Геометрия, 7 класс. Подготовка к ВПР

Задания 14 с пояснениями и ответами. Решение геометрических задач

1. В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°.

Решение.

Сначала найдём угол ACB:

 Поскольку CE биссектриса, 

 Допускается другая последовательность действий и рассуждений, обоснованно приводящая к верному ответу.

 Ответ: 28°.

2.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 121°, угол ABC равен 101°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть угол   равен   угол   равен   Сумма углов в треугольнике   равна 180°, откуда   Аналогично из треугольника     Получаем систему уравнений:

 

Таким образом, угол   равен 39°.

 Ответ: 39.

3. В треугольнике два угла равны 36° и 73°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 71.

4. В треугольнике два угла равны 43° и 88°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 49.

5.

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, угол ALC равен 78°, угол ABC равен 52°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть угол   равен   угол   равен   Сумма углов в треугольнике   равна 180°, откуда   Аналогично, из треугольника     Получаем систему уравнений:

 

 Таким образом, угол   равен 76°.

 Ответ: 76.

6.

В треугольнике   известно, что   AD — биссектриса. Найдите угол BAD. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Поскольку AD — биссектриса, то   Таким образом, 

 Ответ: 32.

7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 40 см, а периметр треугольника АВМ равен 32 см.

Решение.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин трех сторон AB + AC + BС. Так как треугольник ABC равнобедренный, то стороны AB и AC равны. Медиана AM делит BC на две равные части CM = MB. Периметр треугольника ABM равен AM + BM + AB. Периметр треугольника ABC равен AB + AC + CB = 2AB + 2BM = 2(AB + BM) = 40 см. Следовательно, AB + BM = 20 см. Зная периметр ABM, можно найти медиану: 32 − 20 = 12 см.

 Ответ: 12 см.

8. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 56 см, а периметр треугольника АВМ равен 42 см.

Решение.

Периметр треугольника ABC равен сумме длин трех сторон AB + AC + BС. Так как треугольник ABC равнобедренный, то стороны AB и AC равны. Медиана AM делит BC на две равные части CM = MB. Периметр треугольника ABM равен AM + BM + AB. Периметр треугольника ABC равен AB + AC + CB = 2AB + 2BM = 2(AB + BM) = 56 см. Следовательно, AB + BM = 28 см. Зная периметр ABM, можно найти медиану: 42 − 28 = 14 см.

 Ответ: 14 см.

9. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 78 см, а одна из сторон равна 18 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Решение.

Так как два внешних угла треугольника при разных вершинах равны, следовательно, треугольник ABC равнобедренный.

Если AC = 18 см, то остальные стороны по (78 − 18) : 2 = 30 см.

Если AB = BC = 18 см, то основание равно 78 − 2 · 18 = 42 см. Но такого треугольника не может существовать. Значит, второе предположение неверно.

 Ответ: 30 см, 30 см.

10. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 86 см, а одна из сторон равна 20 см. Найдите две другие стороны треугольника.

Решение.

Так как два внешних угла треугольника при разных вершинах равны, следовательно, треугольник ABC равнобедренный.

Если AC = 20 см, то остальные стороны по (86 − 20) : 2 = 33 см.

Если AB = BC = 20 см, то основание равно 86 − 2 · 20 = 46 см. Но такого треугольника не может существовать. Значит, второе предположение неверно.

 Ответ: 20 см, 33 см, 33 см.

11. Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ и АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если угол ВМС = 140°.

Решение.

По свойству смежных углов угол CMB₁ = 180 − 140 = 40°. Следовательно, угол MCA = 90 − 40 = 50°. Угол A = 90 − 50 = 40°. По свойству углов в равнобедренном треугольнике углы B и С равны (180 − 40) : 2 = 70°.

 Ответ: 40°, 70°, 70°.

12. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

Решение.

Из треугольника АВС найдем     

BD — биссектриса, следовательно, 

Треугольник HBC — прямоугольный, следовательно: 

Найдём угол DBH:

 Ответ: 10°.

