Grometriýa 11 synp

Köpgranlyklar.

Köpgranlyk barada düşünje .

Köpgranlyklary düzýän köpburçluklara köpgranlygyň granlary diýilýär Köpganlygyň bir nokatda birigýän granlary köpgranly burçy emele getirýärler. Şeýle köpgranly burçlaryň depelerine köpgranlygyň burçlary diýilýär, gapyrgalaryna bolsa köpgranlygyň gapyrgalary diýilýär.

Üsti tükenikli sanly tekiz köpburçluklardan ybarat bolan jisime köpgranlyk diýilýär Tetraedr, kub, parallelepiped köpgranlyklardyr.

Köpgranlyklar güberçek we güberçek däl görnüşde bolýarlar .

ç)

b)

a)

Güberçek we güberçek däl köpgranlyk

Güberçek däl köpgranlyk Güberçek köpgranlyk

a)

b)

Eger köpgranlyk islendik granyň tekizliginden bir tarapda ýerleşýän bolsa , onda oňa güberçek köpgranlyk diýilýär.Parallelepiped,bäş burçly prizma güberçek göpgranlykdyr .Emma a) suratdaky güberçek däl köpgranlykdyr.

Kesgitleme . Çäklenen giňişlik bölegine jisim diýilýär

Iki grany parallel tekizlikde ýatan deň köpburçluk bolup, galan granlary parallelogramlardan düzülen köpgranlyga pzizma diýilýär Parallel tekizliklerde ýatan ABSDE WE A 1 B 1 S 1 D 1 E 1

köpgranlyklara prizmanyň esaslary , ABB 1 A 1 , BSS 1 B 1 ,

SDD 1 S 1 ,DEE 1 D 1 ,EAA 1 E 1 parallelogramlara prizmanyň gapdal granlary diýilýär. AA 1 ,BB 1 ,SS 1 ,DD 1 EE 1 kesimlere prizmanyň gapyrgalary diýilýär Bu gapyrgalar biri –birine deňdirler we paralleldirler

A

E

B

D

S

A 1

E 1

B 1

S 1

D 1

Prizmanyň bir esasyndan beýleki esasyna geçirilen perpendikulýar kesime prizmanyň beýikligi diýilýär.

• ABC we DEF üçburçly prizmany esaslary.
• AD, С F, BE kesimler üçburçly prizmanyň gapdal dapyrgalary . Eger prizmanyň gapdal gapyrgalary esasyna perpen-dikulýar bolsa,
• onda oňa göni prizma diýilýär.Garşylykly halda ýapgyt prizma diýilýär.

A

B

C

E

D

F

Prizmanyň bir grana degişli bolmadyk iki depesini berleşdirýän kesime prizmanyň diogonaly diýilýär .

С

B

Suratdaky prizmanyň esasy dogry alty-burçluk .

Eger prizmanyň esasy dogry köpburçluk bolsa, onda bu prizma dogry prizma diýilýär.

A

D

F

E

B 1

C 1

A 1

D 1

E 1

F 1

Eger tekizlikden iki tarapda-da jisimiň nokatlary bar bolsa , onda ol tekizlige kesiji tekizlik diýilýär. Jisimiň tekizlik bilen kesişmesinden emele gelen figura jisimiň kesigi diýilýär .

B

С

Bir grana degişli bolmadyk iki sany gapdal gapyrga arkaly geçýän tekizlik bilen kesilen kesige prizmanyň diogonal kesegi diýilýär

A

D

F

E

B 1

C 1

A 1

D 1

E 1

F 1

Eger prizmanyň esaslary parallelogramlardan ybarat bolsa , onda oňa parallelepiped diýilýär

Parallelepiped

B 1

A 1

Parallelepipediň garşylykly granlary deň we parallel bolan parallelogramdyr.

Parallelepipediň 6 grany , 8 depesi , 12 gapyrgasy bolýar .

Parallelepipediň diogonallary bir nokatda kesişýärler we kesişme nokadynda deň ýarpa bölünýärler.

