Исследовательская работа учащихся на тему "Многогранники: тысяча граней геометрической красоты"

Введение

В огромном саду геометрии

каждый найдет букет себе по вкусу.

Д. Гильберт

Окружающий нас мир полон изумительно красивых и сложных фигур. Мы создаем новые художественные, промышленные и архитектурные формы. Геометров всегда интересовали фигуры, с помощью которых можно описать природные объекты или создать новые искусственные предметы. И уже не одну тысячу лет математики сталкиваются с определенными геометрическими фигурами. Среди них особое место занимают многогранники – фигуры особого очарования с богатой родословной. Многогранники – один из многих видов геометрических фигур, которые окружают нас. Они привлекают внимание не только геометров, но и кристоллографов, архитекторов, художников, скульпторов, ювелиров …

Мир многогранников очень разнообразен. Но в школьном курсе геометрии раздел «Многогранники» недостаточно полно представлен. Тема «Виды многогранников» сложна для изучения в виду отсутствия доступного для воспроизведения иллюстративного материала. Всё это не отражает в полной мере знания и умения учащихся о геометрических фигурах и их видах. Этим и обусловлен выбор темы.

Цель исследования: показать красоту и разнообразие видов многогранников, изучить, как форма многогранника нашла приложение в науке и архитектуре.

Задачи:

1. изучить литературу по данной теме;

2. ознакомиться с историей изучения многогранников;

3. узнать виды многогранников и их математические характеристики;

4. изучить применение многогранных форм в науке и архитектуре;

5. сделать модели многогранников.

Предмет исследования: многогранники.

Объект исследования: выпуклые и звездчатые многогранники.

Изучение данной темы очень актуально. Зародившаяся ещё в Древней Греции (а может быть, и того раньше) теория многогранников переживает ныне период нового расцвета. Этот интерес к древним многогранникам в значительной степени объясняется новыми применениями, которые получила теория (выпуклых) многогранников в математической экономике и в имеющий в наши дни чисто прикладной характер теории графов. Еще один импульс изучению многогранников дала компьютерная графика и, в частности, вычислительная геометрия.

Изучая литературу по теме, я пришла к выводу, что имеется обширный, но разрозненный материал в виде отдельных брошюр или статей в журналах «Квант», «Наука и жизнь» и др… Поэтому тема требует дальнейшего изучения.

1. История изучения многогранников

1.1. От древнейших времен до Средневековья

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах (рис. 1), созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

Рис. 1. Неолитические многогранники

Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды (рис. 2).
Великая пирамида в Гизе является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Над её сооружением трудились ежедневно около 100 000 человек в течение 20 лет.

Рис. 2. Египетская пирамида

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

Еще одним крупным учёным той эпохи был Архимед, живший в Сиракузах, где он был советником царя Герона. Архимед – один из немногих учёных античности. Он был убит, когда римляне взяли Сиракузы, при осаде которых техническое искусство Архимеда было использовано защитниками города. Архимед был уникальным учёным – механиком, физиком, математиком. Он занимался изучением правильных многогранников, но, убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноимённые многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число рёбер. Получились так называемые равноугольные полуправильные многогранники. До нас дошла работа самого учёного, которая называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название тела Архимеда.

К сожалению, в Средневековье интерес к геометрии в Европе значительно снизился: с художественной точки зрения можно выделить только полуправильные многогранники в Аахенском соборе (Германия, 1170 г.). Однако исследования многоугольников и многогранников, выполненные в ту эпоху арабами, а также приближенные представления более сложных фигур с помощью многогранников поистине удивительны. Арабы провели большую работу по переводу и распространению как греческих книг, так и трудов, созданных на Востоке, а в X веке Абу – л – Вафа занимался изучением сферических многогранников.[6]

1.2. Многогранники в эпоху Возрождения

Многие художники разных эпох и стран испытывали постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники Возрождения стремились найти опирающиеся на опыт науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяют художнику воссоздавать на плоскости трехмерное пространство, добиваться впечатления рельефности предметов. Для некоторых мастеров Возрождения многогранники являлись просто удобной моделью для тренировки мастерства перспективы. Другие восхищались их симметрией и лаконичной красотой. Третьих, вслед за Платоном, привлекали их философские и мистические символы.

В эпоху Возрождения произошло слияние трех течений, что упростило изучение многогранников. С одной стороны, с возвратом интереса к Античности стало уделяться особое внимание этим геометрическим фигурам. С другой стороны, с распространением математической перспективы впервые стало возможным «увидеть» эти фигуры на рисунках, и они стали изучаться более подробно.

Среди крупнейших мастеров Возрождения, часто изображавших и глубоко изучивших геометрию многогранников можно назвать Пьеро делла Франческа (около 1420-1492 гг.). О жизни и личности Пьеро делла Франческа, гениального художника, серьезного теоретика искусства и выдающегося геометра сохранилось мало достоверных сведений. Известно, что он родился в семье ремесленника в небольшом городе Борго-Сан-Сеполькро в Умбрии, учился во Флоренции, затем работал в ряде городов Италии, в том числе в Риме. Творчество Пьеро делла Франческа вышло за рамки местных живописных школ и определило искусство итальянского Возрождения в целом. Однако немногие знают, что делла Франческа был выдающимся математиком, внесшим, в частности, существенный вклад в теорию многогранников.

