Исследовательская работа "Флексагон. Шуткам гениев"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа п.Сидима муниципального района имени Лазо Хабаровского края

Секция начальной школы

точные науки

Исследовательская работа

Флексагон. Шутка гениев

Автор работы:

Супрун Наталья Константиновна

Ученица 4 класса

Руководитель:

Кузьмина Елена Павловна.

Учитель математики

П.Сидима

2020 г

Оглавление

Введение .....................................................................................................3-4

1.Основная часть…………………………………………………………5-8

1.1. Что такое флексагон

1. 2.История возникновения флексагонов

1.2. Названия флексагонов и их классификация

2. Исследование………………………………………………………….9-12

2.1. Конструирование флексагонов

2.1.1 Тригексафлексагон

2.1.2. Гексагексафлексагон

2.1.3. Тритетрафлексагон

2.1.4. Тетратетрафлексагон

3. Практическая часть…………………………………………………….13

3.1 Применение флексогонов

4. Заключение ..............................................................................................14

5.Список используемой литературы: ........................................................15

6. Приложение

Введение

Я решила посветить свою работу флексагону. Это решение у меня возникло тогда, когда я услышала неизвестное слово. Я поискала в интернете значение этого слова и выяснила, что это особая техника сложения многоугольников из бумаги, подобная оригами. Техника оригами мне уже была известна, поэтому я решила попробовать свои силы в создании флексагона.

Изгибая бумагу, я даже не предполагала, что мои занятия подчинены строгим математическим правилам.

И в своей работе я буду рассматривать один из моментов занимательной геометрии – флексагоны. Я узнала интересные сведения о треугольнике – основе многоугольника, изучила вопрос об изгибаемости многогранника, о том, как собираются флексагоны и где их можно применить на практике.

Актуальность:

Флексагоны способствуют развитию пространственного воображения и имеют практические приложения.

Объект исследования – флексагон

Предмет исследования – история возникновения флексагонов, способы конструирования и применения

Цель исследования

Познакомиться с флексагонами и их применениями, создать практические приложения флексагонов.

Задачи исследования:

• изучить историю возникновения флексагонов;

• изучить алгоритмы конструирования флексагонов

• познакомиться с применениями флексагонов и разработать собственные приложения.

• систематизировать изученный материал и подготовить презентацию;

• Создать практические приложения флексагона

Гипотеза:

Флексагоны могут иметь широкое практическое применение.

Методы исследования:

1. Сбор информации по данной теме

2.Анализ периодической и научной литературы

3.Создание необходимых разверток для работы

4.Создание конкретных моделей

1. Основная часть

1.1 Что такое флексагон

Флексагоны – это не просто многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной формы. Они обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а те поверхности, которые были не видны, неожиданно выходят наружу. Таким образом, флексагоном можно назвать бумажную модель, имеющую форму плоского многоугольника, состоящую из нескольких слоев бумаги и обладающую возможностью непрерывно изгибаться и складываться

Само название «флексагон» произошло от английского toflex, что означает «складываться, гнуться».

1. 2.История возникновения флексагонов

Это произошло в конце 1939 года. Как-то раз Артур Стоун 23-х летний аспирант из Англии, изучавший математику в Принстоне, обрезал листы американского блокнота, что бы подогнать их под привычный формат. Нужно заметить, что американский «официальный» блокнотный лист длиннее международного формата А4 на 18 мм.

Артур Стоун

И от безделья и желания развлечься, Стоун принялся складывать из отрезанных полосок различные фигуры. Одна, из  сделанных им фигур,  оказалась особенно интересной. Сложив полоску бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он получил равносторонний шестиугольник. Склеив концы полоски, Стоун получил фигуру с весьма любопытными свойствами: подгибая один из углов шестиугольника к центру, можно было раскрыть его, подобно бутону цветка.

Это и дало толчок к рождению флексагона.

Стоун решил, что можно сложить и другие многоугольники, обладающие этим свойством. Проверив эту мысль, он убедился в ее правильности. Оказалось, что можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трёх. Эта модель показалась Стоуну очень забавной, и он решил показать её своим друзьям по университету. Друзьям она показалась очень интересной и назвав изобретенную Стоуном фигуру флексагоном, принялись создавать новые и новые модели. В шутку они назвали себя «Флексагонным комитетом» и взялись за изучение математических основ «флексологии». Ими было обнаружено что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей, но при этом все схемы строились из равносторонних треугольников.