С 1

D 1

A

B

D

С

Kub

Kub

Gönüburçly parallelepiped

a

d

с

a

a

a

b

Göniburçly parallelepipediň ähli gapyrgalary deň bolsalar ( ähli granlary kwadrat bolsa ), onda oňa KUB diýilýär.

Eger parallelepipediň qhli granlary göniburçluklardan ybarat bolsalar,onda oňa göniburçly parallelepiped diýilýär.

Piramida

ABCDE köpburçluga piramidanyň esasy , T noka- da piramidanyň depesi,ATB, BT С, CTD, DTE, ETA granlara piramidanyň gapdal granlary diýilýär. Suratda bäş burçly piramida şekillendirilendir.

Üçburçly piramida tetraedr diýilýär.

Bir grany haýsy-da bolsa bir köpburçluk bolup, galan granlary umumy depesi bolan üçburçluklardan düzülen köpgranlyga piramida diýilýär .

T

B

B

С

A

A

С

E

D

D

TO-piramidanyň beýikligi

Eger piramidanyň esasy dogry köpburçluk bolup , onuň merkezini piramidanyň depesi bilen birikdirýän kesim piramidanyň beýikligi bolsa ,onda ol piramida dogry piramida diýilýär .Şonuň üçin dogry piramidanyň gapdal granlary özara deň deňýanly üçburçluklardyr .Bu üçburçluklaryň her haýsynyň TM beýikligine piramidanyň apofemasy diýilýär Dogry piramidanyň hemme apofemalary deňdirler.

Eger piramidanyň esasy dogry köpburçluk bolup ,gapdal gapyrgalary deň bolsa , onda oňa dogry piramida dýilýär

Pramidanyň depesin-den esasyna inderilen perpendikulýara piramidanyň biýikligi diýilýär

T

E

D

С

F

O

M

A

B

Kesilen piramida

TABSDE erkin piramida alalyň .Piramidanyň esasyna parallel bolan kesiji tekizligi geçireliň Bu kesiji tekizlik piramidany TA 1 B 1 S 1 D 1 E 1 piramida we ABSDEA 1 B 1 S 1 D 1 E 1 köpgranlyga böldi .Bu köpgranlyga kesilen piramida diýilýär . Parallel tekizliklerde ýatan ABSDE we A 1 B 1 S 1 D 1 E 1 granlara kesilen piramidanyň esaslary diýilýär .

B

S 1

AA 1 BB 1 ,BB 1 SS 1 ,SS 1 DD 1 ,DD 1 EE 1 ,EE 1 AA 1 dörtburçluklara kesilen piramidanyň gapdal granlary diýilýär. Kesilen piramidanyň gapdal granlarynyň parallel tekizlikleriň arasynda ýerleşýändikleri we gapdal gapyrgalarynyň dowamlarynyň bir nokatda kesişýändikleri sebäpli , olar trapesiýalardyr. Kesilen piramidanyň bir esasynyň , haýsy hem bolsa ,bir nokadyndan beýleki esasynyň tekizligine geçirilen perpendikulýara kesilen piramidanyň beýikligi diýilýär. Dogry piramidanyň esasyna parallel tekizlik bilen kesilip alnan köpgranlyga kesilen dogry piramida diýilýär .Kesilen dogry piramidanyň esaslary –dogry köpburçluklar we gapdal granlary deňýanly trapesiýadyr. Bu trapesiýalaryň beýikliklerine kesilen piramidanyň apofemalary diýilýär.

Köpgranlygyň üsti Prizmanyň üstüniň meýdany . Köpburçluklardan düzülendigi sebäpli , köpgranlygyň üstüniň meýdany ony düzýän köpburçluklaryň meýdanlarynyň jemine deňdir. Prizmanyň doly üsti n-prizmanyň gapdal üstünden we iki sany esasdan düzülen .Prizmanyň gapdal üstüniň meýdany –gapdal granlarynyň meýdanlarynyň jemine deňdir. S d.ü = S g.ü +2 S es bu ýerde S d.ü - prizmanyň doly üstüniň meýdany S g.ü - prizmanyň gapdal üstüniň meýdany S es - prizmanyň esasynyň meýdany

Teorema . Prizmanyň gapdal üstüniň meýdany onuň perpendikulýar kesiginiň perimetrini gapdal gapyrgasyna köpeltmek hasylyna deňdir. S G.Ü = P P.K * L Netije. Göni prizmanyň gapdal üstüniň meýdany onuň esasynyň perimetriniň gapdal gapyrgasyna köpeltmek hasylyna deňdir.