При жизни он был непререкаемым авторитетом в геометрии и науке о перспективе. Однако после смерти имя делла Франческа-ученого было на долгое время предано забвению. Во многом это произошло из-за того факта, что, по-видимому, сразу же после смерти художника Лука Пачоли опубликовал большую часть его работ в своей книге (без ссылок на авторство делла Франческа). К счастью, в начале XX века были обнаружены оригиналы трех, считавшихся утерянными, математических рукописей делла Франческа (сейчас они находятся в Библиотеке Ватикана). После пяти веков забвения слава великого математика своего времени вернулась к художнику. В настоящее время доподлинно известно, что именно Пьеро делла Франческа был первым из мастеров Возрождения, открывшим (не зная, что это уже было сделано Архимедом) и подробно описавшим архимедовы тела, в частности пять усеченных платоновых тел. В его рукописи «О пяти правильных телах» («Libbelus de quinque corporibus regularibus»), датированной 1480 г., обнаружено старейшее из дошедших до наших дней изображений усеченного икосаэдра.

В городе Урбино жили и работали два автора, которые уделяли огромное внимание изучению многогранников: Пьеро делла Франческа и Лука Пачоли. Исследование многогранников, изложенное Пьеро делла Франческа в его «Трактате об абаке» и приведенные им примеры, Пачоли использовал в «Сумме арифметики».

Рис. 3. Портрет Луки Пачоли кисти Я. Барбари.

Несмотря на различные подходы этих авторов и возможный плагиат, обе книги объединяет великолепное качество иллюстраций. Всё в работе Пьеро делла Франческа указывает на то, что их выполнил он сам, а поистине великолепные иллюстрации в труде «О божественной пропорции» сделал Леонардо да Винчи. Одна из них хранится в Национальной библиотеке Испании в Мадриде. Позднее, книга «О божественной пропорции» была напечатана (1509 г.). Это издание содержит гравюры, выполненные на основе рисунков Леонардо. Пачоли включил «Книгу о пяти правильных телах» в качестве приложения к этому изданию.

Рис. 4. Изображение Леонардо да Винчи
усеченного икосаэдра методом
жестких ребер в книге Л. Пачоли
«Божественная пропорция».

Рис. 5. Изображения Леонардо да Винчи додэкаэдра методом жестких ребер (а) и методом сплошных граней (б) в книгеЛ. Пачоли «Божественная пропорция».

В итоге многогранники стали входить в моду среди итальянской знати эпохи Возрождения. Дворяне собирали коллекции многогранников, которые изготавливались в столярных мастерских под присмотром умелых математиков (порой и самого Пачоли). В конце XV — начале XVI веков в северной Италии было очень популярно искусство интарсии (intarsia) — особого вида инкрустации, мозаики, собранной из тысяч мелких кусочков различных пород дерева. Так, стены домов и двери деревянных шкафов часто украшались мозаиками с изображением многогранников, в которых использовался так называемый тромплей, обман зрения: создавалось впечатление, что дверцы шкафов полуоткрыты, а внутри них лежат разные предметы, книги и геометрические фигуры.

Рис. 6. Интарсии работы Фра Джовани да Верона, созданные для церкви Santa Maria in Organoв Вероне.

В инкрустациях, выполненных Фpa Джованни да Верона для ризницы церкви Санта-Мария-ин-Органо в Вероне, очевидно, прослеживается влияние рисунков Леонардо из книги «О божественной пропорции». Нет никаких сомнений, что Фра Джованни был знаком с текстом Пачоли.

В эту эпоху в работах художников помимо правильных и полуправильных, или архимедовых, многогранников начинают появляться другие геометрические фигуры — конусы, призмы и ограненные сферы. Ограненные сферы, которые встречаются в книге «О божественной пропорции» и в инкрустациях Фра Джованни да Верона, можно вписать в идеальную сферу, которая, в свою очередь, будет описывать все ограненные сферы одного радиуса.

Основное отличие между средневековым искусством (а также искусством предшествующих эпох) и искусством Возрождения заключается в том, что в живопись было введено третье измерение. Художники той удивительной эпохи стремились покончить со средневековым мистицизмом и трагическими религиозными настроениями и посмотреть на мир глазами человека, впитавшего достижения искусства и философии античной Греции. Все это привело к тому, что в живописи возникло новое направление — реализм, целью которого было изобразить природу и людей так, чтобы передать трехмерность реального мира. Древнегреческая геометрия не могла предложить какого-либо решения этой задачи. Ни один раздел геометрии Евклида не содержал указаний на строгий метод, позволяющий передать трехмерную реальность на плоскости. Любопытно, что никто из математиков не задавался этим вопросом, и, как следствие, решение задачи (некая «оптическая» система изображения) должно было возникнуть в рамках самой живописи.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571-1630 гг.) пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера (рис. 7).

