Исследовательская работа Оригаметрия

Министерство образования и науки Республики Бурятии

Муниципальное образование «Кяхтинский район»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Малокударинская СОШ»

Секция Геометрия

Тема работы «Оригаметрия»

Выполнила Макарова Евгения Владимировна

ученица 8 класса

руководитель Красикова Татьяна Ильинична

учитель математики

МБОУ «Малокударинская СОШ»

2022

Оглавление

	стр.
Введение	2-3
Понятие об оригами	4
Оригами и геометрия	5-8
Решение задач с помощью оригами	8
Применение оригами для доказательства теорем	8
Заключение	9
Список использованной литературы	10

Введение

Расскажи мне – я услышу,

Покажи мне – я запомню,

Дай мне сделать самому – я пойму!

Технологии, связанные с автоматизацией, информатизацией и коммуникацией стремительными шагами врываются в нашу действительность. Бумага не теряет своей актуальности. Бумагу применяют в самых различных областях промышленности, и в повседневной жизни мы очень часто видим этот материал. Бумага является самым доступным и удобным материалом для конструирования.

Оригами – это идеальный конструктор, который состоит из одной детали (листа), с помощью которой создается бесконечное разнообразие форм, складываются множество разных фигурок.

Оригами, это японское искусство складывания бумаги, образовано от японского oru (складывать) и kami (бумага). Сегодня большое количество людей во всем мире увлекаются искусством «оригами». Изготовлением бумажных фигурок занимаются и дети и взрослые. Его даже преподают в школах, о нем пишут книги и выпускают журналы с интересными статьями и описанием различных моделей. Учитель часто на уроках математики давал задания на перегибание геометрической фигуры, и мы узнавали свойства этих фигур, делили на части. Я заметила, что, складывая фигурки оригами, сталкиваюсь с математическими понятиями. С оригами можно знакомиться и повторять основные геометрические фигуры: треугольник, прямоугольник, квадрат, ромб, четырёхугольник. Понятия: сторона, угол, вершина угла диагональ и другие. Мне стало интересно, есть ли наука, которая объединяет геометрию и оригами. С помощью Интернета я узнала, что действительно есть наука, которая называется оригаметрия. Прочитав некоторую литературу и ознакомившись с различными источниками по данной теме, пришла к выводу, что можно легче изучать геометрию при помощи оригаметрии. В своей работе я постараюсь выяснить, насколько проще и понятней иногда бывает работать не только с терминами и правилами, а с бумагой, подключая свою фантазию и логику.

Актуальность: В последнее время ребята всё с большей неохотой относятся к учёбе, и в частности к геометрии. Чтобы привлечь внимание учащихся к математике мы решили в своей работе показать, что математика – это интересная наука. При изучении элементарных представлений о геометрических фигурах можно использовать искусство оригами.

Проблема: применение техники оригами помогает легче усвоить геометрию.

Цель работы: доказать, что искусство оригами можно применять для доказательства теорем и решения задач по геометрии.

Задачи:

1. Познакомиться с одним из разделов математики – оригаметрия.

2. Изучить литературу по технике оригами;

3. Научиться решать задачи по геометрии методом оригами;

4. Использовать метод оригами при доказательстве теорем;

5. Повысить интерес одноклассников к урокам геометрии;

6. Систематизировать изученный материал для применения на уроках математики.

Объект исследования – оригами в геометрии.

Методы исследования:

1. Поиск информации из разных источников (специальной литература, Интернет ресурсы);

2. Решение задач оригамным способом;

3. Доказательство теорем с помощью оригами;

4. Практическая работа.

1. Понятие об оригами.

Это искусство родилось в Японии. В «Японских хрониках» говорится, что его начало восходит к 610-му году. Оригами в переводе с японского языка означает «сложенная бумага» – это древнее искусство складывания фигурок из бумаги. Существует множество версий происхождения оригами. Есть даже мнение, искусство оригами старше, чем бумага. Что первые фигурки оригами возникли из искусства драпировки ткани при изготовлении традиционной японской одежды. В 7 веке монах Дан-Хо обучил японцев изготавливать бумагу. Этому мастерству обучали с детства. Человека, который не владел техникой оригами, считали невоспитанным. Япония создала целую оригамскую азбуку, были придуманы бумажные поделки, которые используются по всему миру, и по сей день.

