Исследовательская работа по математике "Метод замены функций".

Министерство образования Пензенской области

ХI областная научно-практическая конференция школьников «Старт в науку"

Секция "Математика"

Метод замены функций

Работу выполнила:

Агапова Елена, ученица 11 б класса

МОУ СОШ п.г.т.Шемышейка

Руководитель:

Артюшонкова И.Н., учитель математики

МОУ СОШ п.г.т.Шемышейка

МОУ СОШ п.г.т.Шемышейка

В настоящий момент имеются существенные различия между требованиями к знаниям и умениям учащихся, которые предусмотрены образовательными стандартами, и тем уровнем математического развития, который ожидает общество от современного культурного человека, желающего в будущем стать инженером, техником, педагогом, врачом, квалифицированным рабочим и т.д. Я считаю, что математическое развитие является важнейшим фактором, обеспечивающим готовность человека к деятельности в самых различных областях.

Владение методами решения уравнений и неравенств можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического образования, поэтому актуальным является изучение и разработка общих методов решения уравнений и неравенств. Моя работа посвящена решению одного типа трансцендентных неравенств - логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма.

Решение подобных неравенств общепринятыми способами – процесс трудоемкий. Можно выделить следующие проблемы.

1. При решении неравенств, содержащих переменную в основании логарифма, приходится составлять и решать совокупность систем, а это процесс трудоемкий.

2. При решении неравенств методом интервалов возникают трудности при определении знака в промежутках знакопостоянства.

Естественно возникает следующий вопрос: «Существуют ли какие-то другие идеи и подходы в решении трансцендентных неравенств?». В книге «Математика: Пособие для поступающих в вузы.» (автор  Моденов В.П.) изложена без доказательства теория решения трансцендентных неравенств путем сведения их к более простым, в частности алгебраическим, рациональным, которые уже довольно легко решаются методом интервалов. Для логарифмических неравенств сформулировано такое утверждение: «При всех допустимых значениях справедлива следующая теорема. Неравенства и равносильны». Здесь символ означает любой из знаков: . Выражение в левой части первого неравенства содержит трансцендентные функции неизвестного и, возможно числовые параметры, а во втором неравенстве они заменены более простыми, алгебраическими, рациональными. Отсюда название метода – метод замены функций. Второе неравенство действительно легко решается методом интервалов.

Необходимость изучения и разработки методов решения трансцендентных неравенств продиктована рядом объективных причин. Изучению этой темы в программе средней школы отводится минимум часов, что не соответствует объему необходимого для усвоения материала, трансцендентные неравенства изучаются только в ознакомительном порядке. Однако вступительные контрольные работы во многие высшие учебные заведения часто содержат задания, требующие умения решать трансцендентные неравенства. Также присутствуют эти неравенства и в заданиях ЕГЭ.

Тема исследования: «Метод замены функций при решении логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма».

Гипотеза исследования: применение нестандартного метода решения трансцендентных неравенств – метода замены функций - эффективнее применения традиционных методов.

Цель исследования: изучить степень эффективности теории на практическом материале в сравнении со стандартными способами решения неравенств.

Задачи исследования:

1. Изучить учебную, научно-популярную литературу.

2. Доказать теорему о применении метода замены функций для решения логарифмических неравенств.

3. Научиться решать логарифмические неравенства методом замены функций.

4. Провести сравнительный анализ решения трансцендентных неравенств традиционным методом и методом замены функций.

Предлагаемая исследовательская работа представляет ценность в плане математического образования. В работе рассмотрен нетрадиционный метод решения логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма. Практическая значимость исследования состоит в предлагаемых рекомендациях по решению трансцендентных неравенств. Работу можно рассматривать как методическую разработку по решению логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании логарифма, она может быть использована не только учениками, но и преподавателями математики.

Теорема.

Для чисел таких, что верны следующие утверждения:

1. неравенства и равносильны;

2. неравенства и равносильны;

3. неравенства и равносильны;

4. неравенства и равносильны.

Доказательство:

Докажем теорему для неравенства или .

Если (или ), то в силу возрастания логарифмической функции (или ). Тогда .

Если (или ), то в силу убывания логарифмической функции (или ). Тогда .

Аналогично доказательство для неравенства .

Данное утверждение справедливо и для нестрого неравенства. Действительно, если , то , тогда .

Теорема доказана.

Следствие 1.

При неравенства и равносильны.

Доказательство:

Запишем данное неравенство в виде , далее . Тогда по теореме полученное неравенство равносильно неравенству .

Следствие 2.

При неравенства и равносильны.