Рис. 7 Модель Солнечной системы по Кеплеру

Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо). Вклад Кеплера в теорию многогранника - это, во-первых, восстановление математического содержания утерянного трактата Архимеда о полуправильных выпуклых однородных многогранниках. Еще более существенным было предложение Кеплера рассматривать невыпуклые многогранники со звездчатыми гранями, подобными пентаграмме и последовавшее за этим открытие двух правильных невыпуклых однородных многогранников - малого звездчатого додекаэдра и большого звездчатого додекаэдра.

1.3. Изучение многогранников с XVIII века до наших дней

В 1700 – 2000 годы главным стимулом интереса к многогранникам стало не искусство, а математика. Вначале Рене Декарт (1596 – 1650гг.) доказал, что сумма угловых дефектов при вершинах многогранника (разностей между 360⁰ и суммой углов между ребрами каждой грани, сходящейся в рассматриваемой вершине) для всех выпуклых многогранников одинакова и равна 720⁰.

Следующая формула, сыгравшая огромную роль при изучении многогранников, была открыта великим Леонардом Эйлером (1700 – 1783 гг.). Знаменитая формула Эйлера Г+В=Р+2 (сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2) выполняется для всех выпуклых многогранников. Она позволила подойти к изучению многогранников с новой стороны (см. п. 2.2).

Создатель начертательной геометрии Гаспар Монж (1746 – 1818 гг.), подобно художникам Возрождения, использовал многогранники в качестве идеальных моделей при работе над своей теорией. Результаты Огюстена Луи Коши (1789 – 1857 гг.), принёсшие ему славу великого математика, относятся в основном к математическому анализу, алгебре, математической физике, механике. Его исследования по геометрии могли бы остаться в тени его достижений в этих областях, если бы не работа "О многоугольниках и многогранниках", опубликованная в 1813 году. В этой работе была доказана знаменитая теорема о выпуклых многогранниках (см. п. 2.2).

Эжен Шарль Каталан (1814 – 1894 гг.) исследовал многогранники, двойственные архимедовым телам, и с их помощью открыл так называемые каталановы тела (см. приложение 3). Ронделе опубликовал развертки правильных многогранников на плоскости, (1812). Жозеф Бертран в 1848 году описал различные группы звездчатых многогранников, а великий французский математик Анри Пуанкаре (1854 – 1912 гг.) получил новые доказательства и обобщения для формулы Эйлера, открыв новые подходы к изучению многогранников.

Выдающийся математик Давид Гильберт (1882 – 1943 гг.) в своем знаменитом выступлении в Париже в 1900 году в числе 23 математических проблем XX века упомянул и задачи о многогранниках. Например, он поставил такую задачу: можно ли разрезать многогранники равного объема на конечное число равных частей – многогранников? Макс Ден (1878 – 1952 гг.) доказал, что нельзя. Гарольд Скотт Макдональд Коксетер (1907 – 2003 гг.) ввел новые понятия, обобщения и многомерные расширения многогранников, став одним из ведущих специалистов по теории политопов¹. В 1938 году он привел полное описание 59 икосаэдров, изучив всевозможные построения звездчатых многогранников, и совместно с Джефри Миллером открыл 12 новых однородных многогранников.[6]

Интерес к многогранникам в математике сохранялся на протяжении всего XX столетия. В начале нынешнего столетия теория многогранников переживает период нового расцвета. Этот неожиданный «взрыв» интереса к древним многогранникам в значительной степени объясняется новыми применениями, которые получила теория выпуклых многогранников в математической экономике и в имеющий в наши дни чисто прикладной характер теории графов.

Еще один импульс изучению многогранников дала компьютерная графика и, в частности, вычислительная геометрия. Благодаря своей геометрической простоте многогранники прекрасно подходят для тестирования программ для работы с трехмерной графикой или для приближенного построения желаемых фигур. Современные программы и приложения позволяют не только изображать многогранники, но и перемещать их, строить сечения, пересекать с другими фигурами и создавать геометрические композиции. Подобные программы и приложения используются в дизайне и при создании всевозможных изображений и виртуальных реальностей, охватывающих самые разные области, начиная от молекулярной химии и заканчивая видеоиграми и спецэффектами для кино.

2.Многогранники: тысяча граней геометрической красоты

2.1. Виды многогранников

2.1.1. Правильные многогранники (тела Платона)

Главная причина, по которой изучают правильные многогранники, не изменилась со времен Пифагора и заключается в том, что эти многогранники кажутся нам привлекательными.

Гарольд Коксетер

Многогранник называется правильным, если: во-первых, он выпуклый; во-вторых, все его грани – равные друг другу правильные многоугольники; в-третьих, в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер; и, в-четвертых, все его двугранные углы равны.