В России оригами появилось в 19 веке. Первыми освоили это искусство дети царя Николая II. Умел складывать фигурки из бумаги и русский писатель Лев Толстой.

Существует несколько видов оригами из бумаги: модульное, простое, складывание по развёртке, мокрое складывание.

Кто бы подумал, глядя на простенький самолётик, кораблик, что первоначально в изделия из бумажного квадрата вкладывался большой смысл! На востоке к квадрату относились с большим уважением. В буддизме он считался отражением Космоса, той великой Пустоты, из которой происходят все вещи. К бумаге японцы тоже относились с почтением, как ко всему недолговечному, непрочному, живущему один миг. Они считали, что в каждой такой вещи — бабочке, росинке, тонком листочке бумаги — живет дыхание вечности и надо уметь его уловить.

Со временем искусство «оригами» завоевало весь мир. Дошло и до нас. Описание простой, доступной ребенку, модели, можно найти в каждом номере журнала «Япония». А в российском журнале «Оригами», вы найдете и самые простые модели — для начинающих, и сложные — для знатоков, а также статьи об истории «оригами».

Сейчас первоначальный философский смысл этой игрушки забылся. Кроме традиционных поделок из квадрата, изобрели множество других способов создания бумажных фигур. Это могут быть модели, сложенные из правильного треугольника и половинки квадрата, оторванной по вертикали или диагонали, или даже из пяти-, шести-, восьмиугольников. Последняя «мода» — складывать оригами из листа обычной писчей бумаги стандартного формата.

Искусство оригами как нельзя лучше подходит для решения данных задач. Еще в XIX веке немецкий педагог Ф.Фребель основал интегрированный курс обучения математике при помощи оригами, на основе которого можно улучшить и упрочить геометрические знания и умения.

Искусством оригами заинтересовались ученые и конструкторы. Проходят научные симпозиумы по оригами. Уже создаются сложнейшие технические конструкции — бумажные модели.

Итак, оригами – это искусство складывания из бумаги.

1. Оригами и геометрия

При изучении геометрии, у учащихся возникают различные трудности при решении задач, при построении и чтении чертежей, они плохо усваивают понятия фигур и их свойства. Справиться с этими трудностями может использование оригами при изучении геометрии. В процессе преобразования плоских и объемных фигур с применением методов оригами учащиеся оперируют геометрическими объектами, непроизвольно усваивают геометрические понятия, изучают свойства фигур.

В деятельности по усвоению геометрических понятий важное место должно отводиться созданию моделей, соответствующих геометрическим объектам. Опираясь на эти модели, школьники получают возможность выявлять такие особенности усваиваемых понятий, которые не отражены в словесных определениях.

Основные понятия оригаметрии: точка; линия сгиба; квадратный лист бумаги. Основные отношения: линия сгиба проходит через точку; точка принадлежит линии сгиба.

Оригами – математическая теория, так как в ней работает аксиоматический метод. В конце XX века японский математик Хумиани Хузита, живущий в Италии, начал говорить про Теорию решения задач на построение перегибанием листа бумаги. Назвал он этот процесс оригаметрией, обозначающий область геометрии, в которой задачи решаются методом складывания и перегибания. Оригаметрия - это новая наука на стыке двух: оригами и геометрии. Оригаметрия - это оригинальный подход к решению геометрических задач, которая выполняет роль фрагментарной иллюстрации решения.

Хумиани Хузита предложил аксиомы оригаметрии. Таких аксиом с его точки зрения шесть.

Аксиома 1: Существует единственный сгиб,

проходящий через две данные точки

Аксиома 2: Существует единственный

сгиб, совмещающий две данные точки

Аксиома 3: Существует единственный сгиб, совмещающий две данные прямые

Аксиома 4: Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой

Аксиома 5: Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую

Аксиома 6: Существует единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых

В 2002 году японский оригамист Коширо Хатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Х.Хузита.

Аксиома 7: Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба, перпендикулярная первой и помещающая данную точку на вторую прямую.

Любая оригамская задача состоит:

1. Из постановки задачи.

2. Из оригамского решения, проверки или способа построения.