13. На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Величина угла BDC равна 160°. Определите величину угла BAC.

Решение.

Треугольники ADB и ACD равнобедренные и равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

   

 Ответ: 40°.

14. На сторонах угла BAC, равного 20°, и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC и AD. Определите величину угла BDC.

Решение.

Так как отрезки равны, то треугольники ACD и ABD — равнобедренные. Углы при основании этих треугольников равны:

 

Найдем искомый угол:

 

Ответ: 

15. Отрезки AB и CD — диаметры окружности с центром O. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что CB = 13 см, AB = 16 см.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOD и треугольник COB: так как AO = OB = r; CO = OD = r;   (вертикальные). Следовательно,   Из равенства трегольников видим, что CB = AD.

Так как O центр окружности, то хорды проходящие через него делятся на равные участки. Получаем: AB = AO + OD.

Найдем периметр треугольника AOD: AB + AD = 13 + 16 = 29 см.

 Ответ: 29 см.

16. Отрезки AB и CD — диаметры окружности с центром O. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что CB = 11 см, AB = 17 см.

Решение.

Рассмотрим треугольник AOD и треугольник COB: так как AO = OB = r; CO = OD = r;   (вертикальные). Следовательно,   Из равенства трегольников видим, что CB = AD.

Так как O центр окружности, то хорды проходящие через него делятся на равные участки. Получаем: AB = AO + OD.

Найдем периметр треугольника AOD: AB + AD = 17 + 11 = 28 см.

Ответ: 28 см.

17. В треугольнике ABC стороны AB и BС равны, угол B равен   Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке M. Найдите величину угла AMC.

Решение.

В равнобедренном треугольнике ABC :

1) 

2) 

3) В равнобедренном треугольнике AMC : 

 Ответ: 

18. В треугольнике ABC стороны AB и BС равны, угол B равен   Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке M. Найдите величину угла AMC.

Решение.

В равнобедренном треугольнике ABC :

1) 

2)

3) В равнобедренном треугольнике AMC : 

 

Ответ: 

19. В треугольнике ABC стороны AB и BС равны, угол B равен   Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке M. Найдите величину угла AMC.

Решение.

В равнобедренном треугольнике ABC :

1) 

2)

3) В равнобедренном треугольнике AMC : 

 Ответ: 

20. На продолжении стороны AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отметили точку D так, что AD = AC и точка A находится между точками B и D. Найдите величину угла , ADC если угол ABC равен 

Решение.

В равнобедренном треугольнике ABC:

1) 

2) Для треугольника ADC угол BAC является внешним, следовательно, 

3) По свойству равнобедренного треугольника ADC находим: 

 Ответ: 

21. На продолжении стороны AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отметили точку D так, что AD = AC и точка A находится между точками B и D. Найдите величину угла , ADC если угол ABC равен   .

Решение.

В равнобедренном треугольнике ABC:

1) 

2) Для треугольника ADC угол BAC является внешним, следовательно, 

3) По свойству равнобедренного треугольника ADC находим: 

 Ответ: 34°.

22. На продолжении стороны AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отметили точку D так, что AD = AC и точка A находится между точками B и D. Найдите величину угла , ADC если угол ABC равен   .

Решение.

В равнобедренном треугольнике ABC:

1) 

2) Для треугольника ADC угол BAC является внешним, следовательно, 

3) По свойству равнобедренного треугольника ADC находим: 

 Ответ: 

23. На продолжении стороны AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отметили точку D так, что AD = AC и точка A находится между точками B и D. Найдите величину угла , ADC если угол ABC равен   .

Решение.

В равнобедренном треугольнике ABC :

1) 

2) Для треугольника ADC угол BAC является внешним, следовательно, 

3) По свойству равнобедренного треугольника ADC находим: 

 Ответ: 

24. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120^°. Высота треугольника, проведённая из вершины, A равна 7. Найдите длину стороны AC.