Piramidanyň üstüniň meýdany. Piramidanyň doly üstüniň meýdany diýip ,onuň ähli granlarynyň ýagny , esasynyň we gapdal granlarynyň meýdanlarynyň jemine aýdylýar . S d.ü =S es + S g.ü Teorema . Dogry piramidanyň gapdal üstüniň meýdany esasynyň perimetrini apofemasyna köpeltmek hasylynyň ýarysyna deňdir.

5 burçly piramida berlen TM onuň apofemasy. Piramidanyň esasynyň tarapyny a bilen , onuň perimetrini P bilen , apofemasynyň uzynlygyny h bilen belgiläliň Dogry piramidanyň gapdal granlary n sany deňýanly üçburçluk bolany üçin , gapdal üstüniň meýdany

S=((a*h) 2 )*n bolar

P=a*n bolany üçin

S=(P*h) 2

T

B

С

A

M

D

E

Kesilen piramida

Teorema .Kesilen dogry piramidanyň gapdal üstüniň meýdany iki esasynyň perimetriniň jeminiň ýarysyny apofemasyna köpeltmek hasylyna deňdir.

MN –kesilen dogry piramidanyň apofemasy S=(P+P) 2*h

B 1

A 1

D 1

M

E 1

F 1

B

A

D

N

E

F

SILINDR

Parallel tekizlikde ýatan iki sany deň tegelekden we bu tegelekleriň degişli nokatlaryny birleşdirýän ähli kesimlerden ybarat bolan jisime silindr diýilýär Tegeleklere silindriň esaslary diýilýär.

esasy

esasy

Tegelegiň töwereginiň degişli nokatlaryny birikdirýän kesimlere silindriň emele getirijileri diýilýär.Silindriň emele getirijileri paralleldirler we deňdirler Silindriň üsti gapdal üstden we esaslardan ybaratdyr. Silindriň gapdal üsti emele getirijilerden düzülendir. Eger silindriň emele getirijileri esaslaryň tekezliklerine perpendikulýar bolsalar,onda oňa göni silindr , garşylykly halda ýapgyt silindr diýilýär. Göniburçlugy bir tarapynyň daşynda aýlasak göni silindr emele gelýär .Silindriň esaslaryň tekizlikleriniň arasyndaky uzaklyga silindriň beýikligi diýilýär.

Silindriň ok kesigi ABCD göniburçlukdyr.

C

B

H

D

R

R

A

KONUS

• Tegelekden (konusyň esa-syndan ),bu tegelegiň tekizli-ginde ýatmaýan nokatdan (konusyň depesinden )hem-de konusyň depesini esasyň nokatlary bilen birikdirýän ähli kesimlerden ybarat jisi- me konus diýilýär.
• Konusyň depesini esasynyň töwereginiň nokatlary bilen birikdirýän kesimlere konusyň emele getirijileri diýilýär Konusyň depesinden esasyny inderilen perpendikulýara konusyň beýikligi diýilýär

T

Esasy

O

Göni konus

T

Eger konusyň esasy tegelek bolup , beýikligi esasynyň merkezi arkaly geçýän bolsa , onda oňa göni togalak konus diýilýär

O

.

B

Göniburçly üçburçlugy katetleriniň biriniň daşyndan aýlamak arkaly konus almak mümkindir

R

С

A

T

Konusyň esasyna parallel kesigi- tegelekdir.