3. Из математического обоснования, то есть доказательства того, что в результате действительно получается фигура с требуемыми свойствами.

Выделяют группы задач, решаемых методом оригами:

1. Задачи на построение.

2. Задачи на доказательство;

3. Задачи на вычисление, т.е. при помощи перегибании мы получаем какой-то математический объект (угол, отрезок, фигура) и нам необходимо вычислить его параметр, но делаем это мы уже математически.

Рассмотрим примеры задач, решаемых методами оригами. Такие решения проще и нагляднее, а простота помогает учащимся убедиться в правильности утверждений, теорем и побуждает к дальнейшим исследованиям. Сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой! Например, при изучении темы «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника», учащиеся убеждаются в том, что каждая тройка медиан и биссектрис и высот любого треугольника пересекаются в одной точке, а потом свои убеждения пробуют подтвердить математически. Возможности перегибания листа бумаги велики, что позволяют решить большое разнообразие задач.

Задача 1. Методом оригами разделить один из углов квадрата на три равных угла.

1) Оригамское решение

1. Наметьте сгиб, делящий верхнюю сторону квадрата пополам.

2. Совместите вершину правого нижнего угла квадрата с некоторой точкой намеченной линии сгиба.

3. Перегните левую верхнюю часть фигурки и вернитесь в исходное положение квадрата.

4. Проверьте результат. Вершина левого нижнего угла квадрата линиями сгиба разделена на три равных угла.

2) Математическое обоснование

Используя чертеж рис. 5, можно записать: ВАС – равносторонний, значит

АВС=60⁰. ОВА=90⁰-60⁰=30⁰, ABN=30⁰, ОВА= ABN= NBC=30⁰. Задача 2. Постройте биссектрису данного угла.

Решение: Пусть дан угол АВС. Перегнем лист бумаги так, чтобы стороны ВА и ВС совместились. Линия сгиба и есть биссектриса ВМ угла АВС.

Задача 3. Разделите угол на четыре равные части.

Комментарий: Для каждого из углов АВМ и СВМ из предыдущей задачи постройте биссектрису.

Доказательство свойства прямоугольного треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике, катет, лежащий против угла в 30⁰ , равен половине гипотенузы.

Доказательство 1. В прямоугольном треугольнике угол А равен 30°. Докажем, что ВС = 1/2 АВ.

В

H

С М А

Построим биссектрису ВМ угла В, перегнув треугольник так, чтобы сторона ВС совместилась с частью стороны АВ. Точка С совместится с точкой, которую обозначим Н. Получили равные отрезки ВС и ВН (они совпали при наложении). Если перегнуть полученный треугольник АМВ по линии МН, то отрезки ВН и АН совпадут. Таким образом, отрезок ВС в 2 раза меньше отрезка АС. Действительно, ∆МВС = ∆МВН по гипотенузе ВМ и острому углу (∠МВС = ∠МВН = 30°, так как ВМ – биссектриса угла АВС, равного 60°). ∆АНМ = ∆ВНМ по катету МН и острому углу в 30°. Тогда ∆АНМ = ∆ВНМ = ∆ВСМ и ВС = ВН = НА, тогда ВС = 1/2 АВ. (Приложение 1)

В курсе геометрии можно выделить ряд задач, теорем и свойств треугольников и четырёхугольников, которые можно показать с помощью складывания бумаги. Такие задачи и теоремы я систематизировала их по разделам (Приложение 2)

1. Начальные геометрические сведения.

2. Геометрия треугольника

3. Геометрия четырёхугольника.

4. Построение многоугольников с помощью оригами.

5. Осевая и центральная симметрия.

4. Решение задач с помощью оригами. (Приложение 4)

3. Применение оригами для доказательств теорем. (Приложение 3)

Заключение

В настоящее время математическое образование является основным для людей многих профессий. Особую актуальность приобретает проблема обучения элементам геометрии, образному мышлению.

Единственный рабочий материал - это бумага, единственный инструмент - руки. Уникальное занятие складывать своими руками красивые игрушки и геометрические фигуры. При изготовлении фигурок оригами развиваются воображение, мелкая моторика рук, пространственное мышление, воспитывается вкус, аккуратность, трудолюбие, что и делает изучение использования оригами актуальным для исследования. Приобретенные во время складывания навыки можно использовать на уроках по математике и конструированию.

