Геометрический смысл производной.
Д
ля наглядности рассмотрим график произвольной функции . Наугад возьмём любую точку на этом графике, например . Продвинемся вдоль графика на некоторое расстояние и зафиксируем вторую точку . Определимся с её координатами. Как образовалась координата (абсцисса)? Абсциссу увеличили на какое-то число. Это число называют приращением аргумента и обозначают . Тогда абсцисса точки равна . Ордината этой точки находится уже проще, она равна (тогда приращение функции равно ). Итак, точка имеет координаты .
Теперь проведём через эти две точки прямую. Она пересекает график в двух точках, значит, является секущей. Эта прямая пересекает ось Ох в некоторой точке и образует с этой осью угол . Любая прямая на координатной плоскости является графиком линейной функции , где – угловой коэффициент, который определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох (если угол острый, если угол тупой). Проведём через точку прямую . Получили прямоугольный треугольник . Углы и являются соответственными при параллельных прямых, значит, . Из .
Рассмотрим теперь, что происходит, когда уменьшается, т.е. . Тогда точка начнёт своё движение вдоль графика данной функции к точке , и в конце концов практически совпадёт с точкой , причём секущая будет поворачиваться вокруг точки . Предельным станет такое положение секущей, когда она будет иметь только одну общую точку с графиком функции (точку ), т.е. станет касательной к этому графику. Эта касательная образует с положительным направлением оси Ох угол . Так как предельное расположение прямой, то угол является предельным углом наклона прямой к положительному направлению оси Ох. Значит,
По определению производной функции в точке ,
Итак, . Это равенство как раз и отображает геометрический смысл производной.
Геометрический смысл производной. Численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику данной функции к положительному направлению оси Ох в этой точке.
Говоря простыми словами, если угол наклона касательной большой, то и значение производной большое и функция в этой точке резко возрастает; если угол наклона маленький, то и производная маленькая, а функция в этой точке изменяется медленно. Если же касательная образует с положительным направлением оси Ох тупой угол, то производная отрицательная, значит, функция убывает. Если же касательная параллельна оси Ох, т.е. , то и производная в этой точке равна нулю, а функция в этой точке достигает либо максимума, либо минимума.
Приведём пример задания из каталога ЕГЭ (базовый).
Н
а рисунках изображены графики функций и касательные, проведённые к ним в точках с абсциссой . Установить соответствие между графиками функций и значениями производной этих функций в точке .
Значения производной
Решение.
На графиках А и Г касательные составляют с положительным направлением оси Ох острые углы, значит, . Поскольку, чем больше угол, тем больше производная, то рисунку А соответствует ответ 1, а рисунку Г – ответ 2. На графиках Б и В касательные составляют с положительным направлением оси Ох тупые углы, значит, . Здесь сохраняется та же зависимость: чем больше угол, тем больше производная: , значит, графику В соответствует ответ 4, а графику Б – ответ 3.
Выведем уравнение касательной. Итак, общий вид уравнения прямой . Мы уже выяснили, что . Подставим это значение в уравнение: . Теперь нам нужно найти число . Мы знаем, что касательная проходит через точку . Значит, её координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. в наше уравнение вместо ставим , а вместо ставим . Получаем:
Подставим теперь это значение в уравнение прямой:
Итак, уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:
Приведём пример.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке
Находим
Найдём производную и её значение в заданной точке.
Все найденные компоненты подставляем в общий вид уравнения касательной:
.
Искомое уравнение касательной имеет вид:
I уровень.
Записать уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью угол
Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой
Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке графика с абсциссой
Найдите угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью .
Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Найти точки графика функции , в которых касательная к нему имеет заданный угловой коэффициент
II уровень.
О
пределите знак углового коэффициента касательной, проведённой к графику функции , изображённому на рисунках, в точках с абсциссами :
У
кажите точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производная не существует, если график функции изображён на заданных рисунках:
Тупой или острый угол образует с положительным направлением оси касательная к графику функции , проведённая в точке с абсциссой , если:
Чему равен угловой коэффициент касательной к параболе в точке:
Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой , если:
Определите, какой угол образует с осью касательная, проведённая к графику функции в точке с абсциссой , если:
Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:
Напишите уравнения касательных к графику функции в точках его пересечения с осью абсцисс.
Напишите уравнения касательных к параболе в точках с ординатой 4.
На графике функции найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол . Составьте уравнение каждой из этих касательных.
В какой точке касательная к графику функции параллельна заданной прямой:
В каких точках касательная к графику заданной функции параллельна заданной прямой :
Напишите уравнения тех касательных к графику функции , которые параллельны заданной прямой:
С помощью формулы вычислите приближённо:
Через точку проведите касательную к графику функции , если:
Составьте уравнение касательной к графику функции , отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна .
Составьте уравнения тех касательных к графику функции , которые пересекаются под углом в точке, лежащей на оси .
Составьте уравнения касательных к кривой в точках её пересечения с осью .
Составьте уравнения касательных к кривой в точках её пересечения с осью .
Найдите точку пересечения касательных, проведённых к графику функции в точках с абсциссами
Найдите точку пересечения касательных, проведённых к графику функции в точках с абсциссами
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к кривой составляет с положительным направлением оси угол в .
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к кривой составляет с положительным направлением оси угол в .
В каких точках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси угол в ?
В каких точках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси угол в ?
На графике функции найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой
На графике функции найдите точку, касательная в которой перпендикулярна прямой
Напишите уравнение касательной к кривой в точке
Напишите уравнение касательной к кривой в точке
Напишите уравнения касательных к кривой , проходящих через точку
Напишите уравнения касательных к кривой , проходящих через точку
Найдите угол между графиками функций и в точках их пересечения.
Найдите угол между графиками функций и в точках их пересечения.
Напишите уравнение касательной к кривой , которая параллельна прямой .
Напишите уравнение касательной к кривой , которая параллельна прямой .
Найдите уравнение общей касательной к параболам
Найдите уравнение общей касательной к параболам
При каких прямая касается графика функции ?
При каких прямая касается графика функции ?
При каких касательные, проведённые к графику функции , в точках пересечения этого графика с осью пересекаются под углом ?
При каких касательные, проведённые к графику функции , в точках пересечения этого графика с осью пересекаются под углом ?
Какой угол с положительным направлением оси составляет касательная к графику функции в точке .
Какой угол с положительным направлением оси составляет касательная к графику функции в точке .
Какой угол с положительным направлением оси составляет касательная к графику функции в точке .
Какой угол с положительным направлением оси составляет касательная к графику функции в точке .
Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции параллельна оси .
Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции параллельна оси .
Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции параллельна оси .
Найдите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции параллельна оси .
Напишите уравнение касательной к графику функции в точках её пересечения с осью .
Напишите уравнение касательной к графику функции в точках её пересечения с осью .
Напишите уравнение касательной к графику функции в точках её пересечения с осью .
Напишите уравнение касательной к графику функции в точках её пересечения с осью .
На каких промежутках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси тупой угол?
На каких промежутках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси острый угол?
На каких промежутках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси тупой угол?
На каких промежутках касательная к графику функции составляет с положительным направлением оси острый угол?
4