Ключевые задачи по теме "Четырехугольники"

КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»

/ 1= / 2. 2) ADIIBC= / 1= / 3 (накрест лежащие) . 3) Тогда / 2 = / 3 = ∆ АВК – равнобедренный. " width="640"

ЗАДАЧА 1

Доказать: биссектриса угла отсекает от него равнобедренный треугольник.

Док-во: 1) А K – биссектриса / BAD= / 1= / 2.

2) ADIIBC= / 1= / 3 (накрест лежащие) .

3) Тогда / 2 = / 3 = ∆ АВК – равнобедренный.

/ 1+ / 2=90 2) / АКВ=180-( / 1+ / 2)=90 3) Аналогично доказывается для остальных углов. Все углы – прямые. 4) ABCD – прямоугольник. " width="640"

ЗАДАЧА 2

Доказать: биссектрисы внутренних углов параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Док-во:1) / А+ / В=180. Биссектрисы делят углы пополам = / 1+ / 2=90

2) / АКВ=180-( / 1+ / 2)=90

3) Аналогично доказывается для остальных углов. Все углы – прямые.

4) ABCD – прямоугольник.

BK I BC= / 1+ / 3=90. ∆ BMC - прямоугольный = / 2+ / 3=90 3) / 1+ / 3= / 2+ / 3= / 1= / 2 б) 1) Опустим высоты из вершины / А. 2) / К = / М=90= / 1+ / 3=180, / 2+ / 3=180 3) / 1+ / 3= / 2+ / 3= / 1= / 2. " width="640"

ЗАДАЧА 3

Док-ть: угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу при соседней вершине.

Док-во: a) 1) Опустим высоты из вершины / В.

2) ВК I AD, BCIIAD=BK I BC= / 1+ / 3=90.

∆ BMC - прямоугольный = / 2+ / 3=90

3) / 1+ / 3= / 2+ / 3= / 1= / 2

б) 1) Опустим высоты из вершины / А.

2) / К = / М=90= / 1+ / 3=180, / 2+ / 3=180

3) / 1+ / 3= / 2+ / 3= / 1= / 2.

2) MNIIAC, PKIIAC= MNIIPK. 3) MN= ½AC, PK=½AC= MN=PK 4) MNPK – параллелограмм(по 1 признаку) " width="640"

ЗАДАЧА 4

Док-ть: середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Док-во: 1) M,N,P,K - середины сторон ,

MN, PK – средние линии =

2) MNIIAC, PKIIAC= MNIIPK.

3) MN= ½AC, PK=½AC= MN=PK

4) MNPK – параллелограмм(по 1 признаку)

АВ=СК = СМ= ½ АВ. " width="640"

ЗАДАЧА 5

Док-ть: медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Док-во: 1) Продлим СМ – медиану на ее длину. МК=СМ. СК и АВ – диагонали, пересекаясь делятся пополам и / С=90, тогда САКВ – прямоугольник.

2) Диагонали прямоугольника равны =

АВ=СК = СМ= ½ АВ.

AO – медиана ∆ ABD, BM – медиана ∆ ABD 2) АЕ:ЕО=2:1= AE=2OE, AO=OC=AE=EF=FC. " width="640"

ЗАДАЧА 6

Дано: ABCD – параллелограмм, М и К –середины сторон AD и CD .

Док-ть: ВМ и ВК – делят диагональ АС на три равные части.

Док-во: 1) BO=OD=AO – медиана ∆ ABD,

BM – медиана ∆ ABD

2) АЕ:ЕО=2:1= AE=2OE, AO=OC=AE=EF=FC.