Оригаметрия– область очень молодая, и, наверное поэтому мы пока не видели учебников, которые давали бы материал с помощью оригаметрии.

Вывод. Оригаметрия улучшает пространственное воображение и учит читать чертежи, по которым складываются фигуры; знакомит на практике с основными геометрическими понятиями; развивает творческие способности. С помощью оригами можно проверить на практике важность того или иного геометрического понятия и наметить последовательность действий при проведении доказательства, не просто пройти теоретический материал, а научиться понимать его суть, научиться мыслить, исследовать, делать опыты, выводы, понимать то, о чем говоришь сам, и то, что говорят другие.

Использование оригами на уроках геометрии поможет учащимся лучше усвоить материал урока. У них появится интерес к этому предмету. Оригами дает наглядное представление. Даже слабый ученик может сам дойти до доказательства определенного утверждения.

Выполнив работу, я достигла поставленных целей. Изучив литературу по данной теме и применяя изученные методы, я нашла и самостоятельно сумела решить задачи из учебника Л.С.Атанасяна «Геометрия 7 – 9» с помощью оригами, хотя такого метода при их решении не подразумевается. Я самостоятельно подобрала и объединила задачи, которые можно решить с помощью оригами. Мной рассмотрена лишь небольшая часть применения оригами. Область его применения так обширна, что охватить ее в одной работе невозможно, и это может быть материалом для дальнейшего исследования.

Таинственный мир превращенья бумаги… Здесь все чародеи, волшебники, маги.

Творят они сказки своими руками.
И мир тот чудесный зовут ОРИГАМИ

Список использованной литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2021. – 384 с.

2. С.Ю. Афонькин, Е.Ю. Афонькина Энциклопедия для детей и взрослых.

3. Белим С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: издательство Аким», 1998. – 66с.

4. Весновская О.В., Симолкин А.Ю. Статья «Учебная деятельность учащихся в процессе изучения курса «Геометрия и оригами»

5. Весновская О.В Статья «Оригами как одно из средств обучения геометрии в основной школе»

6. П.А. Карасёв Элементы наглядной геометрии в школе.

7. Шеремет Г. Оригами помогает изучать математику. / Математика. – 2007. № 19. с.16–18

Интернет ресурсы

1. http://www.etudes.ru

2. http://www.kvant.ru

3. http://www.nkj.ru

4. Kurbanova_vkr

5. origami_v_geometrii

6. osnova_3_35_6551

(Приложение 1)

Доказательство 2. (с применением техники оригами)

1.Наметим середину стороны квадрата.

2. Точка D должна лечь на намеченную линию. Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение.

3. Точка должна лечь на намеченную линию. Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение

4. ΔADN – прямоугольный, острый угол которого 30^o.

5. Совместив точки A и D, получим точку Х, а потом отогнём в первоначальное положение

Математическое обоснование. ΔADX - равнобедренный и углы при основании равны 30^o. Угол XDN равен 60⁰ , угол XND равен 60⁰, значит треугольник XDN равносторонний, т.е. ND =XN=AX=1/2AN.

Следовательно, катет DN лежит против угла 30^o и равен 1/2 гипотенузы AN.

Приложение 2

Основными задачами на построение в разделе геометрии «Начальные геометрические сведения», в которых можно применить оригами, являются:

1. Точка и прямая.

2. Пересекающиеся прямые. Смежные и вертикальные углы.

3. Построение перпендикуляра к прямой. Перпендикулярные прямые.

4. Построение прямой, параллельной данной. Параллельные прямые.

5. Деление отрезка на 2,4 части, с помощью оригами.

6. Построение биссектрисы угла с помощью оригами.

«Геометрия треугольника» с помощью оригами:

1. Виды треугольников и их свойства.

2. Замечательные точки и линии в треугольнике. Построение медианы треугольника. Точка пересечения медиан треугольника.

3. Построение биссектрисы треугольника. Точка пересечения биссектрис треугольника.

4. Построение высоты треугольника и нахождение точки пересечения высот треугольника.

5. Признаки равенства треугольников.

