Гармонические колебания

Урок № ________ Дата_________

Тема: Гармонические колебания.

Цель урока: Освоение учащимися знаний о гармонических колебаний на основе межпредметных связей естественно-научного и математического циклов предметов.

Задачи урока:

• Формирование исследовательского умения через извлечение информации из графика и уравнений зависимостей координаты, скорости и ускорения от времени.

• Способствовать развитию умения анализировать, обобщать, делать выводы, развитию логического мышления;

• Продолжить формирование научного мировоззрения, способности к организации индивидуальной и коллективной учебной работы.

Тип урока: урок формирования новых знаний

Ход урока

1. Организационный момент.

1. Проверка домашнего задания. Фронтальный опрос.

- Что такое механические колебания?

- Какие виды колебаний вы знаете?

- Какие колебания называют свободными?

- Какие условия необходимы для возникновения свободных колебаний?

- Какие колебания называются вынужденными?

- Перечислите основные кинематические характеристики колебательного движения.

Какие из перечисленных колебаний являются свободными или вынужденными:

• колебания листьев на деревьях во время ветра;

• биение сердца;

• колебания качелей;

• колебание груза на пружине;

• колебание струны после того, как её выведут из положения равновесия;

• колебания поршня в цилиндре;

• колебание шарика на нити;

• колебание травы в поле на ветру

• колебание голосовых связок.

1. Изучение нового материала.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания. Термин «гармонические колебания» впервые был введен в науку швейцарским физиком Даниилом Бернулли.

• Г армоническими называются колебания, при которых какая-либо величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Например, гармонические колебания физического маятника можно зарегистрировать следующим способом. В качестве груза взять небольшой стакан с песком, который может высыпаться через очень маленькое отверстие снизу. Если под колеблющимся маятником двигать равномерно по столу бумажную ленту, то полученная на бумаге кри­вая представляет собой синусоиду или косинусоиду в зависи­мости от выбора начального момента времени наблюдения.

Таким образом, кинематический закон любого гармонического движения  можно представить в виде:

Следовательно, графически зависимость смещения колеблющейся точки от времени изображается косинусоидой или синусоидой.

В записанных уравнениях   — это циклическая (или круговая) частота, которая показывает, сколько колебаний совершает материальная точка за 2π секунд. Соответственно, в системе СИ она измеряется в радианах на секунду.

Рассмотрим, как изменяются проекции скорости и ускорения колеблющейся точки со временем для случая, когда начальная фаза колебаний равна нулю.

Скорость. Для этого найдем первую производную по времени от кинематического закона гармонических колебаний.

В полученном выражении произведение циклической частоты и амплитуды колебаний — это есть амплитуда проекции скорости на ось координат.

Таким образом видим, что при гармонических колебаниях проекция скорости тела на координатную ось тоже изменяется по гармоническому закону с той же частотой, но с другой амплитудой и опережает по фазе смещение на π/2.

Теперь рассмотрим ускорение. Для этого найдем производную от проекции скорости по времени.

Величина, равная произведению квадрата циклической частоты и амплитуды колебаний, является амплитудой проекции ускорения.

Как видно из формулы, при гармонических колебаниях проекция ускорения опережает смещение по фазе на π. Говорят, что проекция ускорения изме­няется с течением времени в противофазе изменению координаты.

Учитывая кинематический закон гармонического движения получим, что при гармонических колебаниях проекция ускорения прямо пропорциональна смещению и противоположна ему по знаку, то есть направлено в сторону, противоположную смещению.

При колебаниях периодически происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Полная механическая энергия такой колебательной системы равна сумме его кинетической и потенциальной энергий.

1. Уравнение колебательного движения груза на пружине

С огласно второму закону Ньютона F_х = mа_х. Таким образом, уравнение, описывающее движение груза имеет вид:

Обозначим. ( ). Тогда уравнение движения груза будет иметь вид:

Уравнение такого вида называется дифференциальным уравнением. Решением этого уравнения является функция:

Величина - циклическая или круговая частота колебаний.

период малых колебаний пружинного маятника

2. Уравнение колебательного движения математического маятника.

Работа с формулой.

1. Как изменится период колебаний математического маятника, если амплитуду его колебаний уменьшить в 2 раза? Трение отсутствует.

2. Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в 4 раза?

3. Груз, прикреплённый к пружине, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости. Как изменится период колебаний, если массу груза и жёсткость пружины увеличить в 2 раза?

Вывод: Мы можем убедиться на опытах, что период колебаний математического маятника не зависит от массы груза и определяют его только длиной нити.

Поскольку период колебаний математического маятника зависит от ускорения свободного падения g, то с помощью маятника можно делать точные измерения g.

Известно, что в разных точках земного шара ускорение свободного падения разное. Оно зависит не только от формы Земли, но и от наличия в ее недрах тяжелых (металлы) или легких (газ, нефть) веществ. Итак, получается, что и период колебаний маятника в разных точках будет разный. Это свойство используют, в частности, для определения залежей полезных ископаемых.

• ФИЗМИНУТКА

3. Фаза колебаний.

Величину , стоящую под знаком функции косинуса или синуса, называется фазой колебаний.

отношение указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний. Любому значению времени t , выраженному в числе периодов Т, соответствует значение фазы , выраженное в радианах.

Синус отличается от косинуса сдвигом аргумента на .

IV. Закрепление.

1. Напишите уравнение гармонического колебания, если его амплитуда 0,5 м, а частота 25 Гц.

2. Колебания груза на пружине описывают уравнением х = 0,1sin0,5 Определите амплитуду, круговую частоту и частоту колебаний.

V. Итог урока.

VI. Домашнее задание: § 22 - 24, № 427, 431