригодиться детям и внукам. Следует сказать, что до восемнадцатого века одежда на Руси была в основном домотканой, то есть изготавливалась из полотна, сотканного на ткацком станке, который был почти в каждой избе. Долгая и трудоемкая работа от выращивания льна, до производства ткани не позволяла расточительно относиться к сотканному полотну. Поэтому сам крой народной одежды и прием ее шитья предполагали безотходное использование материала. Все это давало бережливому и расчетливому крестьянскому уму толчок к лоскутному творчеству, позволяя находить все новые и новые способы использования старых вещей. Однако с появлением первых фабричных ситцев в восемнадцатом веке, а также благодаря изобретению швейной машины, появились новые возможности для развития и существенного обогащения лоскутной традиции. Дешевые, практичные, красочные ситцы охотно использовали не только в крестьянских, но и в городских домах. Из них шили одежду, а из разноцветных остатков ситцев лоскутные одеяла. В двадцатом веке, во времена кризисов, падения производства и воин, лоскутное шитье помогало многим людям выжить, сохраняя семейный бюджет и обеспечивая самым необходимым.

В послевоенное время традиции лоскутного шитья отошли на второй план, уступая место промышленному производству одежды и предметов быта. Продолжали заниматься лоскутным шитьем лишь редкие энтузиасты – художники в городах, да в деревнях по старинке продолжали шить лоскутные одеяла и плести разноцветные половички. Музеи России начинают собирать и изучать лоскутное шитье как вид современного искусства. С этого времени появляется и постепенно растет интерес к этому виду художественного творчества.

Сейчас лоскутным шитьем занимаются самодеятельные мастера и художники – профессионалы. Они увлеченно трудятся над созданием лоскутных одеял, черпая вдохновение в национальном искусстве. Современное лоскутное шитье тесно переплетается с народной швейной традицией, а через нее культурным наследиям прошлого. Лоскутные работы в русском стиле отличаются особой яркостью, весельем красок. Для них характерно многоцветье, гармоничное сочетание пёстрого с пёстрым, а также умелое использование в одном изделии тканей разных фактур. Во многих городах России образуются курсы любителей лоскутного шитья, проводятся встречи, фестивали, совместные акции, реализуются международные проекты.

4. Методы решения КомбинаторныХ задач

В повседневной жизни нередко перед нами возникают про­блемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариан­тов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число. Такого рода задачи называют комбинаторными

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам .

Обычный вопрос в комбинаторных задачах – это «Сколькими способами…?» или «Сколько вариантов…?»

По характеру получаемых соединений комбинаторные задачи можно разделить на 3 группы:

1. Если соединения отличаются друг от друга лишь порядком вхо­дящих в них элементов, то это перестановки.

2. Если соединения отличаются друг от друга хотя бы одним элементом либо состоят из одних и тех же, но расположенных в раз­ном порядке элементов, то это размещения.

3. Если соединения отличаются составом, но не порядком эле­ментов, то это сочетания.

Комбинаторные задачи можно решать несколькими способами: методом перебора, перестановок, использованием определенных правил комбинаторики и с помощью построения графов, таблиц и так называемого «дерева вариантов».

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7 ?

Решение. Для того чтобы не пропустить и не повто­рить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7:

11,14,17,41,44,47,71,74,77.

Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел.

Задача 2. «Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что они в записи числа не повторяются?» Сначала, например, можно перечислить все двузначные числа, у которых цифра десятков – 7 : 74, 75. Затем записать все двузначные числа, начинающиеся с цифры 4 : 47, 45. И, наконец, все двузначные числа, у которых цифра десятков равна 5 : 57, 54. Таким образом, из цифр 7, 4, и 5 можно составить 6 двузначных чисел при условии, что цифры в записи числа не повторяются.

Эти обе задачи нам знакомы из начальных классов. А решили мы их методом перебора.

Вернемся к первой задаче. Теперь для её решения построена специальная схема, которая называется «дерево вариантов».

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак * изображает корень дерева, ветви дерева — различные варианты решения. Чтобы получить дву­значное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для этого есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7. Затем надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры прове­дено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел.

Решим теперь первую же задачу составлением таблицы 3х4.

Решение этой же задачи с помощью графов выглядит так.