Возникает вопрос: сколько же существует правильных многогранников? На первый взгляд ответ на этот вопрос очень простой – столько же, сколько существует правильных многоугольников. Однако это не так. В «Началах Евклида» мы находим строгое доказательство того, что существует только пять выпуклых правильных многогранников - ни больше, ни меньше, а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны или правильные пятиугольники (тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, икосаэдр и додекаэдр).

Названия правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого «тетраэдр», «октаэдр», «гексаэдр», «додекаэдр», «икосаэдр» означают: «четырехгранник», «восьмигранник», «шестигранник», «двенадцатигранник», «двадцатигранник». Этим красивым телам посвящена XIII – я книга "Начал" Евклида.

Все правильные многогранники получили название Платоновых тел, так как они занимали важное место в философской концепции Платона (427-347 годы до н.э.) об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или «стихии». Тетраэдр символизировал огонь, так как его вершина устремлена вверх; икосаэдр - воду, так как он самый «обтекаемый»; куб - землю, как самый «устойчивый»; октаэдр - воздух, как самый «воздушный». Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе «все сущее» или «Вселенский разум», символизировал все мироздание, считался главным.

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией:

Тетраэдр – это четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников (рис. 8-а). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников. Куб или правильный гексаэдр - это правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами (рис. 8-б). Куб, получается, если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три. Октаэдр – это восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников (рис.8-в). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Икосаэдр – это двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками (рис. 8-г). Додекаэдр – это двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник (рис. 8-д). Он основан на использовании следующего правильного многоугольника – пятиугольника (пентагона).

а) б) в)

г) д)

Рис. 8 Тела Платона (правильные многогранники)

2.1.2. Полуправильные многогранники (тела Архимеда)

Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов (этим они отличаются от платоновых тел, грани которых - правильные многоугольники одного типа). Открытие тринадцати полуправильных выпуклых многогранников приписывается Архимеду (ок. 287 – 212 г. до н. э.), впервые перечислившего их в не дошедшей до нас работе. Ссылки на эту работу имеются в трудах математика Паппа. Теорией этих тел занимался также Кеплер. Относительно недавно (в конце 50-х - начале 60-х годов XX века) несколько математиков практически одновременно, независимо друг от друга указали на существование еще одного, ранее неизвестного полуправильного выпуклого многогранника - псевдоромбокубоктаэдра. Однако не все специалисты согласны с причислением этого многогранника к архимедовым телам.

Множество архимедовых тел можно разбить на несколько групп. Первую группу составляют пять многогранников, которые получаются из пяти платоновых тел в результате их усечения. Усечением в данном случае называется удаление частей многогранника, расположенных около вершины, вместе с самой вершиной. Для платоновых тел эту процедуру можно провести так, что и получающиеся новые грани, и остающиеся части старых граней будут правильными многоугольниками. Так могут быть получены пять архимедовых тел: усеченный тетраэдр (рис.9-а), усеченный куб (рис. 9-б), усеченный октаэдр (рис. 9-в), усеченный додекаэдр (рис. 9-г) и усеченный икосаэдр (рис. 9-д).

а) б) в) г) д)

Рис. 9.

Вторую группу составляют два тела, называемых квазиправильными многогранниками. Это название означает, что гранями этого многогранника являются правильные многоугольники всего двух типов, причем каждая грань одного типа окружена гранями другого типа. Эти два тела называются кубоктаэдр (рис. 10-а) и икосододекаэдр (рис. 10-б).

а) б)

Рис. 10. Квазиправильные многогранники

В третью группу входят ромбокубоктаэдр, который иногда называют малым ромбокубоктаэдром (рис. 11-а) и ромбоикосододекаэдр, называемый также малым ромбоикосододекаэдром (рис. 11-б). Если применить процесс усечения (удаления вершин) к двум квазиправильным телам - кубоктаэдру и икосододекаэдру, то новые полученные грани будут в лучшем случае прямоугольными, однако дальнейшими модификациями их можно преобразовать в квадраты. В эту же группу входят ромбоусеченный кубоктаэдр, иногда называемый большим ромбокубоктаэдром (рис. 11-в) и ромбоусеченный икосододекаэдр, называемый также большим ромбоикосододекаэдром (рис.11-г), которые получаются из кубоктаэдра и икосододекаэдра при другом варианте усечения.

а) б) в) г)

Рис. 11

В четвертую группу входят две курносые модификации - курносый куб и курносый додекаэдр (рис.12-а,б). Для них характерно несколько повернутое положение граней. В результате эти многогранники, в отличие от предыдущих, не имеют плоскостей симметрии, но имеют оси симметрии. Так как плоскостей симметрии нет, то зеркальное отражение такого тела не совпадает с исходным телом, и поэтому существуют по две формы каждого из них - "правая" и "левая", отличающиеся так же, как правая и левая руки.