Решение.

1) Пусть точка H — основание высоты, проведённой из точки A. Из равнобедренного

треугольника ABC находим:

2) В прямоугольном треугольнике AHC:

AC = 2 · AH = 14.

 Ответ: 14.

25. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120^°. Высота треугольника, проведённая из вершины A, равна 5. Найдите длину стороны AC.

Решение.

1) Пусть точка H — основание высоты, проведённой из точки A. Из равнобедренного

треугольника ABC находим:

2) В прямоугольном треугольнике AHC:

AC = 2 · AH = 10.

 Ответ: 10.

26. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120^°. Высота треугольника, проведённая из вершины, A равна 9. Найдите длину стороны AC.

Решение.

1) Пусть точка H — основание высоты, проведённой из точки A. Из равнобедренного

треугольника ABC находим:

2) В прямоугольном треугольнике AHC:

AC = 2 · AH = 18.

 Ответ: 18.

27. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120^°. Высота треугольника, проведённая из вершины, A равна 8. Найдите длину стороны AC.

Решение.

1) Пусть точка H — основание высоты, проведённой из точки A. Из равнобедренного

треугольника ABC находим:

2) В прямоугольном треугольнике AHC:

AC = 2 · AH = 16.

 Ответ: 16.

28. Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что BC=BD. Найдите величину угла, BCD если угол ACB равен 60°, а угол BAC равен 50 .

Решение.

1) Для треугольника ABC угол DBC является внешним, следовательно,

2) В равнобедренном треугольнике DBC:

 Ответ: 35.

29. Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что BC=BD. Найдите величину угла, BCD если угол ACB равен 30°, а угол BAC равен 40°.

Решение.

1) Для треугольника ABC угол DBC является внешним, следовательно,

2) В равнобедренном треугольнике DBC:

 Ответ: 55.

30. Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что BC=BD. Найдите величину угла, BCD если угол ACB равен 75°, а угол BAC равен 35°.

Решение.

1) Для треугольника ABC угол DBC является внешним, следовательно,

2) В равнобедренном треугольнике DBC:

 Ответ: 35.

31. Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что BC=BD. Найдите величину угла, BCD если угол ACB равен 35°, а угол BAC равен 65°.

Решение.

1) Для треугольника ABC угол DBC является внешним, следовательно,

2) В равнобедренном треугольнике DBC:

 Ответ: 40.

32. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 6, а BC =12.

Решение.

1) В прямоугольном треугольнике CDB гипотенуза BC вдвое длиннее катета, DB поэтому 

2) В прямоугольном треугольнике ACB угол B равен 60°, поэтому угол A равен 30°.

 Ответ: 30.

33. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 8, а BC =16.

Решение.

1) В прямоугольном треугольнике CDB гипотенуза BC вдвое длиннее катета, DB поэтому 

2) В прямоугольном треугольнике ACB угол B равен 60°, поэтому угол A равен 30°.

 Ответ: 30.

34. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 3, а BC =6.

Решение.

1) В прямоугольном треугольнике CDB гипотенуза BC вдвое длиннее катета, DB поэтому 

2) В прямоугольном треугольнике ACB угол B равен 60°, поэтому угол A равен 30°.

 0Ответ: 30.

35. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла A, если DB = 9, а BC = 18.

Решение.

1) В прямоугольном треугольнике CDB гипотенуза BC вдвое длиннее катета, DB поэтому 

2) В прямоугольном треугольнике ACB угол B равен 60°, поэтому угол A равен 30°.

 Ответ: 30.

36. Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что BC = BD. Найдите величину угла BCD, если угол ACB равен 60°, а угол BAC равен 50°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

1) Для треугольника ABC угол DBC является внешним, следовательно

DBC = 50° + 60° = 110°.

2) В равнобедренном треугольнике DBC имеем 

BCD  =   BDC  = (180° - 110°) : 2 = 35°.

 Ответ: 35°.

37. Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что BC = BD. Найдите величину угла BCD, если угол ACB равен 35°, а угол BAC равен 65°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

1) Для треугольника ABC угол DBC является внешним, следовательно

DBC = 35° + 65° = 100°.

2) В равнобедренном треугольнике DBC имеем

  BCD  =   BDC  = (180° - 100°) : 2 = 40°.

 Ответ: 40°.

38. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС угол А равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины В, равна 13. Найдите длину стороны ВС.

Решение.

Пусть точка Н — основание высоты, проведённой из точки В к прямой, содержащей сторону АС. В равнобедренном треугольнике АВС находим:

В прямоугольном треугольнике ВНС: BC = 2 · BH = 26.

 Ответ: 26.

39. Углы треугольника АВС относятся так:   Биссектриса ВМ угла ABC равна 6. Найдите длину МС.

Запишите решение и ответ.

Решение.

   обозначим       Тогда x + 2x + 3x = 180, 6x = 180, x = 30. Получаем:       Поскольку ВМ — биссектриса угла АВС, то   В прямоугольном треугольнике ВМС с прямым углом C и   получаем, что МС = 6 : 2 = 3.

 Ответ: 3.

40. Между сторонами угла АОВ, равного 110°, проведены лучи ОС и ОМ так, что угол АОС на 30° меньше угла ВОС, а ОМ — биссектриса угла ВОС. Найдите величину угла СОМ. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть ∠AOC = x°, ∠BOC = (x + 30)°. Поскольку ∠AOC + ∠BOC = 110°, получаем уравнение:

Получаем: ∠AOC = 40°, ∠BOC = 110° − 40° = 70°. Так как ОМ — биссектриса угла ВОС, то

Ответ: 35°.

41. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С в 2 раза меньше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине В. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Пусть ∠C = x°, ∠A = ∠B = 2x°. Получаем, что

Таким образом, ∠C = 36°, ∠A = ∠B = 72°. Найдём внешний угол при вершине В: 180° − 72° = 108°.

 Ответ: 108°.

42. Между сторонами угла АОВ, равного 156°, проведены лучи ОС и ОМ так, что угол АОС на 32° меньше угла ВОС, а ОМ — биссектриса угла ВОС. Найдите величину угла СОМ. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть ∠AOC = x°, ∠BOC = (x + 32)°. Поскольку ∠AOC + ∠BOC = 156°, получаем уравнение:

Получаем: ∠AOC = 62°, ∠BOC = 156° − 62° = 94°. Так как ОМ — биссектриса угла ВОС, то

Ответ: 47°.

43. Между сторонами угла АОВ, равного 140°, проведены лучи ОС и ОМ так, что угол АОС на 16° меньше угла ВОС, а ОМ — биссектриса угла ВОС. Найдите величину угла СОМ. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть ∠AOC = x°, ∠BOC = (x + 16)°. Поскольку ∠AOC + ∠BOC = 140°, получаем уравнение:

Получаем: ∠AOC = 62°, ∠BOC = 140° − 62° = 78°. Так как ОМ — биссектриса угла ВОС, то

Ответ: 39°.

44. Внешний угол при вершине В треугольника ABC равен 102°. Биссектрисы углов А и С треугольника пересекаются в точке О. Найдите величину угла АОС. Дайте ответ в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение. Заметим, что ∠CBD — внешний угол треугольника АВС, поэтому

Значит,

В треугольнике АОС

Ответ: 129°.

45. Углы треугольника АВС относятся так:   Биссектриса ВМ угла ABC равна 30. Найдите длину отрезка МС. Запишите решение и ответ.

Решение.

   обозначим       Тогда x + 2x + 3x = 180, 6x = 180, x = 30. Получаем:       Поскольку ВМ — биссектриса угла АВС, то   В прямоугольном треугольнике ВМС с прямым углом C и   получаем, что МС = 30 : 2 = 15.

 Ответ: 15.

