График функции.

7 класс.

График функции.

Для того, чтобы ввести понятие графического задания функции, определим сначала, что есть график функции.

Графиком функции называется множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. (Напомним, что абсцисса – это координата х, ордината – координата у).

Поскольку, по определению функции, каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции, то для графика соблюдается такое же правило: каждой абсциссе графика соответствует только одно значение ординаты.

Например,

На графиках показано, что абсциссе соответствует только одно значение ; абсциссе – только одно значение . И так далее.

Итак, теперь рассмотрим графический способ задания функции.

Например, дан график функции .

По графику функции можно узнать значение функции по выбранным значениям аргумента. Пусть . Находим на оси Ох координату, равную 1 и из этой точки проводим перпендикуляр до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси Оу и находим . Аналогично, при таким же способом находим . При . Точно также мы можем найти значение функции при любом выбранном значении аргумента.

При всей наглядности графического способа, у него есть существенные недостатки. На этом же графике видно, что если мы захотим выбрать не целое значение аргумента, а, например, , то точно найти это число на координатной оси проблематично, как также найти соответствующее значение . Значит, главным недостатком этого способа является сложность получения точных значений.

Рассмотрим теперь табличный способ задания функции и определим его преимущества и недостатки.

Этот способ задания функции чаще всего используется в практических целях, например, при замерах температуры наружного воздуха через определённые промежутки времени. Эта функция будет отображать зависимость температуры от времени .

Однако, при таком задании функции, область определения всегда ограничена. Здесь мы можем судить об изменении температуры только при изменении времени от 0 часов до 12 часов. Тем более, что невозможно точно сказать, какая была температура, например, в .

Преимущество табличного способа в том, что не нужно ничего находить и считать, всё наглядно отображено в таблице.

А недостатком, конечно, является невозможность определить промежуточные значения функции.

Таким образом, самый точный способ задания функции – это аналитический, т.е. с помощью формулы.

Разберёмся теперь, как построить график функции, которая задана с помощью формулы.

Например, построить график функции , если с шагом 1.

Решение. Условие означает, что выбирать значения х можно только от до , а шаг, равный 1 означает, что эти значения должны отличаться на 1. Другими словами, будем выбирать следующие значения х: . Каждое из этих значений подставляем в формулу вместо х и считаем, чему равен у.

Для удобства занесём эти значения в таблицу:

Теперь строим координатную плоскость, отмечаем на ней точки с координатами: , а затем плавно соединяем эти точки.

Таким образом, мы получили график функции при .

Если значения аргумента не заданы, то мы их выбираем самостоятельно, причём эти значения должны принадлежать области определения функции, захватывать положительные и отрицательные числа и шаг должен быть не слишком большой.

1. На рисунке изображён график некоторой функции.
   

Пользуясь графиком, найдите:

1. значение , если

2. значения , которым соответствует

3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

1. На рисунке изображён график некоторой функции.
   

Пользуясь графиком, найдите:

1. значение , если

2. значения , которым соответствует

3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

1. На рисунке изображён график функции.

Пользуясь графиком, найдите:

1. значение , если

2. значения , которым соответствует

3. значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

1. Функция задана формулой , где .

1. Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

2. Постройте график функции, используя составленную таблицу.

3. Используя график, найдите, при каких значениях аргумента значения функции отрицательны.

1. Функция задана формулой , где .

1. Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

2. Постройте график функции, используя составленную таблицу.

3. Используя график, найдите, при каких значениях аргумента значения функции положительны.

1. Функция задана формулой , где .

1. Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

2. Постройте график функции, используя составленную таблицу.

3. Используя график, найдите, при каких значениях аргумента значения функции отрицательны.

1. Принадлежат ли графику функции, заданной формулой , точки ; ?

2. Принадлежат ли графику функции, заданной формулой , точки ; ?

3. Принадлежат ли графику функции, заданной формулой , точки ; ?

4. Найдите координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

5. Укажите координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

6. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

7. Выясните, пересекает ли график функции оси координат. Ответ объясните.

8. Найдите координаты точки пересечения графика функции с осью ординат.

9. Укажите координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

10. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

11. Выясните, пересекает ли график функции оси координат. Ответ объясните.

12. Какие из точек принадлежат графику функции ?

13. Какие из точек принадлежат графику функции ?

14. Найдите координаты точки пересечения графика функции , если , с осью ординат.

15. Укажите координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

16. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

17. Выясните, пересекает ли график функции оси координат. Ответ объясните.

18. Найдите координаты точки пересечения графика функции , если , с осью ординат.

19. Укажите координаты точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

20. Найдите координаты точек пересечения графика функции с осями координат.

21. Выясните, пересекает ли график функции оси координат. Ответ объясните.

22. На отрезке задана функция .
    

Используя этот график, найдите:

1. нули этой функции;

2. число решений уравнения в зависимости от ;

3. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ;

4. промежутки, на которых значения функции положительны и отрицательны.

1. На отрезке задана функция .
   

Используя этот график, найдите:

1. нули этой функции;

2. число решений уравнения в зависимости от ;

3. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ;

4. промежутки, на которых значения функции положительны и отрицательны.

1. На отрезке задана функция .
   

Используя этот график, найдите:

1. все решения уравнения ;

2. число решений уравнения в зависимости от ;

3. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ;

4. промежутки, на которых и .

1. На отрезке задана функция .
   

Используя этот график, найдите:

1. все решения уравнения ;

2. число решений уравнения в зависимости от ;

3. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке ;

4. промежутки, на которых и .

1. Постройте график функции

Какие из точек принадлежат графику этой функции?

1. Постройте график функции

Какие из точек принадлежат графику этой функции?

1. Постройте график функции

Укажите область определения и область значений данной функции.

1. Постройте график функции

Укажите область определения и область значений данной функции.

1. Найдите область определения функции , где , и постройте её график.

2. Найдите область определения функции , где , и постройте её график.

3. Найдите область определения функции , где , и постройте её график.

4. Найдите область определения функции , где , и постройте её график.

5. Постройте графики функций , если

1. Заполните таблицу значений для функции и постройте её график.

1. График функции – ломаная , где

.

1. Постройте график этой функции.

2. С помощью графика найдите .

3. Определите, при каких значениях х значение равно .

4. Назовите целые значения х, при которых принимает положительные значения; отрицательные значения.

1. График функции – ломаная , где

.

1. Постройте график этой функции.

2. С помощью графика найдите .

3. Определите, при каких значениях х значение равно .

4. Назовите целые значения х, при которых принимает положительные значения; отрицательные значения.

1. На рисунке изображён график движения туристов по холмистой местности. На оси абсцисс откладывается время движения от момента выхода из палаточного лагеря, на оси ординат – пройденное расстояние.
   

По графику определите:

1. сколько километров прошли туристы до второго привала?

2. сколько времени длился первый привал?

3. на каком расстоянии от лагеря были туристы в 2 ч 30 мин.?

4. за сколько времени прошли туристы первые два километра?

5. сколько всего километров прошли туристы?

6. сколько времени шли туристы от первого до второго привала?

7. сколько километров прошли туристы за промежуток времени от 1,5 часов до 3,5 часов (считая от начала движения)?

4