12-а. курносый куб 12-б. курносый додекаэдр

Наконец, последняя группа состоит из единственного многогранника - псевдоромбокубоктаэдра (рис. 13), открытого лишь в XX веке. Он может быть получен из ромбокубоктаэдра, если повернуть одну из восьмиугольных чаш на 45°.

Все многогранники Архимеда можно представить в виде комбинации правильных многоугольников (см. приложение 1).

2.1.3. Звездчатые многогранники (тела Кеплера – Пуансо)

Кроме правильных и полуправильных многогранников красивые формы имеют так называемые правильные звездчатые многогранники. Они получаются из правильных многогранников продолжением граней или ребер аналогично тому, как правильные звездчатые многоугольники получаются продолжением сторон правильных многоугольников.

Иоганн Кеплер Луи Пуансо

    Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером (1571-1630 гг.), а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо (1777-1859 гг.). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо. В работе "О многоугольниках и многогранниках" (1810) Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши (1789-1857 гг.). В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует.

Звёздчатая форма октаэдра. 

Существует только одна звёздчатая форма октаэдра. Звёздчатый октаэдр был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт Иоганном Кеплером, и назван им Stella octangula — звезда восьмиугольная. Отсюда эта форма имеет и второе название stella octangula Кеплера. По сути, она является соединением двух тетраэдров.

Звёздчатые формы додекаэдра.

Додекаэдр имеет 3 звёздчатые формы: малый звездчатый додекаэдр (рис. 14-а), большой додекаэдр (рис.14-б), большой звёздчатый додекаэдр (рис.14-в). Первые две из них были открыты Кеплером (1619), третья — Пуансо (1809). В отличие от октаэдра любая из звёздчатых форм додекаэдра не является соединением платоновых тел, а образует новый многогранник.

а) б) в)

Рис. 14. Звездчатые формы додекаэдра

Все 3 звёздчатые формы додекаэдра, вместе с большим икосаэдром образуют семейство тел Кеплера-Пуансо, то есть правильных невыпуклых (звёздчатых) многогранников.

У большого додекаэдра гранями являются пятиугольники, которые, сходятся по пять в каждой из вершин. У малого звёздчатого и большого звёздчатого додекаэдров грани - пятиконечные звёзды (пентаграммы), которые в первом случае сходятся по 5, а во втором по 3 грани в одной вершине.

Вершины большого звёздчатого додекаэдра совпадают с вершинами описанного додекаэдра. У каждой вершины соединяются три грани.

Звёздчатые формы икосаэдра.

Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм, из которых 32 обладают полной, а 27 неполной икосаэдральной симметрией, что было доказано Коксетером совместно с Дювалем, Флэзером и Петри c применением правил ограничения, установленных Дж. Миллером (см. приложение 2). Одна из этих звёздчатых форм, называемая большим икосаэдром (рис. 15), является одним из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера—Пуансо. Его гранями являются правильные треугольники, которые сходятся в каждой вершине по пять; это свойство является у большого икосаэдра общим с икосаэдром.

Рис. 15. Большой икосаэдр

Среди звёздчатых форм также имеются: соединение пяти октаэдров, соединение пяти тетраэдров, соединение десяти тетраэдров (рис. 16).

Рис. 16. Звездчатые формы икосаэдра

Икосаэдр имеет двадцать граней. Если каждую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено большим многообразием отсеков — частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Все звёздчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков. Не считая самого икосаэдра, продолжения его граней отделяют от пространства 20+30+60+20+60+120+ 12+30+60+60 отсеков десяти различных форм и размеров. Большой икосаэдр состоит из всех этих кусков, за исключением последних шестидесяти.

Следующая форма – завершающая.

Звёздчатые формы кубоктаэдра.

Кубоктаэдр имеет 4 звёздчатые формы (рис.17), удовлетворяющие ограничениям, введённым Миллером. Первая из них является соединением куба и октаэдра.

Рис. 17. Звездчатые формы кубоктаэдра

Звёздчатые формы икосододекаэдра

Икосододекаэдр имеет множество звёздчатых форм (рис. 18).

Рис. 18. Звездчатые формы икосододекаэдра

Икосододекаэдр имеет 32 грани, из которых 12 являются правильными пятиугольными гранями, а остальные 20 — правильные треугольники. Что касается вопроса о том, могут ли получившиеся многогранники оказаться правильными, то на него давно получен ответ. Великий математик Коши ещё в 1811 году доказал, что список правильных многогранников исчерпывается пятью платоновыми телами вкупе с четырьмя многогранниками Кеплера — Пуансо.

Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки  - это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.[9]

Огромный мир многогранников не ограничивается только вышеперечисленными видами (см. приложение 3).

2.2. Три теоремы о выпуклых многогранниках

Теоремы, о которых пойдет речь, принадлежат к числу наиболее удивительных и глубоких результатов о многогранниках. 

Первая из них – знаменитая теорема Эйлера о соотношении между количеством вершин, ребер и граней в многограннике. Вторая замечательная теорема была доказан в 1813 году французским математиком Огюстеном Луи Коши. Третья совершенно удивительная теорема была открыта и доказана выдающимся геометром XX века академиком Александром Даниловичем Александровым (1912 – 1999 гг.).