Konusyň ok kesigi deňýanly üçburçlukdyr

B

O

A

O

Kesilen konus

• Konusyň esas bilen oňa parallel kesiji tekizligiň arasynda ýerleşýän bölegine kesilen konus diýilýär. Berlen konusyň esasyna we tekizlik kesigi bolan tegelege kesilen konusyň esaslary diýilýär

O 1

A 1

A

Konusyň emele getirijisiniň konusyň esaslarynyň arasyndaky kesimine kesilen konusyň emele getirijisi diýilýär Kesilen konusyň ok kesigi deňýanly trapesiýadyr .Kesilen konus hem aýlanma jisimdir. Gönüburçly trapesiýa esaslaryna perpendikulýar tarapynyň daşyndan aýlananda kesilen konus emele gelýär

Sfera we şar

Berlen nokatdan berlen uzaklykda ýerleşýän ähli giňişlik nokatlaryndan düzülen üste sferik üst ýa-da sfera diýilýär .Berlen O nokada sferanyň merkezi ,OM=R kesime sferanyň radiusy diýilýär

M

R

O

Sferanyň islendik nokadyny onuň merkezi bilen birleşdirýän kesimiň uzynlygy sferanyň radiusyna deňdir. Sferanyň iki nokadyny birleşdirýän we merkezden geçýän kesime sferanyň diametri diýilýär.Diametriň uzynlygy iki sany radiusyň uzynlygyna deňdir

Sfera bilen çäklenen jisime şar diýilýär Diýmek şar üsti sferadyr.

Şeýlelikde, sferanyň merkezi, radiusy , diametri şaryň hem merkezi, radiusy , diametri bolýar. Şaryň islendik diametri onuň aýlanma oky bolýar. Şaryň islendik tekiz kesigi tegelek , sferanyň tekiz kesigi tegelek bolýar . Eger tekizlik şaryň merkezinden geçse ,emele gelen kesige şaryň uly tegelegi diýilýär

Sfera-da ,şar-da aýlanma figurasydyr. Ýarym töwerek öz diametriniň daşynda aýlananda sfera, ýarym tegelek öz diametriniň daşynda aýlananda bolsa şar alnar.

С

O

A

B

Tekizlik şary iki bölege bölýär .Emele gelen şaryň böleklerine şaryň segmentleri , sferanyň böleklerine bolsa , şaryň segment üsti diüilýär

Kiçi segment

α

O 1

α

O

Uly segment

R Sfera we tekizlik berlen α R O " width="640"

Sfera geçirilen galtaşýan tekizlik

Sferanyň merkezinden tekizlige çenli uzaklygy d bilen belgiläliň .Sfera bilen tekizligiň özara ýerleşişiniň 4 hili ýagdaýy bar .

• d = o
• 0
• d = R
• d R

Sfera we tekizlik berlen

α

R

O

Sfera bilen tekizligiň özara ýerleşişiniň 1-nji we 2-nji görnüşi

1.d=0 bolsa, r=R bolýar

1.

Ýagny töwerigiň radiusy sfera-nyň radiusyna deň bolýar. Onda tekizlik kesigi sferanyň merkezinden geçýär.Bu kesige sferanyň uly töweregi ýa-da şaryň uly tegelegi diýilýär.

2. 0

2.

r=R

O(O 1 )

α

B

O 1

α

d

R

O

R bolsa, tekizlik bilen sferanyň umumy nokady ýok, ýagny olar kesişmeýärler. . 4. A α O B α d O " width="640"

Sfera bilen tekizligiň özara ýerleşişiniň 3-nji we 4-nji görnüşi

3.d=R bolsa, r=0 bolýar

3.

Ýagny tekizlik bilen sferanyň bir umumy nokady bardyr.

4. dR bolsa, tekizlik bilen sferanyň umumy nokady ýok, ýagny olar kesişmeýärler. .

4.

A

α

O

B

α

d

O

Sfera geçirilen galtaşma tekizliginiň häsiýetleri.

Sfera bilen ýeke-täk umumy nokady bar bolan tekizlige sfera galtaşýan tekizlik diýilýär . Olaryň umumy nokadyna bolsa sfera bilen tekizligiň galtaşma nokady diýilýär

Teorema . Sfera bilen tekizligiň galtaşma nokadyndan geçirilen radius galtaşma tekizligine perpendikulýardyr.

