Исследовательская работа: Десять способов решения квадратного уравнения

Десять способов решения квадратных уравнений

Подготовила:

Нагаева Варвара

«Гимназия №14»

• Тема «Квадратные уравнения» очень увлекательна и интересна. Знание – сила, а поэтому умение решать данные уравнения различными способами пригодится как для общего развития, так и для применения своих умений на практике, к примеру, на экзамене. Главный плюс, по моему мнению – свобода выбора, право решать тем способом, какой кажется легче и понятнее, а значит и лучшие успехи и в учебе и в понимании материала.

Цель : 1. Изучить разные способы решения квадратного уравнения.

2. Рассмотреть практическую значимость темы.

Задачи: 1. Познакомиться с разными способами решения квадратных уравнений.

2. Проанализировать возможность использования этих способов в разных стандартных и нестандартных ситуациях.

3. Проанализировать использование разных способов решения квадратных уравнений моими одноклассниками.

4. Познакомиться с историей появления квадратных уравнений.

Методы: анализ и синтез.

Актуальность темы

Мы провели опрос старшеклассников:

• Надо ли уметь решать квадратное уравнение?
• Часто ли ты решаешь квадратное уравнение?
• Используешь ли ты при решении уравнений свойства коэффициентов?

• Определение 1 :

Квадратным называют уравнение вида

ax 2 + bx + c = 0,

где х - переменная , а, b и с -некоторые числа, причем, а ≠ 0.

• Определение 2:

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1.

Полное квадратное уравнение – это уравнение ax 2 + bx + c = 0, у которого коэффициенты b и c отличны от 0.

• Определение 3 :

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то его называют неполным квадратным уравнением .

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах 2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах 2 + b х = 0, где b ≠ 0;

3) ах 2 = 0.

• Определение 4:

Корнем квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ax 2 + bx + c обращается в 0.

• Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

• Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

• Квадратные уравнения в Индии.

• Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду

х 2 + b х = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.

И лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1) Разложение левой части уравнения на множители

2) Метод выделения полного квадрата

3) Решение квадратных уравнений по формуле

4)Решение уравнений с использованием теоремы Виета

5) Решение уравнений способом переброски

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения

7) Графическое решение квадратного уравнения

8) Решение квадратных уравнений с помощью

циркуля и линейки

9) Решение квадратных уравнений с помощью

номограммы

10) Геометрический способ решения квадратных уравнений

• 1) Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х 2 + 10х - 24 = 0 . Разложим левую часть на множители:

х 2 + 10х - 24 = х 2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2 , а также при х = - 12 . Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х 2 + 10х - 24 = 0 .

• 2) Решение квадратного уравнения графически.

х 1 = 1 ; х 2 = 100000/99999. 99999х 2 +100000х +1 = 0 а+с=в = х 1 = -1; х 2 = -1/99999 . х 2 - 7х +10=0 х 1 + х 2 = - b/a ; х 1 · х 2 = с /a х 1 + х 2 = 7; х 1 · х 2 = 10 х 1 = 2; х 2 = 5 " width="640"

• 3) После проведения опроса, результаты которого представлены в начале презентации, я решила, что немаловажно научится решать и с помощью свойств коэффициентов и теоремы Виета.

99999 х 2 + х - 100000 = 0.

а+в+с=0 = х 1 = 1 ; х 2 = 100000/99999.

99999х 2 +100000х +1 = 0

а+с=в = х 1 = -1; х 2 = -1/99999 .

х 2 - 7х +10=0

х 1 + х 2 = - b/a ; х 1 · х 2 = с /a

х 1 + х 2 = 7; х 1 · х 2 = 10

х 1 = 2; х 2 = 5

• 4) Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5,

следовательно, площадь каждого равна 2,5 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВС D , достраивая в углах четыре

равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников

(4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е.

S = х 2 + 10х = 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВС D , т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

х = 8 – 2,5 – 2,5 = 3

• При решении квадратного уравнения не надо ограничиваться одним способом решения уравнения, который изучается в школьном курсе математике, а для каждой ситуации можно использовать свой способ решения. Особенно популярным способом является свойство коэффициентов квадратного уравнения и теорема Виета. Изучив материалы для подготовки к ГИА, я пришла к выводу: материалы содержат много квадратных уравнений, при решении которых можно использовать свойство суммы коэффициентов квадратного уравнения или теорему Виета. Этот способ позволяет сэкономить время при решении квадратных уравнений, а в некоторых случаях, избежать громоздких вычислений и даже использование калькулятора.
• Такая широкая тема позволяет всем желающим находить в книгах, научных журналах, сайтах все новые пути решения уравнений, создавать основу для дальнейших исследований в мире математики, получать необходимые интересующие сведения, применение которых на практике способствует развитию мышления и повышению уровня знаний учеников и студентов. Каждый из способов удобен по-своему, интересен и значим в общей копилке умений каждого.

• Мордкович А.Г. Учебник и задачник для углубленного изучения математики.
• 2. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.
• 3. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.
• 4. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.
• 5. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.
• 6. И. С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах.- М.: Просвещение, 1987.
• 7. А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989.
• 8. Г.И. Глейзер «История математики в школе»,- М.: Просвещение,1982