Теорема Эйлера впервые появилась в журнале Петербургской Академии наук в работах Леонардо Эйлера «Элементы учения о телах» и «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями».

Теорема Эйлера:

Пусть В – число вершин выпуклого многогранника, Р – число его ребер, Г – число граней. Тогда верно равенство

В – Р + Г = 2.

Число χ = В – Р + Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклых многогранников эта характеристика равна 2. То, что эйлерова характеристика равна 2 для многих знакомых нам многогранников видно из таблицы.

Теорема Эйлера играет огромную роль в математике. С ее помощью было доказано огромное количество теорем. Эта теорема открыла новую главу в математике, которая называется топологией².

Во время работы над своей теоремой Эйлер вывел из нее несколько утверждений, относящихся к выпуклым многогранникам:

1) Р + 6 ≤ 3В и Р + 6 ≤ 3Г;

2) Г + 4 ≤ 2В и Г + 4 ≤ 2Г;

3) у всякого многогранника есть хотя бы одна треугольная, четырехугольная или пятиугольная грань, а также хотя бы один трехгранный, четырехгранный или пятигранный пространственный угол;

4) сумма плоских углов всех граней многогранника равна 2πВ – 4π.[3]

Под многогранником понимается множество M плоских многоугольников - граней, расположенных в пространстве так, что:

(1) каждая сторона любого из них является стороной в точности ещё одного многоугольника;

(2) от каждого многоугольника из M к любому другому можно пройти по цепочке многоугольников из M, в которой последовательные многоугольники имеют общую сторону;

(3) если два многоугольника имеют общую вершину, то соединяющую их цепочку можно составить из многоугольников, которые все имеют эту вершину.

Например, фигуры, изображённые на рис. 19, являются многогранниками, совокупность же многоугольников на рис. 20 не является многогранником, потому что условие (1) нарушается для стороны AB; для многоугольников ABCD и DEF нет соединяющей их цепочки, т. е. не выполняется условие (2); условие (3) не выполняется в вершине G.

Два многогранника равны, или конгруэнтны, если их можно совместить движением. Вспомним, что многогранник называется выпуклым, если для каждой его грани плоскость, проходящая через эту грань, оставляет все остальные грани многогранника по одну сторону от этой плоскости.

Теорема Коши о единственности: Два выпуклых многогранника с соответственно равными гранями, составленными в одном и том же порядке, равны.

Вернёмся к многогранникам, показанным на рис. 19. Башня с четырёхскатной крышей на кубическом основании и башня с продавленной крышей составлены из соответственно равных граней, примыкающих друг к другу в одном и том же порядке. Но они не равны друг другу. Один из них невыпуклый, а, как доказал Коши, в классе выпуклых многогранников подобная ситуация невозможна.

Теорема Коши объясняет, почему модель выпуклого многогранника не деформируется, или, как ещё говорят, не изгибается. Многогранник, который может непрерывно деформироваться так, что его грани остаются плоскими и равными самим себе, а меняются лишь его двугранные углы, называется изгибаемым. Если же такой непрерывной деформации не существует, то многогранник неизгибаем.

Пусть имеется несколько много­угольников, у которых каждая сторона отождествлена с одной и только одной стороной того же или другого многоугольника этой совокупности. Это отождествле­ние (или склеивание) сторон должно удовлетворять двум условиям:

1) отождествляемые стороны имеют одинаковую дли­ну;

2) от каждого многоугольника к любому другому можно перейти, проходя по многоугольникам, имею­щим отождествленные стороны.

Совокупность многоугольников, удовлетворяющая условиям 1) и 2), называется разверткой.

Теорема Александрова о развертке: из всякой развертки, удовлетворяющей условиям:

(1) ее эйлерова характеристика равна 2;

(2) сумма углов, подходящих к любой вершине развертки, не превосходит 2π,

можно склеить выпуклый многогранник.

Условия 1) и 2) являются не только необходимыми, но и достаточными.[4]

Также А. Д. Александров доказал, что два выпуклых многогранника с одинаковой разверткой конгруэнтны. Эта теорема сильнее теоремы Коши. Действительно, если нам даны все грани многогранника, а также правило их склеивания по сторонам, то, конечно, развертка задана. Более того, по такой специального вида развертке, в силу теоремы Коши, многогранник восстанавливается однозначно. В то же время по развертке, которая присутствует в теореме Александрова, ничего нельзя сказать о гранях и рёбрах будущего многогранника, но, тем не менее, многогранник из неё получается однозначно.

Теоремы Эйлера, Коши и Александрова имеют огромное значение в изучении многогранников. На их основе можно делать красивейшие модели многогранников.

3. Применение многогранников

3.1. Многогранники в науке

Многогранники определяют форму кристаллических решеток многих химических веществ.

Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра.

