Функционально-графический способ решения задач с параметрами.

Тема урока: Функционально-графический способ решения задач с параметрами.

Цель урока: систематизировать знания и умения по построению графиков, изучить функционально-графический способ решения задач с параметрами.

Задачи урока: 1. Сформировать у школьников личностную мотивацию к изучению данной темы. 2. Развивать умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний. 3. Продолжать развивать логическое мышление, а именно, умение выделять существенные признаки и делать обобщения. 4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация с графиками функций и заданиями, раздаточный материал для учащихся с индивидуальными заданиями.

План урока.

1. Актуализация опорных знаний.

• Тема сегодняшнего занятия: функционально-графический способ решения задач с параметрами. Всем известно, что одним из наиболее сложных заданий ЕГЭ являются задачи с параметрами. В то же время популярность таких задач возрастает, т. к. при изучении различных процессов в разных областях науки и практической деятельности человека нам приходится решать задачи с несколькими параметрами.

• Проверка домашнего задания на построение графиков:

1. y = sin (x - _{ })

2. y = |sin x|

3. y = 2cos x

4. y = |x² - 6x+3|

5. y = x²-6|x|+3

Самопроверка с помощью слайдов, выполненных одним из учеников - презентация: слайды 1-10.

• Задание 1. В тетрадях поэтапно постройте график функции у=|x²-6|x|+3| (используя 5 график из домашнего задания - презентация: слайды 11,12).

• Задание 2.

1. Решить уравнения для каждого значения параметра:

a) ax=3; б) (_{ }

1. Определите число корней для каждого значения a: |x| = a-1 Проверка с экрана - презентация: слайд 13.

1. Изучение нового материала.

Часто графическое решение является наиболее приемлемым при решении уравнений и неравенств. Что касается задач с параметрами, графическая иллюстрация (даже построение схематических, далеких от идеала графиков), часто помогает найти ключ к задаче, позволяет найти оптимальный способ решения, т. к. позволяет сократить перебор различных случаев, который пришлось бы выполнить при аналитическом решении. Чтобы овладеть графическим способом, нужно научиться свободно строить графики функций с параметром и не зависящих от параметра.

• Сначала ответим на вопрос: как влияет значение параметра на график функции или уравнения. Примеры: у = к х + в; у = к/х; _{ }= _{ }у = f(х) + n; у = f(х-m); у = _{ }

_{ }, у = _{ }.

Рассмотреть на экране - презентация: слайд 14.

• Задание 3. Постройте схематически следующие графики: презентация: слайд 15. Как можно назвать эти графики?

1. у = 3 х + а; (Семейство прямых, полученных сдвигом на а единиц по оси ординат прямой у = 3х)

2. у = а х + 2; (Семейство прямых, проходящих через точку (0:2))

3. у = а х²; (Семейство парабол с вершинами в начале координат)

4. х² + у² = а²; (Семейство окружностей с центром в начале координат)

5. (х + 3)² + (у - а)² = 4; (Семейство окружностей, центры которых расположены на прямой х = - 3, R = 2)

Самопроверка по готовым графикам на экране - презентация: слайды 16-20.

1. Закрепление изученного материала.

• Задание 4. Теперь вернемся к графику функции у = |x²-6|x|+3 из задания 1 и с его помощью решим задачу:

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |x²-6|x|+3| = а имеет: а) 8 корней, б) 2 корня, в) 7 корней, г) 6 корней. Самопроверка, обсуждение заданий на экране - презентация: слайды 21-25.

• Задание 5. Работа в парах. Устно или с помощью схематического графика найти все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет 1 решение, 2 решения, 3 решения:

1. _{ }

2. _{ }

Обсуждение, самопроверка - презентация: слайды 26, 27.

• Задание 6. Решение задачи ЕГЭ - презентация: слайд 28.

С5. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

х² -3х + 2 - |x² -5x +4| - a = 0 имеет менее 3 решений:

ОТВЕТ: (-∞;_{ }U_{ }, +∞) - презентация: слайды 29,30.

• Дополнительное индивидуальное задания для сильных учеников:

Построить графики функций и уравнений:

1. |y| = |tg(x)|

2. |y| = |tg |x||

3. у = tg x |cos(x)|

4. |y| = tg x |cos(x)|.

1. Подведение итогов урока - презентация: слайд 31.

Мы сегодня рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств, систематизировали знания о графиках, расширили знания по способам решения задач с параметрами. Как вы видите, суть метода проста: чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x), необходимо построить графики функций у = f(x) и у = g(x), где одна из функций зависит от параметра. Число точек пересечения определяет количество корней уравнения или решений системы уравнений.

Вопрос: Какой недостаток имеет графический способ решения уравнений?

Верно, при применении графического способа нужно учитывать, что графически мы получаем приближенные значения, поэтому нужно применять этот способ в комбинации с аналитическим, вычислять координаты ключевых точек и т. д.

Домашнее задание - презентация: слайд 32.

• Задания С1 и С2, Вар. 19 из сборника А.Л.Семенова, И.В.Ященко «Типовые тестовые задания ЕГЭ».

• Составить уравнение или систему уравнений с параметрами и решить ее.

• С5. Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение:

1. Алгебра и математический анализ. Учебник для углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях. Н.Я.Виленкин, О.С.Ивашов-Мусатов, С.И.Шварцбурд, «Мнемозина», Москва, 2009.
2. ЕГЭ 2013. Математика. «Типовые тестовые задания ЕГЭ». Под ред. Семенова А.Л., Ященко И.В.
3. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2013. Учебно-тренировочные тесты.  Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. 

4. Задачи с параметрами. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир, «Илекса», «Гимназия», Москва –Харьков, 1998 г.