A

α

O

d = R

r = O

Silindriň üstüniň meýdany

Silindriň üsti –gapdal üstden we iki sany deň meýdanly esasdan düzülendir .

O 1

B

H

O

R

A

Silindriň doly üstüniň meýdany

C

B

Silindriň doly üstüniň meýdany gapdal üstüniň meýdany bilen iki sany esaslarynyň meýdanlarynyň jemine deňdir.

S d.ü = S g.ü + 2 S es

H

A

D

2 П R

O 1

B

2ПR

H

O

R

A

Silindriň gapdal üstüniň meýdany

Silindriň gapdal üstüniň meýdany esasynyň töwereginiň uzynlygynyň silindriň beýikligine köpeltmek hasylyna deňdir

S g.ü = 2ПRH

• Islendik R radiusly töweregiň meýdany ПR bolany sebäpli silindriň doly üstüniň meýdany :

• S = 2ПRH +2 ПR

B

C

H

A

D

2 П R

2

2

Konusyň üstüniň meýdany

• Konusyň doly üstüniň meýdany onuň gapdal üstüniň we esasynyň meýdanlarynyň jemine deňdir .

Konusyň gapdal üstüniň ýazgyny tegelek sektory bolup, onuň radiusy konusyň emele getirijisine duganyň uzynlygy bolsa konusyň esasynyň töwereginiň uzynlygyna deňdir.

• S K = S g.ü +S es

Konusyň üstüniň ýazgyn şekili

T

T

O

α

A 1

A

B

A

B

Konusyň gapdal üstüniň S meýdanyny,onuň L emele getirijisi we esasynyň radiusy bilen aňladalyň. K onusyň gapdal üstüniň meýdany esasynyň töwereginiň uzunlygynyň emele getirijisiniň uzynlygyna köpeldilmeginiň ýarysyna deňdir S =ПRL Konusyň doly üstüniň meýdanyny hasaplamagyň formulasy. S k = ПRL+ПR

Kesilen konusyň gapdal üstüniň meýdany .

T - konusyň depesi .

AA 1 -kesilen konusyň emele getirijileriniň biri.O we O 1 -esaslarynyň merkezi

Kesilen konusyň gapdal üstüniň meýdany –esaslarynyň töwerekleriniň uzynlyklarynyň ýarym jeminiň emele getirijä köpeltmek hasylyna deň.

S =П(R + R 1 ) AA 1 ,

AA=L bolany üçin

S=П(R+R 1 )L

T

A 1

O 1

A

O

R

Kesilen konusyň doly üstüniň meýdany .

T

Kesilen konusyň esaslarynyň meýdanlaryny S es we S es bilen belgilisek ,onda kesilen konusyň doly üstüniň meýdany

S K.K = S g.ü + S es + S es =

=П(R+R 1 )L+ПR +ПR 1

S es

A 1

O 1

S es

2

2

O

A

R

Segment üstüň , şar guşagynyň üstüniň meýdany

Teorema .Segment üstüň meýdany onuň beýikligini uly tege-legiň töwereginiň uzynlygyna köpelt-mek hasylyna deňdir.

Teorema . Şar guşagy-nyň üstüniň meýdany onuň beýikliginiň uly tegelegiň töweregi-niň uzynlygyna kö-peltmek hasylyna deňdir.

S =2ПRH

S =2ПRH

Sferanyň üstüniň meýdany

Teorema .Sferanyň meýdany uly tege-legiň töwereginiň uzynlygynyň diametre köpeltmek hasylyna deňdir:

Ýa-da sferanyň meýdany uly tegelegiň dördeldilen meýdanyna deňdir

S =4 П R

S =2П*R*2R

r

2

Köpgranlyklaryň göwrümleri Göwrüm barada düşünje.

• Göwrümler aşakdaky häsiýete eýedir.

1.Deň jisimleriň deň göwrümleri bardyr.

b

b

a

c

c

a

H

H

a

a