Рис. 21. Кристаллы соли и монокристалл алюминиево-калиевых квасцов

Еще одно выдающееся современное открытие в области химии было сделано в 1985 г. Речь идет о так называемых «фуллеренах». Термином «фуллерены» называют замкнутые молекулы типа С₆₀, С₇₀, С₇₆, С₈₄, в которых все атомы углерода находятся на сферической или сфероидальной поверхности. В этих молекулах атомы углерода расположены в вершинах правильных шестиугольников или пятиугольников, которые покрывают поверхность сферы или сфероида. Центральное место среди фуллеренов занимает молекула С₆₀, которая характеризуется наибольшей симметрией и как следствие наибольшей стабильностью.

Фуллерен С₆₀ - усеченный икосаэдр с атомами углерода в вершинах. Он имеет 32 грани (12 пятиугольных и 20 шестиугольных), 60 вершин и 90 ребер (60 на границе пяти- и шестиугольников и 30 на границе только шестиугольников).

Термин «фуллерен» берет свое начало от имени американского архитектора Бакминстера Фуллера, который использовал такие структуры при конструировании куполов зданий (см. приложение 4).

«Фуллерены» по существу представляют собой «рукотворные» структуры, вытекающие из фундаментальных физических исследований. Впервые они были синтезированы в 1985 учеными Г. Крото и Р. Смолли (получившими в 1996 г. Нобелевскую премию за это открытие). Но в 1992 их неожиданно обнаружили в породах докембрийского периода, то есть фуллерены оказались не только «рукотворными», но природными образованиями. Сейчас фуллерены интенсивно изучают в лабораториях разных стран, пытаясь установить условия их образования, структуру, свойства и возможные сферы применения.

Химики из Национального Университета Сингапура разработали метод получения высокосимметричных золотых наночастиц, имеющих форму звездчатых многогранников. Авторам удалось добиться точного контроля формы шипов образующихся наночастиц.

Рис. 22. Изображение золотых нанозвездочек, полученное с помощью методов просвечивающей электронной микроскопии.

В качестве основы для золотых наночастиц авторы использовали икосаэдрические зародыши, получаемые с помощью ранее известного метода. К раствору зародышей добавляли раствор диметиламина и полимера, стабилизирующего частицы от слипания, а затем золотохлористоводородную кислоту. В результате реакции из икосаэдрических частиц образовывались звездчатые многогранники правильной формы — каждый из них обладал 20 шипами.

Рис. 23. Процесс роста нанозвездочки

Синтез наночастиц точно заданной формы — важная задача для различных применений в нанофотонике³. Такие частицы могут открыть путь к исследованию свойств плазмонов⁴ в объектах сложной формы. Это, в свою очередь, дает возможность создания различных наносенсоров, оптические свойства которых будут указывать на какие-либо изменения окружающей среды.[6]

3.2. Многогранники в архитектуре

Использовать многогранники в архитектуре люди стали очень давно, еще до новой эры. И по мере роста строительного мастерства в мире появлялись новые шедевры, основанные на сложных геометрических фигурах.

Александрийский маяк.

В 285 году до н.э. на острове Фарос архитектор Сострат Книдский приступил к строительству маяка. Маяк строился пять лет и получился в виде трехэтажной башни высотой 120 метров. В основании он был квадратом со стороной тридцать метров, первый 60-метровый этаж башни был сложен из каменных плит и поддерживал 40-метровую восьмигранную башню, облицованную белым мрамором. На третьем этаже, в круглой, обнесенной колоннами башне, вечно горел громадный костер, отражавшийся сложной системой зеркал.

Храм Артемиды Эфесской.

Храм достигал 109 метров в длину, 50 - в ширину. 127 двадцатиметровых колонн окружали его в два ряда, причем часть колонн были резными и барельефы на них выполнял знаменитый скульптор Скопас. Основание крыши – мраморная плита.

Спасская башня Кремля.

Четырехъярусная Спасская башня с надвратной церковью Спаса Нерукотворного — главный въезд в Казанский кремль — расположена в южном прясле крепостной стены. Возведена в XVI веке псковскими зодчими Иваном Ширяем и Постником Яковлевым по прозванию «Барма». Башня неоднократно перестраивалась, во все века ей как главной кремлевской башне уделяли особое внимание. Четыре яруса башни представляют из себя куб, многогранники и пирамиду.

Благодаря своей нетривиальной архитектуре Национальная библиотека в Минске попадала в самые различные рейтинги — от самых необычных зданий мира, до  самых уродливых. А все из-за формы книгохранилища — ромбокубооктаэдра. Библиотека — самый крупный из архитектурных ромбокубооктаэдров, возведенных в мире в настоящее время. Его высота составляет 73,6 м (23 этажа), а вес — 115 000 тонн.

Ботанический сад «Эдем» в Корнуолле (Великобритания) был построен в 2001 году на месте выработанного мелового карьера, а для конструкций сводов использовались формы шестигранных сот. А это еще один вид многогранников — усеченный икосаэдр. Состоит из 12-ти пятиугольников и 20-ти шестиугольников.