6. Сумма углов треугольника. Доказательство с помощью оригами.

7. Свойства равнобедренного треугольника. Доказательство с помощью оригами.

8. Свойства прямоугольного треугольника. Доказательство с помощью оригами.

9. Признаки параллельности прямых. Доказательство с помощью оригами.

10. Средняя линия треугольника.

11. Вычисление площади треугольников.

12. Доказательство теоремы Пифагора.

«Геометрия четырехугольника» с помощью оригами:

1. Прямоугольник и его свойства. Построение фигур из прямоугольника. Вычисление его площади. Вычисление площади прямоугольного треугольника.

2. Квадрат и его свойства. Два положения квадрата. Построение фигур из квадрата. Вычисление его площади.

3. Параллелограмм и его свойства. Построение фигур из параллелограмма. Вычисление его площади. Вычисление площади треугольника.

4. Ромб и его свойства. Построение фигур из ромба. Вычисление его площади.

5. Трапеция, ее свойства. Вычисление её площади.

6. Произвольный четырехугольник.

Построение многоугольников с помощью оригами.

1. Из квадрата равнобедренный треугольник.

2. Равносторонний треугольник в квадрате.

3. Правильный треугольник в квадрате.

Осевая и центральная симметрия

1.С помощью перегибаний найдите центр симметрии квадрата.

2. С помощью перегибаний найдите центр симметрии прямоугольника

3. С помощью перегибаний найдите центр симметрии равностороннего треугольника

4.С помощью перегибаний найдите центр симметрии параллелограмма.

5. С помощью перегибаний найдите оси симметрии квадрата.

6.С помощью перегибаний найдите оси симметрии прямоугольника

7.С помощью перегибаний найдите оси симметрии равностороннего треугольника.

8.С помощью перегибаний найдите оси симметрии параллелограмма.

Приложение 3

Начальные геометрические сведения

1. Разделить отрезок на две равные части.

Указание: для того, чтобы разделить отрезок на две равные части, необходимо совместить две противоположные стороны квадрата.

1. Разделить отрезок на четыре равные части.

Указание: для того, чтобы разделить отрезок на четыре равные части, необходимо совместить линию сгиба с каждой из противоположных сторон.

3) На листе бумаги нарисован угол. Как провести его биссектрису?

Указание: достаточно провести сгиб, через вершину угла, совместив стороны угла, получим два равных угла, совмещенных наложением.

1. Как «разделить» прямоугольник на:

   1. два прямоугольника (2 способа)

1. четыре прямоугольника (2 способа)

1. две части такие, что из них можно сложить равнобедренный треугольник.

5) Как разделить ромб на:

1. два равных треугольника; 2. четыре равных треугольника.

или

6) С помощью перегибаний листа вписать в прямоугольник ромб.

1. 2.

Согните еще раз пополам

Согните лист пополам

3. 4.

Согните по диагонали

При построении ∆ 1, ∆ 2, ∆ 3, ∆ 4 совпали( совместились наложением), значит отрезки, являющиеся сторонами ромба равны.

1. С помощью перегибаний квадрата «изобразите» на нем равнобедренный треугольник.

1. 2.

Согните по диагонали Согните 2 смежные стороны

квадрата к диагонали. Разогните

3.

Четырехугольники и их свойства

Квадрат

1) Задание: Выполните сгибы и сделайте выводы о сторонах и углах квадрата.

Ответ: квадрат – это четырехугольник, у которого все стороны равны и все

углы прямые.

Свойства квадрата:

Задание 1: Выполните сгибы и сделайте вывод о диагоналях квадрата

2)

Ответ: диагонали квадрата равны;

3)

Ответ: диагональ квадрата делит углы пополам;

4)

Ответ: 1) диагонали квадрата пересекаются под прямым углом;

2)диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам;

Задание 2: выполните сгибы и сделайте вывод об осях симметрии

квадрата.

Ответ: квадрат имеет четыре оси симметрии.

Параллелограмм

Свойства параллелограмма:

1) Задание 1: выполните сгибы и сделайте вывод о диагоналях параллелограмма

Ответ: диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам;

Задание 2: выполните сгибы и сделайте вывод о сторонах и углах параллелограмма.