Самую замечательную головоломку — флексотрубку — Стоун случайно открыл, работая над флексагонами, имеющими форму прямоугольного треугольника («Для них, — сообщал он в одном письме, — мы не стали придумывать специального названия из соображений человеколюбия»). Построив плоский флексагон в форме квадрата, Стоун обнаружил, что может превратить его в трубку. Как показали дальнейшие эксперименты, трубку можно полностью вывернуть наизнанку, если воспользоваться сложной системой сгибов по сторонам прямоугольных треугольников.

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Она указывает точный способ построения флексагонов с любым числом сторон, причём именно той разновидности, которая требуется. Полностью этот труд так и не был опубликован, хотя отдельные его положения впоследствии были использованы  другими учёными.

1.2. Названия флексагонов и их классификация

Человек незнакомый с флексагонами будет удивлен, увидев их названия. Разобраться в них на самом деле не сложно. Каждое название флексагона состоит из трех частей: двух приставок и слова «флексагон». Первая приставка показывает порядок флексагона (число чередующихся поверхностей), вторая определяет форму флексагона. Приставки образуются из корней греческих и латинских числительных, применяемых для обозначений соединений по правилам номенклатуры органических соединений.

Первая созданная Артуром Стоуном фигура – тригексафлексагон. Она состоит из трех поверхностей и имеет форму шестиугольника.

Определимся с другими названиями.

Унагексафлексагон. Этот простейший гексафлексагон представляет собой лист Мёбиуса с треугольным краем. Он имеет одну поверхность и состоит из шести треугольников. Он интересен лишь как иллюстрация листа Мёбиуса, а не как представитель класса флексагонов

Дуогексафлексагон (флексагон с двумя поверхностями) представляет собой просто шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, но он не складывается.

Тригексафлексагон (флексагон с тремя поверхностями). Существует только одна разновидность этого флексагона.  Тригексафлексагон –это  сплющенный в шестиугольник лист Мёбиуса. Тригексафлексагон может быть свернут из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников

Тетрагексафлексагон (флексагон с четырьмя поверхностями) тоже существует в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски

Пентагексафлексагон (флексагон с пятью поверхностями). Единственную разновидность этого флексагона складывают из И-образной полоски.

Гексагексафлексагон (флексагон с шестью поверхностями). Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из которых обладает своими неповторимыми свойствами.

Гептагексафлексагон. Таких флексагонов существует четыре типа. Одну из форм складывают из полоски бумаги с перекрывающимися частями,

2. Исследование

2.1. Конструирование простейших флексагонов

Модели разверток флексагонов можно легко найти в сети Интернет, скачать их и распечатать на принтере. Прежде чем приступать к изготовлению флексагона из такой развертки, полезно несколько раз перегнуть её в обе стороны по всем линиям сгиба. Это очень сильно облегчит последующие действия с флексагонами.

Для более долговечных моделей, нужно вырезать треугольники из картона или металла и соединить их липкой лентой или же наклеить на длинную полоску ткани. Между треугольниками остаются небольшие зазоры, что позволяет легко сгибать флексагоны.

2.1.1 Тригексафлексагон

Тригексафлексагон — простейший из флексагонов. Его можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников, следующим образом:

• Вырезать из бумаги ленту шириной в 4-7 см и разметить с двух сторон согласно рисунку :

• Перегнуть ленту по каждой из линий в обе стороны и снова разогнуть.

• Перегнуть ленту по линиям a-b и c-d так, чтобы треугольники с «двойками» совместились друг с другом:

• Перегнуть ленту по линии e-f так, чтобы совместились последние две «двойки».

• Намазать клеем треугольники, помеченные звёздочкой, и склеить их:

2.1.2. Гексагексафлексагон

Чтобы сложить гексагексафлексагон, возьмем длинную полоску бумаги, (самым лучшим материалом для изготовления гексагексафлексагонов может служить лента от кассовых аппаратов), разделенную на 19 равносторонних треугольников. В треугольники с одной стороны нужно вписать в указанном на первой части рисунка порядке цифры 1,2,3. Девятнадцатый (последний) треугольник остается незаполненным. Треугольники на обратной стороне следует в соответствии со схемой на второй части рисунка пронумеровать цифрами 4,5,6.

После этого полоску складывают так, чтобы треугольники на ее обратной стороне, имеющие одинаковые цифры, оказались наложенными друг на друга - 4 на 4, 5 на 5, 6 на 6. В результате у нас получится заготовка гексагексафлексагона, показанная на рисунке:

Перегнув ее по линиям ab и cd, получим шестиугольник. Затем подвернем вниз торчащий вправо пустой треугольник и приклеии его к пустому треугольнику на нижней стороне полоски.