Дворец счастья в Ашхабаде (Туркменистан) выглядит величественно, но использует в конструкции более простые многогранники. 11-этажное здание представляет собой трехступенчатое сооружение, каждая сторона которого имеет вид восьмиконечной звезды. Куб, возвышающийся на больших колоннах, образует его верхнюю ступень и вбирает в себя шар диаметром 32 метра — символическую планету Земля с изображением карты Туркменистана.

Эти примеры показывают, что формы многогранников придают зданиям особый вид. Многогранники в архитектуре необходимы. Ведь это не просто красивые и большие здания, это прочные, надёжные и уникальные сооружения, которые ещё много лет будут поражать своей точностью, величественностью и таинственностью. Правы арабы в том, что всё на свете страшится времени. Но больше всего они правы в том, что время страшится пирамид.

На этих примерах использования многогранников в науке и архитектуре, я убедилась, что геометрия, в том числе и многогранники, появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров.

Заключение

Окружающий нас мир полон изумительно красивых и сложных фигур. Среди них отдельное место занимают многогранники. Именно эстетические соображения определили большой интерес к правильным и полуправильным многогранникам античных авторов: Платона, Евклида, Архимеда и др. Эстетическая же привлекательность рассматриваемых тел в эпоху Возрождения вызвала пристальное к ним внимание прославленного Иоганна Кеплера, который объяснял строение Вселенной исходя из принципов целесообразности и красоты и, в этой связи, многократно возвращался к правильным телам.

Теория многогранников переживает ныне период нового расцвета. Хотя сегодня известно великое множество многогранников, по – прежнему велики подозрения, что перед нами лишь вершина айсберга, и нас ожидает еще множество открытий. До сих пор недостаточно изучены изгибаемые многогранники, параллелоэдры (тела Федорова).

В своей работе я собрала много интересной информации о многогранниках, истории их изучения и применения. Изучая литературу, значительно расширила свой математический кругозор. На примерах использования многогранников в науке и архитектуре, я убедилась, что геометрия, в том числе и многогранники, появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. Я изготовила модели некоторых многогранников.

Результаты моего исследования могут быть использованы на занятиях по математике, рисованию, химии, истории. Моделирование многогранников очень увлекательное занятие, которое развивает пространственное мышление.

Евклид завершил «Начала» рассказом о многогранниках. Мало кто мог представить, что столько веков спустя обожаемые им платоновы тела по – прежнему будут демонстрировать все новые и новые полезные свойства и ставить перед математиками новые задачи. Старые добрые многогранники не умрут никогда!

Список литературы

1. Долбилин Н. П. Жесткость выпуклых многогранников // Квант. – 1988. - № 5

2. Долбилин Н. П. Жемчужины теории многогранников / Серия Библиотека «Математическое образование». – М.: МЦНМО, 2000

3. Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. – 2001. - № 5, стр. 9

4. Долбилин Н. П. Три теоремы о выпуклых многогранниках // Квант. – 2001. - № 6, стр. 4, 9

5. Залгаллер В.  Непрерывно изгибаемый многогранник // Квант. – 1978. -  № 9

6. Клауди Альсина. Тысяча граней геометрической красоты. Многогранники. – Мир математики : Т. 23 / Пер. с исп. – М.: Де Агостини, 2014, стр. 33, 61, 82

7. Матиясевич Ю.  Модели многогранников // Квант. - 1978. - №1 

8. Савченко В. Полуправильные многогранники / / Квант. – 1976. - № 1

9. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995, стр. 47,52

10. Циглер Г. М. Теория многогранников. /Пер. с англ. – М.: МЦНМО, 2014

Интернет - ресурсы

http://mnogogranniki.ru/

https://ru.wikipedia.org/wiki/Многогранник

http://graph.power.nstu.ru/wolchin/umm/Graphbook/book/001/027.htm

http://www.mnogograns.narod.ru/

1^ Политоп — это подмножество евклидова пространства, которое представимо в виде объединения конечного числа n-мерных тетраэдров — геометрических фигур, являющихся n-мерным обобщением треугольника.

2^ Топология (от греч. τόπος – место и λόγος – слово, учение) – раздел геометрии, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость.

3^ Нанофотоника (нанооптика) (англ. nanophotonics) – раздел нанонауки и нанотехнологий, в котором используется свет, локализованный в пространстве. Она использует новые или модифицированные известные эффекты взаимодействия лазерного света с атомами, молекулами, кластерами и наноструктурами. Практическое развитие этой области основано на создании лазеров и нанотехнологии. 

4^ Плазмоны это квазичастицы, возникающие в проводниках за счет колебаний электронов проводимости относительно кристаллической решетки. Плазмоны рассматриваются как средство передачи информации в компьютерных чипах. Они играют большую роль в оптических свойствах металлов. Локализованный поверхностный плазмон присутствует в мелких металлических частицах (наночастицах), таких как золото или серебро.

3