5. Изготовление коврика

В каждом доме найдутся лоскутки ткани, которые остались после пошива чего-нибудь и, конечно же, лоскутки старой, вышедшей из обихода одежды, постельного белья. Я решила сшить из таких лоскутков необычный коврик для пола. Мой коврик будет состоять из лоскутков круговой формы, так как недавно на уроке математики изучили тему «Окружность и круг». Мне стало интересно, сколькими способами я могу составить рисунок для будущего коврика.

С помощью мамы подобрала исходный материал. Нашли 6 лоскутков различных расцветок. Условно назовём их так: розовый, голубой, синий, пёстрый, светлый и коричневый. Сначала приготовила из плотного картона выкройки двух размеров круговой формы (см. рис1). Я взяла одну выкройку радиусом 4 см, а другую радиусом 8 см. Это важно, радиус большого круга должен быть в два раза больше. Далее вырезала из лоскутков тканей с помощью большой выкройки круги (см. рис.2). Их получилось больше 30. А маленьких кружочков нужно столько, сколько получились больших кругов из лоскутков.

рис.1 рис.2

Следующий шаг заключается в том, что каждый большой круг, чуть отступая от края, намётывается крупными стежками и немножко прособирается. Далее во внутрь круга в центр располагаем маленький картонный круг, намёточную нить сильно стягиваем с двух концов и

завязываем в тугой узел. Получаются вот такие красивенькие заготовки для коврика (см. рис. 3).

рис.3 рис.4

Следующий этап работы творческий. Из семи кружочков можно образовать цветочек (см. рис. 4). Так как у меня 6 видов кружочков, то в центр можно поставить любой из них. Сначала я в центр цветочка поставила пёстрый круг. Из остальных пяти видов кружочков образуются 5 цветочков: светлый, коричневый, голубой, синий и розовый. Потом поменяла пёстрый круг в центре цветочка на розовый круг. Опять получаются 5 новых цветочков. Комбинируя круги таким образом, я получила всего 30 вариантов образования цветочков.

Далее передо мной стояла задача: как же из этих цветочков собрать коврик, не испортив их. Их всего 6. Меня осенила мысль. Если в центре одного цветочка один кружок, а вокруг 6 кружочков, то и коврик можно собирать в виде цветка, но в центр располагая тоже цветок какого-то цвета, а вокруг расставив ещё 6 цветочков. Но у меня не хватает заготовок. Я взяла ещё один лоскуток и сделала дополнительные заготовки золотистого цвета. В итоге 7 комплектов заготовок (см. рис 5) . Если в центр каждого цветочка поставить любой из оставшихся кружочков, то образуются всего 7 цветочков (см. рис 6).

рис.5 рис.6

Следующий шаг. Расположила в центре коврика синий цветок, а остальные 6 цветочков расставила по кругу так, чтобы образовалось одно целое полотно в форме цветка из 6-ти цветочков-лепестков (см. рис.7). Добавила по углам ещё по два кружочка (см. рис. 8) и получила коврик шестиугольной формы.

рис.7 рис.8

рис.9

6.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работая над этим проектом, я расширила свои знания о комбинаторике и лоскутной технике. Я рассмотрела, как можно комбинировать рисунок из нескольких лоскутков разного цвета геометрической формы. Я приобрела практический опыт решения комбинаторных задач при изготовлении коврика шестиугольной формы из круглых лоскутков разного цвета.

Рассмотрев использование комбинаторики в одном из видов прикладного искусства – «лоскутной технике», мы показали практическую значимость комбинаторики как области математики. Таким образом, мы подтвердили гипотезу: комбинаторика – это раздел математики, который имеет широкую практическую направленность в лоскутной технике.

Я надеюсь, что моя работа заинтересует учащихся, поможет развитию их кругозора, мышления, будет способствовать развитию творчества и умению решать комбинаторные задачи в разных ситуациях в жизни.

7. ЛИТЕРАТУРА

1. Айгенер М. Комбинаторная теория. М.:Мир,1982.

2. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразовательных организаций / под ред. С. А. Теляковского. – М. Просвещение,2014.

3. Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе// Математика.-2004.-№31.

4. Семеновых А. Комбинаторика //Математика. – 2004- №15.

5. Энциклопедия для детей. Т.11.Математика / Глав. ред, М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. – 688 с.: ил.

6. Интернет – ресурсы.

11