"Кейс-технологии в преподавании математики и физики"

Кейс 3

Применение производной при решении биологических задач

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции. Производная в биологии – это скорость размножения колонии микроорганизмов, скорость роста численности популяции. Биологический смысл производной. Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x(t).  Средняя скорость размножения или, как принято говорить, средняя производительность жизнедеятельности популяции это  в момент времени t это y ‘ = P‘ (t) = x ‘ (t)

Изучите ситуацию:

Кролики в отсутствие естественных хищников приносят большой вред, выедая растительность, повреждая посевы и портя угодья своими норами. Так, на некоторых островах Тихого океана кролики съели растительность, что вызвало эрозию почвы и разрушение прибрежной зоны, где гнездились морские птицы.

Однако, наибольший ущерб вызвало распространение кроликов в Австралии, куда они были завезены в XVIII веке. В 1859 году поселенец Том Остин, живший в штате Виктория, выпустил на волю 24 кролика, они расплодились, и к 1900 году их численность в Австралии уже оценивалось в 20 млн. голов. Кролики поедают траву, составляя пищевую конкуренцию овцам и крупному рогатому скоту. Ещё больший ущерб они наносят аборигенной фауне и флоре Австралии, поедая реликтовую растительность и вытесняя местные виды, которые не выдерживают конкуренции с быстро плодящимися кроликами. В качестве мер борьбы с кроликами используется отстрел, отравленные приманки; кроме того, в Австралию были завезены европейские хищники — лисица, хорёк, горностай, ласка. Местами в Австралии устанавливаются сетчатые загородки с целью предотвратить заселение кроликами новых районов. Наиболее удачным способом борьбы с этими вредителями оказалась «бактериологическая война» 1950-х гг., когда кроликов попробовали заражать острой вирусной болезнью — миксоматозом, эндемичной для Южной Америки. Первоначальный эффект был очень большим, во многих областях Австралии вымерло до 90 % всех кроликов. У выживших особей выработался иммунитет. Проблема кроликов до сих пор остро стоит в Австралии и Новой Зеландии.

Ответьте на вопросы:

Пусть популяция кроликов в Австралии в момент времени t (в годах) насчитывает X(t) голов. X(t)=24+100000t+10000t^2.

1. Как найти скорость размножения популяции кроликов в любой момент времени?

2. Определите скорость роста популяции кроликов через 40 лет к 1900 году.

Вывод.