Доказательство:

Поскольку при всех допустимых значениях знаки и , а также знаки и совпадают, то знак произведения совпадает со знаком произведения . Следовательно, данные неравенства равносильны.

Следствие 3.

При еравенства и

равносильны.

Доказательство:

Неравенство равносильно неравенству

. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим теперь примеры решения неравенств методом замены функций.

Каждое неравенство решено двумя способами - традиционным и с использованием метода замены функций.

Пример 1. Решите неравенство:

Решение:

I способ. Рассмотрим два случая:

Решение системы [ Решение системы

Ответ:

II способ – метод замены функций.

Применим теорему: неравенство равносильно неравенству

С учетом ОДЗ получим систему неравенств:

Последнюю систему решим методом интервалов.

Ответ:

Пример 2. Решите неравенство:

Решение:

I способ. Представим неравенство в виде и рассмотрим два случая:

Решение системы Эта система решений не имеет.

Ответ:

II способ – метод замены функций.

По следствию 1 данное неравенство равносильно неравенству Получим систему неравенств:

Последнюю систему решим методом интервалов.

Ответ:

Пример 3. Решите неравенство:

Решение:

I способ. Рассмотрим два случая:

1) 2)

Как и в предыдущих примерах для второго неравенства необходимо рассмотреть два случая:

1)

или

Система решений не имеет. Система решений не имеет.

2)

или

Решение системы Cистема решений не имеет.

Ответ:

II способ – метод замены функций.

Применим следствие 2 для множителя :

Получим систему неравенств:

Последнюю систему решим методом интервалов.

Ответ:

Пример 4. Решите неравенство:

Решение:

I способ. Рассмотрим два случая:

Эта система решений не имеет. Решение системы

Ответ:

II способ – метод замены функций.

ОДЗ: ,

Применим следствие 2:

Получим систему неравенств:

Систему решим методом интервалов.

Ответ:

Пример 5. Решите неравенство:

Решение:

I способ. Перейдем к новому основанию, не содержащему переменную, например, к основанию 10.

Дальнейшее решение состоит в переборе знаков множителей.

1)

2) Эта система решений не имеет.

Ответ:

II способ – метод замены функций.

По следствию 3 данное неравенство равносильно неравенству

Получим систему неравенств:

Последнюю систему решим методом интервалов.

Ответ:

Приведенные примеры убедительно демонстрируют преимущества решения неравенств подобного типа с помощью метода замены функций. Умение пользоваться этим методом поможет выпускникам, поскольку подобные задачи - «частые гости» на экзаменах.

Пример 6. (Задание С5 ЕГЭ-2006). Найдите все значения а, при каждом из которых оба числа и являются решениями неравенства .

Решение этого задания необходимо начать с решения логарифмического неравенства. ОДЗ:

Теперь решим само неравенство:

Последнее неравенство решим методом интервалов и с учетом ОДЗ получим ответ: . Далее можно перейти к ответу на основной вопрос задачи.

Пример 7. Решите неравенство:

Решение:

ОДЗ

Ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение:

Ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

Решение:

Ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение:

Ответ:

Пример 11. Решите неравенство:

Решение:

Ответ:

Пример 12. Решите неравенство:

Решение:

Ответ:

К трансцендентным относят также показательно-степенные неравенства, иррациональные неравенства, неравенства с модулем. Например,

Для решения таких неравенств также можно применить метод замены функций.

При всех допустимых значениях справедливы следующие теоремы.

1. Неравенства и равносильны.

2. Неравенства и равносильны, .

3. Неравенства и равносильны.

Для каждого типа неравенств можно провести работу, аналогичную данной. В этом я вижу продолжение моего исследования.

Мы исследовали степень эффективности применения нестандартного метода решения трансцендентных неравенств – метода замены функций - при решении логарифмических неравенств в сравнении со стандартными способами решения неравенств. На практическом материале гипотеза исследования была подтверждена: применение метода замены функций при решении трансцендентных логарифмических неравенств эффективнее применения традиционных методов. Данная работа может быть использована учителями математики на уроках, спецкурсах, элективных курсах, в работе математического кружка.

Литература:

1. Денищева Л.О. и др. Единый государственный экзамен 2009. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2009.

2. Егоров А., Раббот Ж. Монотонные функции в конкурсных задачах/ Математика, 2003, №17.

3. Моденов В.П. Математика: Пособие для поступающих в вузы. - М.: Новая волна, 2002.

4. Самсонов П.И. О решении логарифмических и показательных неравенств/ Математика в школе, 2002, №8.

5. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы. Учебное пособие./ Под ред. М.И.Сканави.- М.: Высшая школа, 1978.

6. Шестаков С. Замени функцию/ Математика, 2002, №8.  

5