Разные флексагоны разворачиваются по-разному. Чтобы развернуть гексафлексагон, нужно одной рукой взять за два соседних треугольника, примыкающих к какой-нибудь вершине фигуры, а другой рукой потянуть за свободный край двух противоположных треугольников. При открывании такой флексагон выворачивается наизнанку, и наружу выходит поверхность, которая ранее была внутри.

2.1.3. Тритетрафлексагон

Подготовим изображенную фигуру из бумаги, прогнем каждую линию разделяющую квадраты в обе стороны, сложим по схеме и заклеим, как показано на рисунке тонким скотчем.

Раскрывается он очень легко методом перегиба.

2.1.4. Тетратетрафлексагон

Подготовим изображенную фигуру из бумаги, прогнем каждую линию разделяющую квадраты в обе стороны, сложим по схеме и заклеим, как показано на рисунке тонким скотчем.

Чтобы развернуть тетрафлексагон, нужно перегнуть его по вертикальной или горизонтальной оси и вывернуть с места перегиба.

3. Практическая часть

3.1 Применение флексогонов

Модели флексагонов настолько различны по своей форме и материалам изготовления, что в нашей жизни занимают достаточно большое место. В форме флексагона изготавливаются календари, открытки, предметы интерьера или просто развивающие игрушки, механизмы двойного шарнирного соединения используются в телефонах, планшетах, креплениях для настенных предметов, в деталях мебели. Конструкция тетрафлексагонов используется в шарнирных соединениях «двойного действия» – устройствах, с одинаковой лёгкостью открывающихся в обе стороны. Эту же конструкцию можно обнаружить и во многих детских головоломках. Флексагоны используют в качестве рекламных стендов, которые своим необычным эффектом привлекают к себе внимание. Флексагоны можно использовать для:

1. ознакомления с геометрическими фигурами;

2. развития пространственного воображения;

3. знакомства с топологией (раздел геометрии);

4. изготовления оригинальных открыток, буклетов, календарей, справочных материалов;

5. изготовления предметов домашнего интерьера: диванных подушек, фото-рамок, подставок для фотографий.

Изготовить флексагон может каждый. Нужны только бумага, клей, ножницы.

4. Заключение

Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов и изготовив их, я сделала вывод: моя гипотеза верна, флексагоны широко применимы на практике.

Выполняя эту работу, я познакомилась с трудами ученых, изучила классификацию флексагонов, технику их изготовления, научилась изготовлять модели флексагонов. Рассмотрела возможности их применения – в виде игрушек, открыток и т.д. Изготовила игрушки и открытку к дню влюбленных в технике гексагексафлексагона, планшет «Времена года» и календарь, посвященный 75 летию Победы в технике тетратетрафлексагона.( приложение )

Моя работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Также работа может быть использована на уроках математики при изучении свойств треугольников, шестиугольников, тетраэдров. Изготовленные мной модели могут использоваться на уроках естествознания, истории и т.д.

Далее планируется:

• изучить другие виды флексагонов, подготовить соответствующие заготовки, разработать подробные инструкции по их изготовлению.

• продолжить работу по поиску практических приложений флексагонов.

• Познакомиться с флексорами и флексманами.

Список используемой литературы:

1 Афонькин С. Игры и фокусы с бумагой / С. Афонькин, Е. Афонькина. — М.: Рольф, АКИМ, 1999. — С. 12–67.

2.Михайлова З.А. Игровые занимательные задачи для дошкольников. — М.: Просвещение, 1990.

3.Никитин Б.П. Ступеньки творчества или развивающие игры. — М.: Просвещение, 1991.

4.http://book.tr200.net/v.php?id=61285"Мартин Гарднер - Математические головоломки и развлечения.

5.http://models-paper.com/index.php?option=com_kunena&Itemid=11&func=view&catid=30&id=222

6.http://usamodelkina.ru/soveti/page,6,39-bumaga-vse-sterpit.html

http://frg-64.ucoz.ru/publ/modelirovanie_fleksagony/1-1-0-4

7. wikipedia.org (общая информация о флексагонах).

8. www.ukrdeti.com/2007/4_18_a8_2007.html (статья Галины Репиной «Флек-сагоны как средство математического развития дошкольников).

Приложение