Ответ: у параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Ромб

1) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод о сторонах ромба.

Ответ: ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

2) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод о диагоналях ромба.

Ответ: диагонали квадрата взаимноперпендикулярны и делят его углы пополам;

3) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод об углах ромба.

Ответ: противолежащие углы ромба равны между собой;

4) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод об осях симметрии ромба.

Ответ: ромб имеет две оси симметрии.

Трапеция

1. Задание: выполните сгибы и сформулируйте определение равнобедренной трапеции.

Ответ: трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

2) Задание: выполните сгибы и сделайте вывод о диагоналях трапеции.

Ответ: диагонали равнобедренной трапеции равны:

2) Формула для вычисления угла правильного n-угольника

Учащимся предлагается заготовить две фигуры, 5-угольник и 6-угольник.

1.Перегните шаблоны n-угольников по диагоналям, исходящим из одной произвольно выбранной точки.

2. Определите, сколько треугольников получилось.

3. Обратите внимание, что число треугольников совпадает с числом сторон без двух.

4. Зная, что сумма углов треугольника 180 , определите сумму углов n- угольников.

5. Запишите формулу, если число сторон будет n.

6. Найдите сумму углов правильного треугольника.

7. Найдите сумму углов правильного четырехугольника.

8.Сравните свой вывод с формулой в учебнике.

3) Теорема об углах равнобедренного треугольника

Учащимся предлагается изготовить из бумаги равнобедренный треугольник.

1. Разделите исходный треугольник на два треугольника.

2. Сделайте вывод о получившихся треугольниках.

3. Сделайте вывод о соответствующих элементах треугольников.

4. Сформулируйте свойство углов равнобедренного треугольника.

1. Теорема о медиане равнобедренного треугольника

1. Постройте медиану равнобедренного треугольника.

2. Сделайте вывод о получившихся треугольниках.

3. Сделайте вывод о соответствующих элементах получившихся треугольников.

4. Отметьте равные элементы на модели.

5. Сформулируйте свойство медианы равнобедренного треугольника.

Правильный треугольник

Некоторые фигуры в оригами делают не из квадрата, а из треугольника.

Прямоугольный треугольник

Его получить очень просто, разрезав квадрат по диагонали.

Равносторонний треугольник

Построение с помощью сгибов равностороннего треугольника (или построения угла, равного 60°) не является загадкой и иногда применяется при складывании некоторых фигур. Предлагаемый способ прост и лаконичен и наверняка, в той или иной форме, изобретался не один раз.

Он изображен на приведенных ниже рисунках.

Получаемый таким образом треугольник имеет достаточно большую площадь и может служить исходной формой для новых интересных фигур. Кроме того, из него можно сложить правильный шестиугольник

Приложение 4

RМ

МК

К

FМ

FМ

BМ

RМ

МК

К

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°

Теорему о сумме углов треугольника можно доказать так:

1. найти точку основания высоты треугольника (точку D);

2. перегнуть лист так, чтобы все вершины треугольника ABC совместились с точкой D;

3. по построению получили, что развернутый угол FDR равен сумме углов треугольника ABC.

С помощью этого же алгоритма построения можно доказать, что средняя линия треугольника равна половине стороны треугольника,

которой она параллельна, то есть KM =1/2 AC . Действительно, в прямоугольнике FKMR противоположные стороны KM и FR равны, а по построению FR = AC , поэтому KM= AC .

Кроме свойства средней линии треугольника и доказательства теоремы о сумме углов треугольника, такое построение также можно использовать для доказательства формулы площади треугольника: S = ah .

Теорема. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

1

A

N

M

B

C

K

Если совместить точки А и В с точкой С, то теорема доказывается аналогично предыдущей на основе равенства треугольников ∆АМN = ∆СМN и ∆СNК = ∆ВNК. ∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4. Тогда ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4 = 90°.

Теорема. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство: Возьмём лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ.

2

1. Сравним накрест лежащие углы – углы 1 и 2.

Согнём лист по секущей АВ.

2) Совместим вершины накрест лежащих углов - точки А и В.

3) Углы 1 и 2 совпали при наложении,

следовательно, угол 1 равен углу 2.

Значит накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

26