46. Диаметры АВ и CD окружности пересекаются в точке О. Найдите величину угла ADO, если ∠BOD = 150°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Заметим, что ∠BOD — внешний угол треугольника AOD, поэтому

∠OAD + ∠ADO = ∠BOD = 150°.

Треугольник АОD равнобедренный, так как OA = OD как радиусы окружности, следовательно,∠OAD = ∠ADO = 150° : 2 = 75°.

Ответ: 75°.

47. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника ABC параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 36°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Заметим, что ∠CBD = 180° − ∠CBA = 180° − 36° = 144°.

Значит, ∠CBM = ∠MBD = 144° : 2 = 72°.

Углы САВ и МBD являются соответственными при параллельных прямых АС и ВМ и секущей АВ. Получаем: ∠CAB = ∠MBD = 72°.

 Ответ: 72°.

48. Сторона BC треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что AB = DB. Найдите величину угла BAD, если угол ACB равен 70°, а угол BAC равен 34°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Для треугольника ABC угол DBA является внешним, следовательно,

∠ABD = ∠BAC + ∠BCA = 70° + 34° = 104°.

В равнобедренном треугольнике DBA

∠BAD = ∠ADB = (180° − ∠ABD) : 2 = (180° − 104°) : 2 = 38°.

Ответ: 38°.

49. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CD. Найдите величину угла B, если DA = 12, а AC = 24. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

В прямоугольном треугольнике CDA гипотенуза AC вдвое длиннее катета DA, поэтому   

В прямоугольном треугольнике ABC 

 Ответ: 30.

50. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ угол С в 4 раза меньше угла А. Найдите величину внешнего угла при вершине В. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Пусть ∠C = x°, ∠A = ∠B = 4x°. Получаем, что

Таким образом, ∠C = 20°, ∠A = ∠B = 80°. Найдём внешний угол при вершине В: 180° − 80° = 100°.

 Ответ: 100°.

51. Между сторонами угла АОВ, равного 150°, проведены лучи ОС и ОМ так, что угол АОС на 26° меньше угла ВОС, а ОМ — биссектриса угла ВОС. Найдите величину угла СОМ. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть ∠AOC = x°, ∠BOC = (x + 26)°. Поскольку ∠AOC + ∠BOC = 150°, получаем уравнение:

Получаем: ∠AOC = 62°, ∠BOC = 150° − 62° = 88°. Так как ОМ — биссектриса угла ВОС, то

Ответ: 44°.

52. На продолжении стороны BC равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отметили точку D так, что CD = AC и точка C находится между точками B и D. Найдите величину угла ADC если угол ABC равен 36°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

В равнобедренном треугольнике ABC:

1) 

2) Для треугольника ADC угол ACB является внешним, следовательно, 

3) По свойству равнобедренного треугольника ADC находим: 

 Ответ: 36°.

53. Сторона BC треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что AB = DB. Найдите величину угла BAD, если угол ACB равен 80°, а угол BAC равен 28°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Для треугольника ABC угол DBA является внешним, следовательно,

∠ABD = ∠BAC + ∠BCA = 80° + 28° = 108°.

В равнобедренном треугольнике DBA

∠BAD = ∠ADB = (180° − ∠ABD) : 2 = (180° − 108°) : 2 = 36°.

Ответ: 36°.

54. В треугольнике АВС угол АСВ равен 48°, угол CAD равен 22°, AD — биссектриса. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Поскольку АD — биссектриса угла CAB треугольника АВС, то

Найдём угол В в треугольнике АВС:

Ответ: 88°.

55. В треугольнике АВС угол АСВ равен 37°, угол CAD равен 28°, AD — биссектриса. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Поскольку АD — биссектриса угла CAB треугольника АВС, то

Найдём угол В в треугольнике АВС:

Ответ: 87°.

56. В треугольнике АВС угол АСВ равен 47°, угол CAD равен 23°, AD — биссектриса. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Поскольку АD — биссектриса угла CAB треугольника АВС, то

Найдём угол В в треугольнике АВС:

Ответ: 87°.

57. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника ABC параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 32°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Заметим, что

∠CBD = 180° − ∠CBA = 180° − 32° = 148°.

Значит,

∠CBM = ∠MBD = 148° : 2 = 74°.

Углы САВ и МBD являются соответственными при параллельных прямых АС и ВМ и секущей АВ. Получаем: ∠CAB = ∠MBD = 74°.

 Ответ: 74°.

58. Углы треугольника АВС относятся так:   Биссектриса ВМ угла ABC равна 14. Найдите длину отрезка МС. Запишите решение и ответ.

Решение.

 обозначим       Тогда x + 2x + 3x = 180, 6x = 180, x = 30. Получаем:       Поскольку ВМ — биссектриса угла АВС, то   В прямоугольном треугольнике ВМС с прямым углом C и   получаем, что МС = 14 : 2 = 7.

 Ответ: 7.

59. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника ABC параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 30°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Заметим, что

∠CBD = 180° − ∠CBA = 180° − 30° = 150°.

Значит,

∠CBM = ∠MBD = 150° : 2 = 75°.

Углы САВ и МBD являются соответственными при параллельных прямых АС и ВМ и секущей АВ. Получаем: ∠CAB = ∠MBD = 75°.

 Ответ: 75°.

60. Внешний угол при вершине В треугольника ABC равен 98°. Биссектрисы углов А и С треугольника пересекаются в точке О. Найдите величину угла АОС. Дайте ответ в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение. Заметим, что ∠CBD — внешний угол треугольника АВС, поэтому

Значит,

В треугольнике АОС

Ответ: 131°.

61. Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку B. На продолжении отмечена точка D так, что BC = BD. Найдите величину угла BCD, если угол ACB равен 35°, а угол BAC равен 45°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Для треугольника ABC угол DBC является внешним, следовательно,

∠DBC = ∠BAC + ∠BCA = 35° + 45° = 80°.

В равнобедренном треугольнике DBC

∠BCD = ∠BDC = (180° − ∠CBD) : 2 = (180° − 80°) : 2 = 50°.

Ответ: 50°.

62. Биссектриса внешнего угла при вершине В треугольника ABC параллельна стороне АС. Найдите величину угла САВ, если ∠ABC = 28°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Заметим, что

∠CBD = 180° − ∠CBA = 180° − 28° = 152°.

Значит,

∠CBM = ∠MBD = 152° : 2 = 76°.

Углы САВ и МBD являются соответственными при параллельных прямых АС и ВМ и секущей АВ. Получаем: ∠CAB = ∠MBD = 76°.

 Ответ: 76°.

63. В треугольнике ABC стороны BC и AC равны, угол C равен 108°. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. Найдите величину угла AMB. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому

Прямые AM и BM — биссектрисы равных углов CAB и CBA, следовательно,

В треугольнике AMB имеем:

Ответ: 144°.

64. На продолжении стороны AC равнобедренного треугольника ABC с основанием BC отметили точку D так, что CD = BC и точка C находится между точками A и D. Найдите величину угла CDB если угол BAC равен 72°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

В равнобедренном треугольнике ABC:

Для треугольника BDC угол ACB является внешним, следовательно,

По свойству равнобедренного треугольника BDC находим:

Ответ: 27°.

65. Сторона BC треугольника ABC продолжена за точку C. На продолжении отмечена точка D так, что AC = CD. Найдите величину угла DAC, если угол ABC равен 85°, а угол BAC равен 45°. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Решение.

Для треугольника ABC угол DCA является внешним, следовательно,

∠DCA = ∠ABC + ∠BAC = 45° + 85° = 130°.

В равнобедренном треугольнике DAC

∠DAC = ∠ADB = (180° − ∠ACD) : 2 = (180° − 130°) : 2 = 25°.

Ответ: 25°.